110年消防警察-微積分詳解

110年一般警察人員考試

等 別： 三等考試
類科組別： 消防警察人員
科 目： 微積分

解答：$$y=f(x)=x^3+2 \Rightarrow x^3=y-2\Rightarrow x=\sqrt[3]{y-2} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{f^{-1}(x)= \sqrt[3]{x-2}}$$
 

解答：$$f(x)=\begin{cases} 1/x, & x\lt 0\\ x^2-4,& x\ge 0\end{cases} \Rightarrow \cases{\lim_{x\to 0^+} f(x)=-4\\ \lim_{x\to 0^-} f(x)= -\infty} \Rightarrow \lim_{x\to 0^+} f(x)\ne \lim_{x\to 0^-} f(x) \\ \Rightarrow \lim_{x\to 0} f(x) \bbox[red,2pt]{不存在}$$

解答：$${d\over dx}\cos(x^3) =-{1\over \sqrt{1-(x^3)^2}}\cdot {d\over dx}(x^3) = \bbox[red,2pt]{-{3x^2\over \sqrt{1-x^6}}}$$

解答：$$y=\left(x^3+99\right)^{100} \Rightarrow {d\over dx}y= 100\left(x^3+ 99\right)^{99}\left(3x^2 \right)= \bbox[red, 2pt]{300x^2\left(x^3+ 99\right)^{99}}$$

解答：$$(x-2)^2 \ge 0 \Rightarrow y=(x-2)^{2/3} =\sqrt[3]{(x-2)^2} \ge 0 \Rightarrow 絕對最小值為\bbox[red, 2pt]{0}$$

解答：$$\displaystyle\lim_{x\to \infty} f(x)=\lim_{x\to \infty}{3x^2-8\over x^2-16} =3，又\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty}{3x^2-8\over x^2-16} =3\\ 因此水平漸近線為\;\bbox[red,2pt]{y=3}$$

解答：$${d\over dx}\int_{x^2}^x t^3\;dt ={d\over dx} \left.\left[ {1\over 4}t^4\right]\right|_{x^2}^x ={1\over 4} {d\over dx} \left( x^4-x^8\right) ={1\over 4}\left( 4x^3-8x^7\right)= \bbox[red,2pt]{x^3-2x^7}$$

解答：$$\int_0^2 x(2x^2+3)^3\;dx = \left. \left [ {1\over 16}(2x^2+3)^4 \right]\right|_0^2 ={1\over 16}(11^4-3^4) =\bbox[red, 2pt]{910}$$

解答：$$令\cases{u=\tan^{-1}(2x) \Rightarrow du={2\over 1+4x^2}dx\\ dv=1 \Rightarrow v=x} \Rightarrow \int \tan^{-1}(2x)\;dx =x\tan^{-1}(2x)-\int {2x\over 1+4x^2}\;dx \\ =\bbox[red,2pt]{x\tan^{-1}(2x)-{1\over 4}\ln(1+4x^2)+C},C為常數$$

解答：$$y=x^{3/2} \Rightarrow y'={3\over 2}\sqrt x \Rightarrow 弧長=\int_0^1 \sqrt{1+(f')^2}\;dx =\int_0^1 \sqrt{1+{9\over 4}x}\;dx \\=\left. \left[{8\over 27} (1+{9\over 4}x)^{3/2}\right]\right|_0^1 ={8\over 27}({13\over 8}\sqrt {13}-1) =\bbox[red, 2pt]{{13\over 27}\sqrt{13}-{8\over 27}}$$

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考選部未公告解答，解題僅供參考，其他國考試題及詳解