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2022年3月11日 星期五

109年全國科學班資格考-數學詳解

109年度全國科學班聯合學科資格考-數學科

第壹部分:單選題、多選題及填充題
一、單選題:(共二題,每題5分,共10分)

解答{2+log2a=k3+log3b=klog6(a+b)=k{a=2k2b=3k3a+b=6k1a+1b=a+bab=6k2k23k3=6k26k3=632=2162=108(4)
解答{p=1/6q=2/6r=3/6p1=p+(1p)(1q)(1r)p+((1p)(1q)(1r))2p+=p1(1p)(1q)(1r)p2=(1p)q+(1p)(1q)(1r)(1p)q+((1p)(1q)(1r))2(1p)q+=(1p)q1(1p)(1q)(1r)p3=(1p)(1q)r+(1p)(1q)(1r)(1p)(1q)r+(1p)(1q)(1r))2(1p)(1q)r+=(1p)(1q)r1(1p)(1q)(1r){p=1/6=3/18(1p)q=5/18(1p)(1q)r=5/18p2=p3>p1(4)

二、多選題: (共三題,每題 5 分,共 15 分)

解答(1):3312(2):124184243C124C84C44(3)×:(2)3,3,6C123C93C66×3(4):x+y+z=12x+y+z=9H39=C112(5):x+y+z+w=12x,y,z8(7)H412C31H4128=C153C31C73(1245)
解答(1):sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=2sinAcosBsinAcosBsinBcosA=0sin(AB)=0A=B(2)×:cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB=2cosAcosBcosAcosB+sinAsinB=0cos(AB)=0AB=±90(3):sin(A+B)=sinB180(A+B)=BA+2B=180=A+B+CB=C(4)×:{A=30B=60C=90sin(2A)=sin(2B)(5):cos(2A)=cos(2B)A=B(135)
解答f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+ef(x)=4ax3+3bx2+2cx+d(1):f(x)=0α,β,γ{y=f(x)a>0|β|<|α|<|γ|α+β+γ=3b/4a>0b<0(2):αβ+βγ+γα=2c/4a<0c<0(3)×:αβγ=d/4a<0d>0(4):f(x)=12ax2+6bx+2c=036b296ac>03b28ac>0(5):α,β,γf(x)=0(1245)

三、 填充題: (共五題,每題 5 分,共 25 分)

解答{u=ABv=AC{|u|=|v|=2uv=|u||v|cos60=2212=2{AP=20u+vAQ=u+20v{|AP|2=400|u|2+|v|2+40uv=1600+4+80=1684|AQ|2=|AP|2=1684(APAQ)2=20|u|2+20|v|2+401uv=80+80+802=962APQ=12|AP|2|AQ|2(APAQ)2=12168429622=127983=3993
B. 丟擲一個公正骰子(即點數 1,2,3,4,5,6每個點數出現的機率皆為16)三次,設依序出現的點數為 a,b,c,定義隨機變數X如下:若a是3的倍數,則X=b+c,若a不是3的倍數,則X=|bc|,試求P(X=4)的值為_____。

解答a(b,c)3,6(1,3),(2,2),(3,1)2×3=61,2(1,5),(2,6)4×4=164,5(5,1),(6,2)P(X=4)=6+1663=11108
C. 在 xy 平面上有一個圓 C:x2+y2=16O為圓心,且在y軸上有一點 A(0,8),若有一光線自A點射向第一象限中圓C上某一點 P,經反射之後平行 x軸射出經過A點,且AA兩點對稱於OP,試問 P點的 y座標為___。
解答
PC:x2+y2=42P(4cosθ,4sinθ)OP:y=tanθxAPyA(a,4sinθ)MA=AM[cos2θsin2θsin2θcos2θ][08]=[a4sinθ]8cos2θ=4sinθ8(12sin2θ)=4sinθ4sin2θsinθ2=0sinθ=1+338(P)4sinθ=1+332
解答
z12z9+z6z3+1=0(z3+1)(z12z9+z6z3+1)=0z15=1{z15=115(zk=cos(π+2kπ15)+isin(π+2kπ15),k=014)1515z3=13(zk=cos(π+2kπ3)+isin(π+2kπ3),k=02)1515z12z9+z6z3+1=01215A,F,K9¯IJ+3¯JL{IOJ=24¯IJ=2sin12=2(1a)/2JOL=48¯JL=2sin24=21a29¯IJ+3¯JL=181a2+61a2

解答{(0,0)2a=42b=3:x24+y29/4=1y=344x2()=21344x2dx=34π/4π/344cos2θ(2)sinθdθ(x=2cosθdx=2sinθdθ)=3π/4π/3sin2θdθ=32π/4π/31cos2θdθ=32[θ12sin2θ]|π/4π/3=32((π412)(π334))=18(6+π33)

第貳部分:非選擇題 (數學寫作能力、計算證明題共 50 分)

四、 數學寫作能力: (共二題,共計 12 分)

解答A(x1,y1,z1)EPAE¯PAEn=(a,b,c)PA=(x1x0,y1y0,z1z0)x1x0a=y1y0b=z1z0c=t{x1=at+x0y1=bt+y0z1=ct+z0AEa(at+x0)+b(bt+y0)+c(ct+z0)+d=0t=ax0+by0+cz0+da2+b2+c2|PA|=|tn|=|ax0+by0+cz0+da2+b2+c2a2+b2+c2|=|ax0+by0+cz0+da2+b2+c2|
解答(1)(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(2):n=1n=kzk+1zk=2coskθn=k+1zk+1+1zk+1=(zk+1zk)(z+1z)(zk1+1zk1)=2coskθ2cosθ2cos(k1)θ=4coskθcosθ2cos(kθθ)=4coskθcosθ2(coskθcosθ+sinkθsinθ)=2(coskθcosθsinkθsinθ)=2cos(k+1)θzk+1+1zk+1=2cos(k+1)θn=k+1

五、計算證明題: (共 5 題,共計 38 分)

解答:x2+(yb)2=a2{P(0,b)r=a{A=a2πPx=2bπx=(a2π)×(2bπ)=2a2bπ2

解答cosA=¯AB2+¯AC2¯BC22¯AB¯AC=42+62(219)2246=12A=120BAP=θ,CAP=120θ{ABP=12¯AB¯APsinθ=4sinθACP=12¯AC¯APsin(120θ)=6sin(120θ)ABP+ACP=4sinθ+6sin(120θ)=4sinθ+33cosθ+3sinθ=7sinθ+33cosθ72+(33)2=76=219
解答
(1):{g(2n)=g(n)g(2n1)=2n1,nNSn=g(1)+g(2)++g(2n)=2n1k=1(g(2k1)+g(2k))=2n1k=1(g(2k1)+g(k))=Sn1+2n1k=1(2k1)=Sn1+2n×2n12=Sn1+4n1n=1,S1=g(1)+g(21)=1+1=2Sn={2,n=1Sn1+4n1,n2;(2)S2019=S2018+42018=S2017+42017+42018=S1+4+42+42018=1+(1+4+42+42018)=1+14201914=1+13(420191)S2019=13(2+42019)
4.某個班級有36個學生,某次考試成績的算術平均數為50分,標準差為10分,試問最少有多少學生的分數介於35分到65分之間(不包含35分及65分)?

解答36:x1x2x3x36{ˉx=(x1+x2++x36)/36=50σ=13636i=1(xiˉx)2=10A={xixi65xi35,i=136}(xˉx)2=(x50)2152,xAAnxiA(xi50)2225n36i=1(xi50)2=102×36=3600225n3600n163616=203664
解答
(1){P(x0,y0)F1(c,0)x2a2+y2b2=1¯PF12=(x0c)2+y20=(x0c)2+b2(1x20a2)=(x0c)2+(a2c2)(1x20a2)=x202cx0+c2+a2x20c2+c2a2x20=c2a2x202cx0+a2=(cax0a)2¯PF1=|cax0a|x20a2+y20b2=1x20a2<11<x0a<1c<cx0a<c<a|cax0a|=acax0¯PF1=acax0,(2)x225+y216=1{a=5b=4c=3{F1(3,0)F2(3,0)P(s,t){¯PF1+¯PF2=2a=10¯PF1:¯PF2=2:3{¯PF1=4¯PF2=6{(s3)2+t2=16(s+3)2+t2=36(s+3)2(s3)2=2012s=20s=5/3169+t2=16t2=1289t=±823P(53,±823)

=================== END ===========================

解題僅供參考

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