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2021年7月26日 星期一

110年全國高中教甄聯招-數學詳解

教育部受託辦理110學年度公立高級中等學校教師甄選

第一部分:選擇題( 共40分)
一、單選題( 每題3分, 共24分)

解答=+=2267(1p)×6%p×90%+(1p)×6%=2267p=0.12(B)
解答{n=10k=3(k1)((k1)n1+(1)n)k=2(29+1)3=342(C)
解答
{Γ1:y=log4xΓ2:y=|cosx|+cosxy=log4xx>02|cosx|+cosx0|cosx|+cosx2log4x=2x=165.1π;π2+2kπx3π2+2kπ,kZ|cosx|+cosx=0;0<x<5.1πx[π2+2kπ,3π2+2kπ]{x(0,π/2)1x[3π/2,5π/2]2x[7π/2,9π/2]25(C)
解答A=[5497]AI=[6496](AI)2=[6496][6496]=0由Cayley-Hamilton 定理A50=q(A)(AI)2+c1A+c0It50=q(t)(t1)2+c1t+c0(1)50t49=q(t)(t1)2+2q(t)(t1)+c1(2)t=1(1)(2){1=c1+c050=c1{c0=49c1=50A50=50A49I:An=nA(n1)I=[5n4n9n7n][n100n1]=[6n+14n9n6n+1]AnAn1=nA(n1)I(n1)A+(n2)I=AI(A51A50)+A33A22A+4I=(AI)+3A2I3(2AI)2A+4I=4A+4I=4(AI)=4[6496]=[24163624](A)
解答{A(1,1,0)B(1,0,1)C(0,1,1)D(0,0,0)ABCD2ABD:xyz=0P=(A+B+C+D)/4=(1/2,1/2,1/2)d1=d(P,ABD)=1/23d21+d22+d23+d24=4×d21=13(C)
解答{A(1,1,0)B(1,0,1)C(0,1,1)D(0,0,0)ABCD{¯AE=¯AB/4¯CF=¯CD/4{E=(3A+B)/4=(1,3/4,1/4)F=(3C+D)/4=(0,3/4,3/4){u=DE=(1,3/4,1/4)v=BF=(1,3/4,1/4)cosθ=uv|u||v|=1/213/8=413sinθ=15313(D)
解答

132=2×(34×32×13)=14(B)
解答

1/2(A)

二、 複選題( 全對才給分, 每題4分,共16分)

解答(1,2,3)(0,0,0)ΓΓ=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|=0(3,2,1)Γ=0Γ{(1,2,3)Γ(3,2,1)Γ{ai+2bi+3ci=0(1)3ai+2bi+ci=di(2)(A)×:(0,0,0)Γdi=0Γ=Γ(1)+(2)ai+bi+ci=0:x=y=z(1,2,3),(3,2,1)(a1,b1,c1),(a2,b2,c2)(B):(1)+(2)4ai+4bi+4ci=di(4,4,4)Γ(C):(2)(1)2ai2ci=di(2,0,2)Γ(D):7×(1)+(2)10ai+16bi+22ci=di(10,16,22)Γ(BCD)
解答(A):y=f(x)=x33x2+4xkf(x)=3x26x+4=3(x1)2+1>0f(x)y=f(x)(B)×:f(x)>0(C)×:(D):(m,n)n=f(m)n=m33m2+4mk(1)f(2m)=(2m)33(2m)+4(2m)k=m3+3m24m+4k=n+42kf(2m)=(4n2k)(2m,4n2k)(AD)
解答(A)\bigcirc: \sigma(z)= \sigma({1\over a}y+b) ={1\over a}\sigma(y) = {1\over a}\sigma(ax+b) =\sigma(x) \Rightarrow \sigma(z)=\sigma(x)\\ (B)\times: \cases{48 ={1\over a}y+b = {1\over a}(ax+b)+b=x+ {b\over a}+b=12+  {b\over a}+b \cdots(1)\\ 55=ax +b=28a+b \Rightarrow b=55-28a \cdots(2)}  ,將(2)代入(1)\\ \qquad \Rightarrow 36={1\over a}(55-28a)+ (55-28a) \Rightarrow (4a-5)(7a+11)=0 \Rightarrow a=5/4 \Rightarrow b=20\\ \qquad \Rightarrow 小華第1次調整後的分數=12\times {5\over 4}+20=35 \ne 36\\(C)\bigcirc: ab={5\over 4}\times 20=25 \\ (D)\bigcirc: 100={4\over 5}y+20 \Rightarrow y=100 \Rightarrow 最高分第1次調分後與第2次調分後都是100分\\,故選\bbox[red,2pt]{(ACD)}
解答令\cases{A(\sqrt 2,2,0)\\ B(-\sqrt 2,2,0) \\ C(-\sqrt 2,-2,0) \\ D(\sqrt 2,-2,0)} \Rightarrow \cases{ \overline{AB}=\overline{CD} =2\sqrt 2 \\\overline{AD} =\overline{BC}=4\\ \overline{AC}=\overline{BD}= 2\sqrt 6} \Rightarrow \cases{A、B相鄰,C、D相鄰\\ A、D正方形對角,B、C正方形對角\\ A、C立方體對角,B、D立方體對角}\\ 又A、B、C、D均在z=0的平面上,因此剩下的四點在z=\pm 2 上,因此選項(B)與(C)是錯的;\\令\cases{P(\sqrt 2,0,2)\\ Q(-\sqrt 2,0,-2)} \Rightarrow \cases{\overline{AP} =\overline{PD}=2\sqrt 2\\ \overline{BQ}=\overline{CQ}=2\sqrt 2} \Rightarrow \cases{P與A、D皆相鄰\\ Q與B、C皆相鄰}\qquad,故選\bbox[red,2pt]{(AD)}

第二部分: 綜合題( 共60分)
一、 填充題(每題4分,共36分)

解答2\times 9^x-(m+1)3^x+m+1=0  有相異實根\Rightarrow 判別式\gt 0 \Rightarrow (m+1)^2-8(m+1) \gt 0\\ \Rightarrow (m+1)(m-7) \gt 0 \Rightarrow m\gt 7 或m\lt -1\cdots(1);\\由於3^x \gt 0 \Rightarrow 兩根之積{1\over 2}(m+1) \gt 0 \Rightarrow m\gt -1 \cdots(2);\\ 由(1)及(2)可知: \bbox[red,2pt]{m\gt 7}
解答(n^2-2n-2)^{n^2+47} =(n^2-2n-2)^{16n-16} \Rightarrow \cases{n^2+47=16n-16\\ n^2-2n-2=1}\\ \Rightarrow \cases{(n-9)(n-7)=0 \\ (n-3)(n+1)=0} \Rightarrow n=3,7,9 \Rightarrow 3+7+9= \bbox[red,2pt]{19}
解答\int_0^3 x^2\lfloor x\rfloor\;dx = \int_0^1 0\;dx  +\int_1^2 x^2 ;dx + \int_2^3 2x^2 \;dx = 0+{1\over 3}\cdot 7 +{2\over 3}\cdot 19 ={45\over 3}= \bbox[red,2pt]{15}
解答
令\cases{A(0,0)\\ B(10,0)\\C(10,10)\\ D(0,10)} \Rightarrow M=(A+B)/2=(5,0) \Rightarrow \overleftrightarrow{DM}: y=-2x+10\\ 又A、E對稱於\overleftrightarrow{DM} \Rightarrow E(8,4) \Rightarrow \triangle BCE={1\over 2} \times 10\times 2= \bbox[red,2pt]{10}
解答\cases{\tan \alpha_1=1 \\ \tan \alpha_2=1/2\\ \tan \alpha_3=1/3 \\ \tan \alpha_4=1/4} \Rightarrow \cases{\tan(\alpha_1+ \alpha_2)={1+1/2 \over 1-1/2}=3\\ \tan(\alpha_3+\alpha_4) = {1/3+1/4\over 1-1/12}={7\over 11}}\\ \Rightarrow \tan(\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3 +\alpha_4) ={3+7/11\over 1-21/11} = \bbox[red,2pt]{-4}
解答z=a+bi \Rightarrow 2z+2|\bar z|=2a+2bi+2 \sqrt{a^2+b^2} =3+2i \Rightarrow \cases{b=1\\ 2a+2\sqrt{a^2+1}=3} \\ \Rightarrow 4(a^2+1)=(3-2a)^2=4a^2-12a+9 \Rightarrow 12a=5 \Rightarrow a=5/12 \Rightarrow z=\bbox[red,2pt]{{5\over 12}+i}
解答
(A\cup B)\cap C 有三個元素,即兩直線與圓有三個交點;\\ P\in A\cap B \Rightarrow P=({1\over m+1},{1\over m+1}) \in C \Rightarrow {2\over (m+1)^2}=1 \Rightarrow m= \bbox[red,2pt]{-1\pm \sqrt 2}
解答1-9隨機排,共有9!排法;\\數字1:無論哪一種排法都會被取到,因此有9!個1,總和為9!;\\數字2:要排在1的左邊才會被取到,因此有{9!\over 2}個2,總和為{9!\over 2}\times 2=9!\\數字3:要排在1與2的左邊才會被取到,因此有{9!\over 3}個3,總和為{9!\over 3}\times 3=9!\\\cdots \\ 數字9:要排在1-8的左邊,也就是最左邊才會被取到,因此有{9!\over 9}個9,總和為{9!\over 9}\times 9=9!\\因此期望值={1\over 9!}(9!+9!+\cdots +9!)= \bbox[red,2pt]{9}
解答只能用湊的,f(x)=\lfloor{x\over 1!} \rfloor +\lfloor{x\over 2!} \rfloor +\cdots +\lfloor{x\over 10!} \rfloor \\=\lfloor{x } \rfloor +\lfloor{x\over 2} \rfloor +\lfloor{x\over 6} \rfloor +\lfloor{x\over 24} \rfloor +\lfloor{x\over 120} \rfloor +\lfloor{x\over 720} \rfloor +\cdots \\\Rightarrow \cases{ f(700)= 700+350 +\cdots \gt 1001\\ f(600)=600+300+100+ 25+ \cdots \gt 1001\\f(500)=500+250+83+20+4+0+0\cdots=857 \lt 1001} \Rightarrow 500\lt n\lt 600\\\Rightarrow \cases{f(550)=550+275+ 91+22 +4=942 \lt 1001\\ f(575)  \lt 1001 \\ f(584)= 584+292+ 97+ 24+ 4= 1001} \Rightarrow n=\bbox[red,2pt]{584}

二、 證明題(每題8分,共24分)

解答\cos \angle B=\cos 60^\circ = {1\over 2}={a^2+c^2-b^2\over 2ac} \Rightarrow a^2+c^2=b^2+ac\cdots(1)\\ (a+b+c) \left( {1\over a+b} +{1\over b+c}\right)= 1+{c\over a+b}+1+{a\over b+c} =2+{c(b+c)+a(a+b)\over (a+b)(b+c)}\\\qquad =2+{a^2+c^2+bc+ab \over (a+b)(b+c)}\cdots(2)\\ 將(1)代入(2) \Rightarrow 2+{a^2+c^2+bc+ab \over (a+b)(b+c)}=2+ {b^2+ac+bc+ ab \over (a+b)(b+c)} =2+ {(a+b)(b+c) \over (a+b)(b+c)}=3\\ \Rightarrow (a+b+c) \left( {1\over a+b} +{1\over b+c}\right)= 3,\bbox[red,2pt]{故得證}
解答zw-2iz-iw-5=zw-2iz-iw+5i^2= z(w-2i)-i(w-5i)=0 \Rightarrow z(w-2i)=i(w-5i)\\ \Rightarrow |z||w-2i|=|i||w-5i| \Rightarrow 2|w-2i|=|w-5i| \Rightarrow 2\overline{AB}=\overline{AC},其中\cases{A(w)=(x,y)\\ B(0,2)\\ C(0,5)}\\ \Rightarrow 2\sqrt{x^2+(y-2)^2} =\sqrt{x^2+(y-5)^2} \Rightarrow 4x^2+4y^2-16y+16=x^2+y^2-10y+25\\ \Rightarrow 3x^2+3y^2-6y=9 \Rightarrow x^2+(y-1)^2=2^2\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2}=2 \Rightarrow |w-i|=2\\,\bbox[red,2pt]{故得證}
解答f(x)=(x+1)^n= C^n_0+ C^n_1x +C^n_2x^2+\cdots +C^n_nx^n \\\Rightarrow f(i)=(i+1)^n= (\sqrt 2e^{\pi i/4})^n=  C^n_0+C^n_1i-C^n_2-C^n_3i+\cdots \\ \Rightarrow 2^{n/2}e^{n\pi i/4}=(C^n_0-C^n_2+C^n_4-\cdots)+i(C^n_1-C^n_3+ C^n_5-\cdots) \\ \Rightarrow \cases{C^n_0-C^n_2+C^n_4-\cdots=2^{n/2}\cos({n\pi/4}) \\C^n_1-C^n_3+ C^n_5-\cdots=2^{n/2}\sin (n\pi/4)} \\ \Rightarrow (C^n_0-C^n_2+C^n_4-\cdots)^2 +(C^n_1-C^n_3+ C^n_5-\cdots)^2 =2^{n }\cos^2({n\pi/4}) +2^n\sin^2 (n\pi/4)\\ =2^n\left(\cos^2({n\pi/4}) +\sin^2 (n\pi/4)\right)=2^n,\bbox[red, 2pt]{故得證}
=============== END ===================
解題僅供參考,其他教甄試題及詳解


3 則留言:

  1. 想請問單選4的一般式是怎麼寫出來的,我只知道特徵值重根,但不知道怎麼繼續做下去

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    1. 我把答案寫得更仔細一點,希望有幫助理解!!!!

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    2. 寫得很詳細非常感謝,這題困惑我好久

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