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2022年3月27日 星期日

107年全國科學班資格考-數學詳解

107 年度全國科學班聯合學科資格考試 數學科

一、 單選題:


  解答

A(0,0){¯AB=22EAB=45{B(2,2)ABC=75{C(232,4)BCD=120D(232,10){AB=(2,2)AD=(232,10)ABAD=43+4+20=2443(D)
  解答M(A),(B),(C){πx=2π/3x=2π3±nπ4,nNn=1x=2π3π4=5π12(5π12,0)(D)

二、多選題:

  解答{ˉx=60=13030k=1xkσ=10=13030k=1(xkˉx)2(A):f(60)=f(ˉx)=30k=1(ˉxxk)2=30σ2=3000(B)×:σ2=13030k=1x2kˉx213030k=1x2k=σ2+ˉx2=100+602=370030k=1x2k=3700×30=11100012100(C):f(50)=30k=1(50xk)2=30k=1((60xk)10)2=30k=1((60xk)220(60xk)+100)=30k=1(60xk)22030k=1(ˉxxk)+30×100=30k=1(60xk)2+3000=30σ2+3000=6000(D):f(61)=30k=1((60xk)2+30=f(60)+30f(61)>f(60)(E)×:f(x)=30k=1(xxk)2f(x)=230k=1(xxk)f(59)=230k=1(60xk1)=230k=1(60xk)2×30=02×30<0(ACD)

  解答(A)×:y=g(x)g(2)>(1)g(1)(B):g(2)g(4)g(4)(C):g(2)g(3)|g(x)|(D)×:g(x)=f(x)g(x)=f(x)f(x)<0,x(2,3)(E)×:g(x)=f(x)=0x=1,3,5f(x)(BCE)

  解答(A):α22αβ+4β2=0(αβ)22αβ+4=0αβ=1±3i(B)×:αβ=1±3i=2(cosπ3±isinπ3)OPOQ±60|OP|=2|OQ|(C):|OP|=2|OQ|¯OP=2¯OQ(D):{POQ=60¯OP=2¯OQPOQ=306090(E)×:POQ(ACD)

三、填充題:

  解答:(2,1),(3,12),(4,13),(5,14),(6,15)157:(4,3),(5,2),(6,1)3315=15
  解答f(x)=a3x3+b3x(1,1)a3+b3=1a+b=3a=3b;G=210(xf(x))dx=1310(xf(x))dx=10a3x3+3b3xdx=10a3x3+a3xdx=16a12+a6=16a=2b=3a=1(a,b)=(2,1)

  解答

x2122y2b2=1{A(15,k)C(20,k50),k>0{x=15x=20{kb=912=34k50b=1612=4334b(43b)=50b=24=2b2a=2×24212=96
  解答

OBCP¯OP¯BCBAC=POC=θ:{OPCcosθ=R21+R22R222R1R2=R12R2=R14R1=14ABCcosθ=142+112¯BC221411=317¯BC2308317¯BC2308=14¯BC2=240¯BC=415:ABC¯BCsinθ=41515/4=2R1R1=8
  解答nlogn19099×0=0109919090×1=901009992900900×2=180010001018310191019×3=3057201849472018n=1an=4947

一、數學寫作能力:


  解答|a(b×c)|bc|b×c|{b=(b1,b2,b3)c=(c1,c2,c3)bc=|b|2|c|2(bc)2=(b21+b22+b23)(c21+c22+c23)(b1c1+b2c2+b3c3)2=|a1a2b1b2|2+|a2a3b2b3|2+|a3a1b3b1|2=|b×c|=|b×c|×=ab×c|a||cosθ|=|a(b×c)||b×c|=|b×c|×|a(b×c)||b×c|=|a(b×c)|
  解答
(1)a=00<r1{0,a=00<r<1a,r=1(2)nS(n)=a(1rn)1rlim

二、計算證明題:

  解答 (2^x+ 2^{-x})^2 = 2^{2x}+ 2^{-2x} +2 \Rightarrow 2^{1+2x}+ 2^{1-2x} = 2\cdot 2^{2x} +2\cdot 2^{-2x} =2(2^{2x}+ 2^{-2x}) \\=2(2^x+2^{-x})^2-4 \Rightarrow 2^{1+2x}+2^{1-2x}-7(2^x+2^{-x})+ 9 = 2(2^x+2^{-x})^2-7(2^x+2^{-x})+5\\ =(2(2^x+2^{-x})-5) ((2^x+2^{-x})-1) \lt 0 \Rightarrow 1\lt 2^x+2^{-x}\lt 5/2 \Rightarrow 2\le 2^x+2^{-x}\lt 5/2\\ 令f(x)= 2^x +2^{-x},則2\le f(x)\lt 5/2 \Rightarrow -1\lt x\lt 1\\ 令g(x)=10^x +10^{-x},則g(1)=g(-1)={101\over 10} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{2\le 10^x+10^{-x} \lt {101\over 10}}
  解答\cases{P(X=0) = (1-p)(1-q)\\ P(X=1)=p(1-q) +(1-p)q\\ P(X=2)=pq} \Rightarrow \cases{E(X)= 0+p(1-q) +(1-p)q+ 2pq ={p+q}\\ E(X^2)= 0+p(1-q) +(1-p)q+  4pq =p+q+2pq} \\ \Rightarrow \sigma(X)=\sqrt{ E(X^2)-(EX)^2 }= \sqrt{p+q+2pq -(p+q)^2} =\sqrt{p(1-p)+ q(1-q)} \\ \Rightarrow \cases{期望值=\bbox[red,2pt]{p+q} \\ 標準差=\bbox[red,2pt]{p(1-p)+ q(1-q)}}
  解答y=f(x)= x^3+ Px^2+1 \Rightarrow f'(x)= 3x^2+2Px \\假設切點為(k,f(k)) =(k,k^3+Pk^2+1) \Rightarrow 切線斜率=f'(k)=3k^2+2Pk \\ \Rightarrow 切線L方程式:y=(3k^2+2Pk)(x-k)+k^3+Pk^2+1 \\ 又L通過(0,0)\Rightarrow 0=(-k)(3k^2+2Pk)+k^3+Pk^2+1 =-2k^3-Pk^2+1\\ 令g(k)=2k^3+Pk^2-1 \Rightarrow g'(k)=6k^2+2Pk=0 \Rightarrow k=0,-P/3\\ g(k)=0 有三相異實根\Rightarrow g(0)g(-P/3) \lt 0 \Rightarrow -{2\over 27}P^3 +{1\over 9}P^3-1 \gt 0 \Rightarrow P^3\gt 27 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{ P\gt 3}
  解答
(1)\cases{P\in L_1 \Rightarrow P(2s+1,-ks+2,ks+1),s\in \mathbb{R}\\ Q\in L_2 \Rightarrow Q(3t+2,kt+2,-5t+4/5),t\in \mathbb{R}},若P=Q,則\cases{3t+2=2s+1 \cdots(1)\\ kt+2=-ks+2 \cdots(2)\\ -5t+4/5=ks+1\cdots(3)};\\由(2)可得k(s+t)=0 \Rightarrow s=-t代入(1) \Rightarrow \cases{s=1/5\\ t=-1/5}再代入(3) \Rightarrow 1+{4\over 5} = {k\over 5}+1 \Rightarrow k= \bbox[red, 2pt]{4}(2)k=4 \Rightarrow P(2s+1,-4s+2,4s+1) \Rightarrow \cases{\overline{PA}^2 = (2s-2)^2 +(-4s+1)^2 +(4s+1)^2\\ \overline{PB}^2 = (2s)^2 +(-4s+2)^2 +(4s+2)^2}\\ \Rightarrow f(s)=\overline{PA}^2+\overline{PB}^2 =72s^2 -8s+14 \Rightarrow f'(s)=144s-8=0 \Rightarrow s={1\over 18} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{P\left({10\over 9},{16\over 9},{11\over 9}\right)}
  解答
(1)\cases{甲有a公升\\ 乙有b公升},即\begin{bmatrix} a\\ b\end{bmatrix} \xrightarrow{甲一半給乙}\begin{bmatrix} a/2\\ b+a/2\end{bmatrix} \xrightarrow{乙一半給乙} \begin{bmatrix} 3a/4 +b/2\\ a/4+ b/2\end{bmatrix} \Rightarrow M= \bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix} 3/4 & 1/2\\ 1/4 & 1/2\end{bmatrix}}(2)\begin{bmatrix} a_n\\ 1-a_n\end{bmatrix} =M \begin{bmatrix} a_{n-1}\\ 1-a_{n-1}\end{bmatrix} \Rightarrow a_n={3\over 4}a_{n-1}+{1\over 2}(1-a_{n-1}) ={1\over 4}a_{n-1}+{1\over 2} \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{遞迴式a_n=\begin{cases}a_{n-1}/4+1/2,& n\ge 1\\ 0.6& n=0\end{cases}}\\ a_n={1 \over 4}a_{n-1} +{1\over 2} ={1\over 4^2}a_{n-2} + {1\over 4}\cdot {1\over 2}+{1\over 2} ={1\over 4^3} a_{n-3} +{1\over 4^2}\cdot {1\over 2}  + {1\over 4}\cdot {1\over 2}+{1\over 2}  \\ ={1\over 4^n} a_0 +{1\over 2}(1+{1\over 4}+{1\over 4^2}+\cdots +{1\over 4^{n-1}}) ={1\over 4^n}\times 0.6+{1\over 2}\times {4 \over 3}\cdot (1-{1\over 4^{n}}) = {2\over 3}-{1\over 15}\cdot {1\over 4^n}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{一般式a_n= \begin{cases}2/3-1/(15\cdot 4^n), & n\ge 1\\ 0.6 & n=0 \end{cases} }
======================== END  ============================
解題僅供參考


2 則留言:

  1. https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/eduexp/docs/pastexam/106年度全國科學班聯合學科資格考/106年度全國科學班聯合學科資格考數學科試題(公告版).pdf
    請問有106資格考的詳解嗎

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  2. 計算證明的第四題寫錯了!

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