109年度全國科學班聯合學科資格考-數學科
第壹部分:單選題、多選題及填充題
一、單選題:(共二題,每題5分,共10分)
解答:{2+log2a=k3+log3b=klog6(a+b)=k⇒{a=2k−2b=3k−3a+b=6k⇒1a+1b=a+bab=6k2k−2⋅3k−3=6k2⋅6k−3=632=2162=108,故選(4)解答:假設{p=1/6q=2/6r=3/6p1=p+(1−p)(1−q)(1−r)p+((1−p)(1−q)(1−r))2p+⋯=p1−(1−p)(1−q)(1−r)p2=(1−p)q+(1−p)(1−q)(1−r)(1−p)q+((1−p)(1−q)(1−r))2(1−p)q+⋯=(1−p)q1−(1−p)(1−q)(1−r)p3=(1−p)(1−q)r+(1−p)(1−q)(1−r)(1−p)(1−q)r+(1−p)(1−q)(1−r))2(1−p)(1−q)r+⋯=(1−p)(1−q)r1−(1−p)(1−q)(1−r)由於三者分母相同,僅需考慮分子,即{p=1/6=3/18(1−p)q=5/18(1−p)(1−q)r=5/18,因此p2=p3>p1,故選(4)
二、多選題: (共三題,每題 5 分,共 15 分)
解答:(1)◯:每個禮物有3種分法,共有312種分法(2)◯:12選4給第1人,剩下8個選4個給第2人,剩下4個全給第3人,故C124C84C44種分法(3)×:方法同(2),但需乘上3,3,6的排列數,即C123C93C66×3(4)◯:x+y+z=12的自然數解個數,也就是x+y+z=9的非負整數解個數,即H39=C112(5)◯:x+y+z+w=12的非負整數解再扣除x,y,z其中之一≥8(不可能同時有兩個超過7),因此共有H412−C31H412−8=C153−C31C73故選(1245)解答:(1)◯:sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=2sinAcosB⇒sinAcosB−sinBcosA=0⇒sin(A−B)=0⇒A=B⇒等腰(2)×:cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB=2cosAcosB⇒cosAcosB+sinAsinB=0⇒cos(A−B)=0⇒A−B=±90∘,不一定是等腰(3)◯:sin(A+B)=sinB⇒180∘−(A+B)=B⇒A+2B=180∘=A+B+C⇒B=C(4)×:{A=30∘B=60∘C=90∘符合sin(2A)=sin(2B),但不是等腰(5)◯:cos(2A)=cos(2B)⇒A=B,故選(135)
解答:f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e⇒f′(x)=4ax3+3bx2+2cx+d(1)◯:f′(x)=0的三根為α,β,γ,又{y=f(x)圖形凹向上⇒a>0|β|<|α|<|γ|⇒α+β+γ=−3b/4a>0⇒b<0(2)◯:αβ+βγ+γα=2c/4a<0⇒c<0(3)×:αβγ=−d/4a<0⇒d>0(4)◯:f″(x)=12ax2+6bx+2c=0有相異實根⇒36b2−96ac>0⇒3b2−8ac>0(5)◯:α,β,γ為f′(x)=0之三相異實根故選(1245)
三、 填充題: (共五題,每題 5 分,共 25 分)
解答:令{→u=→AB→v=→AC,則{|→u|=|→v|=2→u⋅→v=|→u||→v|cos60∘=2⋅2⋅12=2⇒{→AP=20→u+→v→AQ=→u+20→v⇒{|→AP|2=400|→u|2+|→v|2+40→u⋅→v=1600+4+80=1684|→AQ|2=|→AP|2=1684(→AP⋅→AQ)2=20|→u|2+20|→v|2+401→u⋅→v=80+80+802=962⇒△APQ面積=12√|→AP|2|→AQ|2−(→AP⋅→AQ)2=12√16842−9622=12⋅798√3=399√3B. 丟擲一個公正骰子(即點數 1,2,3,4,5,6每個點數出現的機率皆為16)三次,設依序出現的點數為 a,b,c,定義隨機變數X如下:若a是3的倍數,則X=b+c,若a不是3的倍數,則X=|b−c|,試求P(X=4)的值為_____。
C. 在 xy 平面上有一個圓 C:x2+y2=16,O為圓心,且在y軸上有一點 A(0,8),若有一光線自A點射向第一象限中圓C上某一點 P,經反射之後平行 x軸射出經過A′點,且A、A′兩點對稱於↔OP,試問 P點的 y座標為___。
解答:P在圓C:x2+y2=42上⇒P(4cosθ,4sinθ)⇒↔OP:y=tanθ⋅x又A′與P有相同的y軸標,取A′(a,4sinθ);因此MA=A′,其中M為鏡射矩陣即[cos2θsin2θsin2θ−cos2θ][08]=[a4sinθ]⇒−8cos2θ=4sinθ⇒−8(1−2sin2θ)=4sinθ⇒4sin2θ−sinθ−2=0⇒sinθ=1+√338(P在第一象限,負值不合)⇒4sinθ=1+√332
z12−z9+z6−z3+1=0⇒(z3+1)(z12−z9+z6−z3+1)=0⇒z15=−1又{z15=−1的15根(zk=cos(π+2kπ15)+isin(π+2kπ15),k=0−14)代表正15邊形的15個頂點z3=−1的3根(zk=cos(π+2kπ3)+isin(π+2kπ3),k=0−2)代表正三角形的三個頂點⇒正15邊形的15個頂點扣除正三角形的三個頂點,即為z12−z9+z6−z3+1=0的12個根也就是上圖15個頂點扣除頂點A,F,K,因此周長為9¯IJ+3¯JL由於{∠IOJ=24∘⇒¯IJ=2sin12∘=2√(1−a)/2∠JOL=48∘⇒¯JL=2sin24∘=2√1−a2⇒9¯IJ+3¯JL=18√1−a2+6√1−a2
解答:橢圓{中心(0,0)2a=42b=3⇒橢圓方程式:x24+y29/4=1⇒y=34√4−x2(只考慮第一象限)⇒陰影面積=∫√2134√4−x2dx=34∫π/4π/3√4−4cos2θ(−2)sinθdθ(∵x=2cosθ⇒dx=−2sinθdθ)=−3∫π/4π/3sin2θdθ=−32∫π/4π/31−cos2θdθ=−32[θ−12sin2θ]|π/4π/3=−32((π4−12)−(π3−√34))=18(6+π−3√3)
第貳部分:非選擇題 (數學寫作能力、計算證明題共 50 分)
四、 數學寫作能力: (共二題,共計 12 分)
解答:假設A(x1,y1,z1)在平面E上,且↔PA⊥E,則¯PA即為所求;E的法向量→n=(a,b,c)與→PA=(x1−x0,y1−y0,z1−z0)平行,即x1−x0a=y1−y0b=z1−z0c=t⇒{x1=at+x0y1=bt+y0z1=ct+z0;又A在E上⇒a(at+x0)+b(bt+y0)+c(ct+z0)+d=0⇒t=−ax0+by0+cz0+da2+b2+c2⇒|→PA|=|t→n|=|−ax0+by0+cz0+da2+b2+c2⋅√a2+b2+c2|=|ax0+by0+cz0+d√a2+b2+c2|故得證解答:(1)(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(2)利用歸納法:n=1時,顯然成立假設n=k成立,即zk+1zk=2coskθ;當n=k+1時,zk+1+1zk+1=(zk+1zk)(z+1z)−(zk−1+1zk−1)=2coskθ⋅2cosθ−2cos(k−1)θ=4coskθcosθ−2cos(kθ−θ)=4coskθcosθ−2(coskθcosθ+sinkθsinθ)=2(coskθcosθ−sinkθsinθ)=2cos(k+1)θ⇒zk+1+1zk+1=2cos(k+1)θn=k+1時亦成立,故得證
五、計算證明題: (共 5 題,共計 38 分)
解答:圓:x2+(y−b)2=a2⇒{圓心P(0,b)圓半徑r=a⇒{圓面積A=a2πP繞x軸一圈的圓周長=2bπ⇒圓繞x軸旋轉體積=(a2π)×(2bπ)=2a2bπ2,故得證解答:cos∠A=¯AB2+¯AC2−¯BC22⋅¯AB⋅¯AC=42+62−(2√19)22⋅4⋅6=−12⇒∠A=120∘令∠BAP=θ,則∠CAP=120∘−θ⇒{△ABP=12⋅¯AB⋅¯APsinθ=4sinθ△ACP=12⋅¯AC⋅¯APsin(120∘−θ)=6sin(120∘−θ)⇒△ABP+△ACP=4sinθ+6sin(120∘−θ)=4sinθ+3√3cosθ+3sinθ=7sinθ+3√3cosθ⇒最大值為√72+(3√3)2=√76=2√19
解答:
(1)由定義可知:{g(2n)=g(n)g(2n−1)=2n−1,n∈N,因此Sn=g(1)+g(2)+⋯+g(2n)=2n−1∑k=1(g(2k−1)+g(2k))=2n−1∑k=1(g(2k−1)+g(k))=Sn−1+2n−1∑k=1(2k−1)=Sn−1+2n×2n−12=Sn−1+4n−1當n=1時,S1=g(1)+g(21)=1+1=2⇒Sn={2,n=1Sn−1+4n−1,n≥2;(2)S2019=S2018+42018=S2017+42017+42018=S1+4+42+⋯42018=1+(1+4+42+⋯42018)=1+1−420191−4=1+13(42019−1)⇒S2019=13(2+42019)
解答:36位考生成績依序為:x1≤x2≤x3≤⋯≤x36,且{ˉx=(x1+x2+⋯+x36)/36=50σ=√136∑36i=1(xi−ˉx)2=10令A={xi∣xi≥65或xi≤35,i=1−36},則我們有(x−ˉx)2=(x−50)2≤152,∀x∈A若A有n個元素,則∑xi∈A(xi−50)2≤225n≤36∑i=1(xi−50)2=102×36=3600⇒225n≤3600⇒n≤16⇒至少有36−16=20位成績介於36與64之間
解答:
4.某個班級有36個學生,某次考試成績的算術平均數為50分,標準差為10分,試問最少有多少學生的分數介於35分到65分之間(不包含35分及65分)?
解答:
(1){P(x0,y0)F1(c,0)x2a2+y2b2=1⇒¯PF12=(x0−c)2+y20=(x0−c)2+b2(1−x20a2)=(x0−c)2+(a2−c2)(1−x20a2)=x20−2cx0+c2+a2−x20−c2+c2a2x20=c2a2x20−2cx0+a2=(cax0−a)2⇒¯PF1=|cax0−a|又x20a2+y20b2=1⇒x20a2<1⇒−1<x0a<1⇒−c<c⋅x0a<c<a⇒|cax0−a|=a−cax0⇒¯PF1=a−cax0,故得證(2)x225+y216=1⇒{a=5b=4⇒c=3⇒{F1(3,0)F2(−3,0)令P(s,t),由{¯PF1+¯PF2=2a=10¯PF1:¯PF2=2:3⇒{¯PF1=4¯PF2=6⇒{(s−3)2+t2=16(s+3)2+t2=36⇒(s+3)2−(s−3)2=20⇒12s=20⇒s=5/3⇒169+t2=16⇒t2=1289⇒t=±8√23⇒P(53,±8√23)
=================== END ===========================
解題僅供參考
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