111年警專41期數學科(甲組)詳解

臺灣警察專科學校 111 學年度專科警員班第 41 期正期學生組

新生入學考試甲組數學科試題

壹、單選題：

解答：$$\cases{首項a_1=4\\ 公差d=11-4=7} \Rightarrow a_{15} =a_1+14d = 4+14\times 7=4+98= 102，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{兩人都抽中1號球的機率={1\over 6}\times {1\over 6}={1\over 36}\\ 兩人都抽中2號球的機率={1\over 6}\times {1\over 6}={1\over 36}\\ \cdots \\兩人都抽中6號球的機率={1\over 6}\times {1\over 6}={1\over 36}} \Rightarrow 兩人抽中同號球的機率= {1\over 36} \times 6={1\over 6}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$將\cases{\alpha=0 \\ \beta=1}代入各式，可得\cases{(A)1/3\\ (B)3/4\\ (C)4/5\\ (D)5/6}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$f(x)=2x^9-3x^7+5 =(2x-2)p(x)+r = 2(x-1)p(x)+r\\ \Rightarrow f(1)=2-3+5=4 = r \Rightarrow 餘式r=4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$f(x)= 3(x-2)^3+2x-5 \Rightarrow f'(x)= 9(x-2)^2+2 \Rightarrow f''(x)=18(x-2)\\ 若f''(x)=0，則x=2\Rightarrow 對稱中心為(2,f(2)) = (2,-1)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$x^2+y^2+2\sqrt 3x +4y-2= (x^2+ 2\sqrt 3x + 3)+(y^2+4y+4) -9=0\\ \Rightarrow (x+\sqrt 3)^2 +(y+2)^2 = 3^2 \Rightarrow 半徑=3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\log 7^{100} =100\log 7 = 100\times 0.8451 = 84.51 \Rightarrow 7^{100}為(84+1)=85位數，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$1+1+3+4 +4+5 =18 \Rightarrow 平均數=18\div 6=3 \Rightarrow 平均薪資=3\times 600+28173 =29973\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$只有\cos 165^\circ \lt 0，其它均為正值，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$至少一科及格的人數=(數學及格)+(英文及格)-(兩科都及格)=39+41-35= 45\\ 兩科都不及格=全部-至少一科及格= 50-45=5，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$假設圓心角度數為\theta \Rightarrow 扇形面積={\theta\over 2\pi}\cdot r^2\pi \Rightarrow 48\pi = {\theta\over 2\pi}\cdot 12^2\pi \Rightarrow \theta ={2\over 3}\pi，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$利用公式:\cos(\alpha-\beta)= \cos\alpha \cos \beta+\sin \alpha\sin \beta\\ 因此\cos 72^\circ\cos 12^\circ+ \sin 72^\circ \sin 12^\circ = \cos(72^\circ-12^\circ) =\cos 60^\circ={1\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$(A)\times: (-3)^2 =9 \ne -9\\(B)\times: 1^1=1 \ne 0；\\(C)\times: \log 7+\log 9 = \log (7\times 9)\ne \log(7+9) \\(D)\bigcirc: \log 5+\log 6 = \log(10\div 2) +\log(3\times 2)= \log 10-\log 2+\log 3-\log 2= 1+\log 3\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{\vec a=(1,-2)\\ \vec b=(-3,-4)} \Rightarrow \cases{|\vec a|=\sqrt{1^2+(-2)^2} =\sqrt 5\\ |\vec b|=\sqrt{(-3)^2 +(-4)^2} =5\\ \vec a\cdot \vec b=-3+8=5};\\ 因此|4\vec a-\vec b|^2 =(4\vec a-\vec b) \cdot (4\vec a-\vec b) = 16|\vec a|^2-8\vec a\cdot \vec b+|\vec b|^2 = 16\times 5-8\times 5+25 = 65\\ \Rightarrow |4\vec a-\vec b| =\sqrt{65}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\sqrt{(-2)^2 +(-1)^2} =\sqrt 5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{\vec a=(1,-2,3)\\ \vec b=(0,-3,4)} \Rightarrow \vec a\times \vec b= (1,-4,-3) \Rightarrow 平行四邊形面積=|\vec a\times \vec b| = \sqrt{1^2+(-4)^2 +(-3)^2}\\ =\sqrt{26}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{L_1方向向量\vec u=(5,-2,3)\\ L_2方向向量\vec v=(-10,4,-6)} \Rightarrow \vec u=-2\vec v \Rightarrow L_1\parallel L_2或重合\\ P(1,-2,4)\in L_1但P\not \in L_2，因此L_1\parallel L_2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$${及格人數\over 總人數} ={200\times 83\%+ 100\times 91\% + 100\times 93\%\over 400} ={166+91+93\over 400} ={350\over 400}= 87.5\%\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0\\ 93 & 3 & 4\\ -71 & 5 & 8\end{vmatrix} =48+0+0-0-0-40 = 8，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$M為3\times 2矩陣，只有(A)與(C)符合要求；又第一個元素m_{11} =3\cdot 1^2-1=2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$f(x)=6\cos x+8\sin x = 10({6\over 10}\cos x+{8\over 10}\sin x) =10\sin(\alpha+x) \\ 由於-1\le \sin(\alpha+x) \le 1，因此f(x)的最小值=-10，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$一定是:(男女男女男女) 或(女男女男女男)，3男排列數=3!、3女排列數=3!\\，因此共有3!\times 3!\times 2=72排法，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{國文72 = 67+{1\over 3}\cdot 15\\ 英文64=59+ {1\over 2}\cdot 10} \Rightarrow \cases{小明的國文成績是全體平均數再加三分之一的標準差\\ 小明的英文成績是全體平均數再加二分之一的標準差}\\ \Rightarrow 英文成績排名比較好，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$x值越大則y值越大，代表相關係數為正值，只有(B)與(D)符合此要求；又(B)較(D)集中\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$利用柯西不等式:(x^2+(2y)^2)(3^2+(-1)^2) \ge (3x-2y)^2 \Rightarrow (x^2+ 4y^2)\cdot 10\ge 20^2 \Rightarrow x^2+4y^2 \ge 40\\ \Rightarrow 最小值為40，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{x+ay=3 \\ ax+9y=9} 沒有交點\Rightarrow {1\over a}={a\over 9}\ne {3\over 9} \Rightarrow a=-3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{x+2y+2x=3 \Rightarrow \vec u=(1,2,2)\\ 6x+3y-2z=7 \Rightarrow \vec v=(6,3,-2)} \Rightarrow \cos \theta ={\vec u\cdot \vec v\over |\vec u||\vec v|} ={6+6-4\over \sqrt{9}\cdot \sqrt{49}} ={8\over 21}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$P(A\cap B) = P(A) +P(B)-P(A\cup B) = {2\over 3}+{1\over 2}-{3\over 4} ={5\over 12} \\ \Rightarrow P(A \mid B)= {P(A\cap B) \over P(B)} ={5/12\over 1/2} ={5\over 6}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$y=2^x \xrightarrow{左右伸縮3倍} y=2^{x/3}\xrightarrow{上下伸縮4倍} {1\over 4}y=2^{x/3} \Rightarrow y=4\cdot (\sqrt[3] 2)^x，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$A=\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 4 & 3\end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) =9-8=1 \Rightarrow M= A^{-1} =\begin{bmatrix} 3 & -2\\ -4 & 3\end{bmatrix} \\\Rightarrow M^2 =\begin{bmatrix} 3 & -2\\ -4 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -2\\ -4 & 3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 17 & -12\\ -24 & 17\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b\\ c &d\end{bmatrix} \\\Rightarrow a+b+c+d =17-12-24+17=-2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

貳、多重選擇題

解答：$$\cases{2^x-8\gt 0 \Rightarrow x\gt 3\\ 5^x-1\gt 0 \Rightarrow x\gt 0\\ \log_3 x-2\gt 0 \Rightarrow x \gt 9}\\(A)\bigcirc: 3 \lt \sqrt{11}\lt 9 \Rightarrow f(\sqrt{11}) ={正\cdot 正\over 負\cdot 正} \lt 0\\ (B) \bigcirc:3\lt \pi \lt 9 \Rightarrow f(\pi)={正\cdot 正\over 負\cdot 正} \lt 0 \\(C) \bigcirc: 3\lt 3^{\sqrt 3}\lt 9\Rightarrow f(3^{\sqrt 3}) ={正\cdot 正\over 負\cdot 正} \lt 0 \\(D)\times: 2022 \gt 9 \Rightarrow f(2022) ={正\cdot 正\over 正\cdot 正}\gt 0\\ (E)\times: 0\lt \log 111\lt 3 \Rightarrow f(\log 111)={負\cdot 正\over 負\cdot 正}\lt 0\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABC)}$$

解答：$$(A)\times: \overline{AB}= \sqrt{12^2+ 18^2} =6\sqrt{13} \ne 22 \\(B)\bigcirc: \overleftrightarrow{AB}: y={18\over 12}(x-1)+1 \Rightarrow 2y=3x-1 不過第二象限 \\(C) \bigcirc: 3x-1=0 \Rightarrow x=1/3 \\(D)\times: 2y=-1 \Rightarrow y=-1/2\ne 1/2 \\(E)\bigcirc: y={3\over 2}x-{1\over 2}通過整數點(1,1),(3,4), (5,7),(7,10),(9,13),(11,16),(13,19)，共7個點\\，故選\bbox[red,2pt]{(BCE)}$$

解答：$$(A)\bigcirc: \alpha+\beta =1 \Rightarrow P,A,B共線\\(B)\bigcirc: \alpha=\beta=1 \Rightarrow OAPB為平行四邊形 \Rightarrow \triangle OPA=\triangle OPB\\(C)\times: 令\cases{\vec p=\overrightarrow{OP} \\\vec a= \overrightarrow{OA}\\ \vec b=\overrightarrow{OB}\\ k=\vec a\cdot \vec b} \Rightarrow \vec p=3\vec a+ 2\vec b \Rightarrow \cases{|\vec p|^2 =(3\vec a+ 2\vec b)\cdot (3\vec a+ 2\vec b) = 72+ 12k\\ \vec a \cdot \vec p = \vec a\cdot (3\vec a+ 2\vec b) = 12+ 2k\\ \vec b \cdot \vec p= \vec b\cdot (3\vec a+ 2\vec b) = 18+3k}\\\qquad \Rightarrow \cases{\triangle OAP = {1\over 2} \sqrt{|\vec a|^2|\vec p|^2-(\vec a\cdot \vec p)^2}={1\over 2} \sqrt{4(72+12k)-(12+2k)^2} =\sqrt{36-k^2} \\ \triangle OBP = {1\over 2} \sqrt{|\vec b|^2|\vec p|^2-(\vec b\cdot \vec p)^2}={1\over 2} \sqrt{9(72+12k)-(18+3k)^2} ={3\over 2}\sqrt{36-k^2}} \\\qquad \Rightarrow \triangle OAP:\triangle OBP= 2:3 \ne 3:2\\(D)\bigcirc:\cases{{\vec a\cdot \vec p\over |\vec a|}= 6+k \\ {\vec b\cdot \vec p\over |\vec b|}=6+k} \Rightarrow {\vec a\cdot \vec p\over |\vec a|}={\vec b\cdot \vec p\over |\vec b|} \Rightarrow \vec p為平分\vec a,\vec b的夾角\\ (E)\times: 假設\cases{O(0,0)\\ A(-\sqrt 3,1)\\ B(3,0)\\ \alpha=\beta=1 \gt 0} \Rightarrow  \vec p=(3-\sqrt 3,1) \Rightarrow \vec a\cdot \vec p=4-3\sqrt 3\lt 0 \Rightarrow \angle POA為鈍角\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABD)}，公布的答案是\bbox[blue,2pt]{(ABDE)}$$

解答：$$(A)\times: \cases{A(2,2)\\ B(-4,6)} \Rightarrow 圓心C=(A+B)\div 2= (-1,4)在第二象限\\(B) \bigcirc:圓半徑r=\overline{AC}= \sqrt{3^2+2^2} =\sqrt{13} \Rightarrow 圓面積=r^2\pi = 13\pi \\(C)\times: 圓C方程式: (x+1)^2+(y-4)^2 = 13 \Rightarrow x^2+y^2+2x-8y+4=0\\(D)\times: 原點(0,0)至圓心(-1,4)距離=\sqrt{1+16} =\sqrt{17} \gt r=\sqrt{13} \Rightarrow 原點在圓外\\(E) \bigcirc: (-4,2)至圓心(-1,4)距離=\sqrt{9+4} =\sqrt{13}=r \Rightarrow (-4,2)在圓上\\，故選\bbox[red,2pt]{(BE)}$$

解答：$$(A) \times: f(1)=0 \ne 5\\(B)\times: f(-1)=0 \Rightarrow -1是f(x)\le 0其中一解，但-1\not \in [1,5]\\(C)\bigcirc: f(x)\le 0的整數解為x=-1,1,2,3,4,5，共六個整數\\(D) \bigcirc: (x+1)^2 \ge 0\Rightarrow 兩者解相同\\(E)\bigcirc: f'(x)=6(x+1)(x-1)^2(x^2- 4x-1) =0 \Rightarrow x=\pm 1,2\pm \sqrt 5(1\lt 2+\sqrt 5\lt 5)\\\qquad \Rightarrow x介於1,5之間f(x)\lt 0且只有一個極值，因此y=f(x)與y=-1剛好有2個交點\\，故選\bbox[red,2pt]{(CDE)} $$

解答：$$(A)\bigcirc:若\angle A=\pi/3，則\cos \angle A={1\over 2}={3^2+4^2-\overline{BC}^2\over 2\cdot 3\cdot 4} \Rightarrow \overline{BC}= \sqrt{13} \\(B)\bigcirc:\overline{BC}=5 \Rightarrow \angle A=90^\circ \Rightarrow \triangle ABC=3\times 4\div 2=6 \\(C) \times:\triangle ABC = {1\over 2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC}\sin \angle A ={1\over 2} \cdot 3 \cdot 4  \cdot \sin \angle A= 3\sqrt 3 \Rightarrow \sin A=\sqrt 3/2 \\\qquad \Rightarrow A=\pi/3或2\pi/3，不一定是\pi/3 \\(D) \times:{\overline{AB}\over \sin C}=2R \Rightarrow {3\over 1/2}=2R \Rightarrow R=3\ne 6 \\(E)\bigcirc: {4\over \sin \angle B} =2R=6 \Rightarrow \sin \angle B={2\over 3} \Rightarrow \overline{BC}=3\cos \angle B+4\cos \angle C = \sqrt 5+ 2\sqrt 3 \\ \qquad \overline{AB}^2 +\overline{AC}^2 = 9+16=25 \lt (\sqrt 5+2\sqrt 3)^2 = \overline{BC}^2 \Rightarrow \cos \angle B\lt 0\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABE)}$$

解答：$$(A)\times: -{10\over 3}是迴歸直線斜率，並不是相關係數\\(B) \bigcirc:(5+6+ 7+8+9)\div 5=7 \\(C) \times:迴歸直線通過(\bar x,\bar y) =(7,\bar y)，將x=\bar x=7代入迴歸直線方程式:y=-{10\over 3}\times 7+{94\over 3} =8\ne 9\\(D)\bigcirc: 假設污損欄位值為a \Rightarrow (13+12+9+4+a)\div 5=8 \Rightarrow a=2\\ (E)\bigcirc:640元=6.4百元代入迴歸直線方程式 \Rightarrow y=-{10\over 3}\times 6.4+{94\over 3}=10(萬人)\\，故選\bbox[red,2pt]{(BDE)}$$

解答：$$(A) \bigcirc: \cases{B^{-1}A^{-1}AB= B^{-1}B= I\\ ABB^{-1}A^{-1} = AA^{-1}=I} \Rightarrow  B^{-1}A^{-1}是AB的反矩陣 \\(B) \bigcirc:{1\over 2}(A+B)各行的和仍為1，仍是轉移矩陣\\(C)\times:(A+B)^2 =A^2+ AB+ BA+B^2 \ne A^2+2AB+B^2\\ (D)\times: A=\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 &1\end{bmatrix} \Rightarrow 5A=\begin{bmatrix} 5& 0 \\ 0 &5\end{bmatrix} \Rightarrow \cases{ 5\det(A)=5\\ \det(5A)= 25} \Rightarrow 5\det(A)\ne \det(5A) \\(E)\times: \begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 &0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 &0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 &0\end{bmatrix}，但\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 &0\end{bmatrix} \ne I, O\\，故選\bbox[red,2pt]{(AB)}$$

解答：$$(A)\bigcirc: 1-91\%= 9\% \\(B)\bigcirc: 1-99\%= 1\%\\(C)\times: 誤判機率=陽性誤判陰性+ 陰性誤判陽性=9\%+1\% \gt 1\%\\ (D)\bigcirc: 陽性檢測成陽性+陰性檢測成陽性= 1\%\times 91\%+ 99\%\times 1\% = 1.9\%\\(E)\bigcirc: {1\%\times 91\% \over 1\%\times 91\%+ 99\%\times 1\%} ={ 0.91\%\over 1.9\%} ={91\over 190} =0.479 \lt 50\%\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABDE)}$$

解答：$$(A)\times: E(6,6,12)\\ (B)\bigcirc: 剪開\overline{AD}，並展開圖形，則\triangle ADF為等腰直角，其中\overline{DA} =\overline{DF}=12 \Rightarrow \ell=12\sqrt 2  \lt 20\\ (C)\times: P為展開圖中\overline{AF}的中點，因此z坐標=12\div 2= 6\ne 8\\ (D)\bigcirc: \cases{A(6,0,0)\\ G(0,0,12)\\ C(0,6,0)} \Rightarrow \triangle AGC平面方程式: 2x+2y+z=12 \\\qquad \Rightarrow E(6,6,12)至2x+2y+z=12 距離={12+12+12-12 \over \sqrt{4+4+1}} ={24\over 3} =8 \\(E) \bigcirc: \cases{\triangle ABC: z=0 \Rightarrow 法向量\vec n_1=(0,0,1)\\ \triangle AGC: 2x+ 2y+z=12 \Rightarrow 法向量\vec n_2=(2,2,1)} \Rightarrow \cos \theta =\pm {\vec n_1\cdot \vec n_2\over |\vec n_1||\vec n_2|} = \pm {1\over 3}\\，故選\bbox[red,2pt]{(BDE)}$$

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解題僅供參考，歷屆試題及詳解