桃園市立武陵高級中學111學年度第一學期第1次正式教師甄選
一、 填充題 A(每題 6%共 36%)
解答:由上圖可知圓半徑r=a−1⇒x2+(y−a)2=r2=(a−1)2⇒x2=(a−1)2−(y−a)2⋯(1)又y=|x22−1|⇒y=x22−1,x≥√2⇒x2=2y+2代入(1)⇒2y+2=(a−1)2−(y−a)2⇒y2+(2−2a)y+2a+1=0恰有一根⇒(2−2a)2−4(2a+1)=0⇒4a(a−4)=0⇒a=4(∵a>1,a=0不合)
解答:(|abx1y1|,|bcy1z1|,|caz1x1|)=(c,a,b)×(z1,x1,y1)=(1,2,3)⇒(a,b,c)⊥(2,3,1)⇒(a,b,c)⋅(2,3,1)=2a+3b+c=0⋯(1);同理,(a,b,c)⋅(5,6,4)=5a+6b+4c=0⋯(2)由(1)及(2)可得{a=−2bb=c⇒a:b:c=2:−1:−1⇒ax+by+cz=0⇒2x−y−z=0柯西不等式((x−1)2+(y+2)2+(z−3)2)(22+(−1)2+(−1)2)≥(2(x−1)−(y+2)−(z−3))2⇒((x−1)2+(y+2)2+(z−3)2)⋅6≥(2x−y−z−1)2=(0−1)2=1⇒(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2≥16因此x2+y2+z2−2x+4y−6z=(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2−14≥16−14=−836
解答:假設{an:含偶數個9且長度為n的字串個數bn:含奇數個9且長度為n的字串個數⇒an+bn=10n;初始值{a1=9,也就是字串為0,1,…,8,都是含0個九b1=1,字串為9,含一個九;考慮兩種情形:{長度為n−1且含偶數個九的字串,在其後加上0,或1,...,或8長度為n−1且含奇數個九的字串,在其後加上一個九也就是an=9an−1+bn−1=9an−1+(10n−1−an−1)⇒an=8an−1+10n−1=82an−2+8×10n−2+10n−1=⋯=8n−1a1+8n−2×10+8n−3×102+⋯+10n−1=9⋅8n−1+10n−1n−2∑k=0(810)k=9⋅8n−1+5⋅10n−1(1−(810)n−1)=9⋅8n−1+1210n(1−(810)n−1)=12(10n+8n)
解答:總局數勝者排列機率小計2甲甲(34)2=916乙乙(14)2=116584甲乙甲甲(34)3⋅14=27256乙甲甲甲27256乙甲乙乙(14)3⋅34=3256甲乙乙乙325615646甲乙甲乙XX甲乙乙甲XX乙甲乙甲XX乙甲甲乙XX4⋅(34)2(14)2⇒期望值=2⋅58+4⋅1564+6⋅4⋅(9256)=9732註:比賽六局不一定要分出勝負
解答:假設{an:含偶數個9且長度為n的字串個數bn:含奇數個9且長度為n的字串個數⇒an+bn=10n;初始值{a1=9,也就是字串為0,1,…,8,都是含0個九b1=1,字串為9,含一個九;考慮兩種情形:{長度為n−1且含偶數個九的字串,在其後加上0,或1,...,或8長度為n−1且含奇數個九的字串,在其後加上一個九也就是an=9an−1+bn−1=9an−1+(10n−1−an−1)⇒an=8an−1+10n−1=82an−2+8×10n−2+10n−1=⋯=8n−1a1+8n−2×10+8n−3×102+⋯+10n−1=9⋅8n−1+10n−1n−2∑k=0(810)k=9⋅8n−1+5⋅10n−1(1−(810)n−1)=9⋅8n−1+1210n(1−(810)n−1)=12(10n+8n)
解答:總局數勝者排列機率小計2甲甲(34)2=916乙乙(14)2=116584甲乙甲甲(34)3⋅14=27256乙甲甲甲27256乙甲乙乙(14)3⋅34=3256甲乙乙乙325615646甲乙甲乙XX甲乙乙甲XX乙甲乙甲XX乙甲甲乙XX4⋅(34)2(14)2⇒期望值=2⋅58+4⋅1564+6⋅4⋅(9256)=9732註:比賽六局不一定要分出勝負
解答:ω503=1⇒(1−ω)(1+ω+ω2+⋯+ω502)=0⇒502∑k=0ωk=0又1ωk−1+1ω503−k−1=1ωk−1+1ω−k−1=1ωk−1+ωk1−ωk=−1原式=502∑k=1ω2kωk−1=502∑k=1(ω2k−1ωk−1+1wk−1)=502∑k=1(ωk+1+1wk−1)=−1+502+502∑k=11wk−1=501+(1ω−1+1ω502−1)+(1ω2−1+1ω501−1)+⋯+(1ω251−1+1ω252−1)=501+(−1)×251=250
解答:{Γ1:y1=x2−2x+2⇒y′1=2x−2Γ2:y2=−x2+ax+b⇒y′2=−2x+a⇒{y1=y2⇒2x2−(a+2)x+2−b=0⇒x=a+2±√(a+2)2−8(2−b)4y′1×y′2=−1⇒4x2−(2a+4)x+2a−1=0⇒x=2a+4±√(2a+4)2−16(2a−1)8兩根相等⇒(a+2)2−8(2−b)=(a+2)2−4(2a−1)⇒4a+8b−12=−4a+8⇒a+b=52代入算幾不等式:a+b2≥√ab⇒ab≤(54)2=2516⇒ab最大值為2516
解答:
解答:假設{A(0,0,0)G(3,3,3)⇒{¯AG中點M(3/2,3/2,3/2)→AG=(3,3,3)⇒通過M且法向量為→AG的平面E:x+y+z=9/2對任意單位立方體頂點(x,y,z)及其對角頂點(x+1,y+1,z+1),若兩頂點位於平面E的異側,需滿足:x+y+z<92<(x+1)+(y+1)+(z+1)⇒x+y+z=2,3,4⇒x+y+z(x,y,z)排列數2(1,1,0)3(2,0,0)33(1,1,1)14(3,1,0)6(2,2,0)3(2,1,1)3⇒共有19個小立方體被E切成兩塊
二、 填充題 B(每題 8%共 32 分)
解答:取{f(θ,α)=ag(θ,α)=b|→u|=|→v|=|→w|=r⇒{→u⋅→v=r2cosθ→u⋅→w=r2cos(α)=→u⋅(a→u+b→v)=ar2+br2cosθ⇒r2cosα=ar2+br2cosθ⇒cosα=a+bcosθ⋯(1)又→v⋅→w=r2cos(α−θ)=→v⋅(a→u+b→v)=ar2cosθ+br2⇒cos(α−θ)=acosθ+b⋯(2)因此(1)+(2)⇒cosα+cos(α−θ)=a+b+cosθ(a+b)=(a+b)(cosθ+1)⇒f(θ,α)+g(θ,α)=a+b=cosα+cos(α−θ)cosθ+1解答:{Γ1:y1=x2−2x+2⇒y′1=2x−2Γ2:y2=−x2+ax+b⇒y′2=−2x+a⇒{y1=y2⇒2x2−(a+2)x+2−b=0⇒x=a+2±√(a+2)2−8(2−b)4y′1×y′2=−1⇒4x2−(2a+4)x+2a−1=0⇒x=2a+4±√(2a+4)2−16(2a−1)8兩根相等⇒(a+2)2−8(2−b)=(a+2)2−4(2a−1)⇒4a+8b−12=−4a+8⇒a+b=52代入算幾不等式:a+b2≥√ab⇒ab≤(54)2=2516⇒ab最大值為2516
解答:
y4−2xy2+2x2−4=0⇒(y2−x)2+x2−4=0⇒y2−x=±√4−x2⇒{y1=√x−√4−x2⇒√2≤x≤2y2=√x+√4−x2⇒−√2≤x≤2⇒旋轉體積=π(∫2−√2y22dx−∫2√2y21dx)=π(∫2−√2x+√4−x2dx−∫2√2x−√4−x2dx)=π([12x2+12x√4−x2+2sin−1x2]|2−√2−[12x2−12x√4−x2−2sin−1x2]|2√2)=π((2+32π)−(2−π2))=2π2
解答:5c−3a≤b≤4c−a⇒{5ca≤ba≤4ca−1⋯(1)5c−3a≤4c−a⇒c≤2a⋯(2),將(2)代入(1)⇒ba≤4⋅2−1=7又clnb≥a+clnc⇒a≤clnb−clnc=clnbc⇒ba≥bc⋅1ln(b/c)現在要求b/cln(b/c)的極值,令f(x)=x/lnx,則f′(x)=0⇒1lnx−1(lnx)2=0⇒lnx=1⇒x=e⇒極值為f(e)=e⇒ba≥e,因此e≤x≤7⇒x∈[e,7]
解答:5c−3a≤b≤4c−a⇒{5ca≤ba≤4ca−1⋯(1)5c−3a≤4c−a⇒c≤2a⋯(2),將(2)代入(1)⇒ba≤4⋅2−1=7又clnb≥a+clnc⇒a≤clnb−clnc=clnbc⇒ba≥bc⋅1ln(b/c)現在要求b/cln(b/c)的極值,令f(x)=x/lnx,則f′(x)=0⇒1lnx−1(lnx)2=0⇒lnx=1⇒x=e⇒極值為f(e)=e⇒ba≥e,因此e≤x≤7⇒x∈[e,7]
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請問:第6題的(3,1,0)這組可以嗎?另外,(2,1,0)這組不合嗎?謝謝。
回覆刪除請問理由是什麼?
刪除根據給定的條件:x+y+z<9/2<(x+1)+(y+1)+(z+1)
回覆刪除x+y+z=2、3、4
(2,1,0)這組解的和=3,可答案沒有這一組。所以,想詢問不合的原因,謝謝。
(3,1,0)這組解,根據每邊3個小正立方體,它的對角頂點為(4,2,1),這樣會不會超出大正立方體了。
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