111年台北市國中聯合教甄-數學詳解

臺北市 111 學年度市立國民中學正式教師聯合甄選

數學專業科目
選擇題（共 40 題，每題 1.75 分，共 70 分）

解答：$$令f(N)=N的個位數字\Rightarrow \cases{f(2^1)=2,f(2^2)=4,f(2^3)=8,f(2^4)=6,f(2^5)=2 \Rightarrow 循環數4\\ f(3^1)=3,f(3^2)=9,f(3^3)=7, f(3^4)=1, f(3^5)=3  \Rightarrow 循環數4\\ f(5^n)=5, n\in \mathbb{N} \Rightarrow 循環數1} \\\Rightarrow \cases{2^{2021} =2^{4\cdot 505+1} \Rightarrow f(2^{2021})=2 \\3^{2021} =3^{4\cdot 505+1} \Rightarrow f(3^{2021})=3 \\ f(5^{2021})=5} \Rightarrow f(2^{2021} +3^{2021} +5^{2021}) = f(2+3+5)= f(10)=0 \\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$a=2022 \Rightarrow 原式=(10000a +a)(10000(a-1)+a-1)- (10000a+a-1)(10000(a-1)+a)\\ =(10001a) (10001a -10001)- (10001a-1)(10001a-10000) \\ =(10001a)^2-10001(10001a)-(10001a)^2+10001(10001a)-10000\\ =-10000，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$令a=2022，則原式={a^3-2a^2-(a-2)\over a^3+a^2-(a+1)} ={(a^2-1)(a-2)\over (a^2-1)(a+1)} ={a-2\over a+1} ={2020\over 2023}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$假設正方體邊長為a，則\overline{EG} =\sqrt 2 a \Rightarrow \overline{AG}=\sqrt{a^2+(\sqrt 2a)^2} =\sqrt{3}a =15 \Rightarrow a= 5\sqrt 3\\ \Rightarrow 表面積=6a^2 =6\times 75 =450，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{甲定價:a+50\\ 乙定價:a} \Rightarrow \cases{甲買二條: a+50+(a+50)\times 0.6= 1.6a+ 80\\ 乙買二條: 2a\times 0.9 =1.8a} \\ \Rightarrow 1.6a+ 80= 1.8a \Rightarrow 0.2a=80 \Rightarrow a=400 \Rightarrow 甲定價:a+50=450，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$由第三列總和= 25+ a+ 21=46+a，因此左上角的數字為a+3，即\begin{array}{|c|c|c|}\hline a+3 & 24 & X\\\hline   18 & Y & b\\\hline 25 & a & 21 \\\hline\end{array}\\ \Rightarrow \cases{a+3+24+X= 46+a\\ 24+Y+a = 46+a} \Rightarrow \cases{X=19\\ Y=22} \Rightarrow X+Y+ 25= 66 \Rightarrow \cases{19+b+21= 66\\ 25+a+21=66} \\ \Rightarrow \cases{b=26\\ a=20} \Rightarrow a+b= 46，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$假設安安抵達終點時，花了a秒 \Rightarrow \cases{安安速度:1000/a\\ 波波速度:800/a\\ 加加速度:600/a} \Rightarrow 波波抵達終點需再花{200\over 800/a} = {1\over 4}a秒\\ \Rightarrow 加加從起點花了(a+{1\over 4}a)秒走了(a+{1\over 4}a)\times {600\over a} =750公尺，離終點還有1000-750=250公尺\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{A:星期一\to 星期四 \to 星期日\\ B:星期二\to 星期五 \to 星期一\to 星期四 \to 星期日\\ C:星期三\to 星期六 \to 星期二\to 星期五 \to 星期一 \to 星期四\\ D:星期四 \to 星期日 }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$戊甲不能分開、丁在最後，因此丙只能在甲丁中間，因此順序為乙戊甲丙丁，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$C^3_2({1\over 7})^2({6\over 7}) = {18\over 343}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$令\cases{P(0,4)\\ Q(9,4)\\ R(9,0)\\ O(0,0)} \Rightarrow ABCDE五邊形面積=長方形PQRO-\triangle PAB-\triangle QDE -\triangle RCD- \triangle OBC \\ =9\times 4-{1\over 2}(2\times 3+ 2\times 2+5\times 2+4\times 1) =36-12=24，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$四筆資料符合選項(D)之公式，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{\cases{91是7的倍數\\ a+91是7的倍數} \Rightarrow a是7的倍數\\[1ex] a是9的倍數} \Rightarrow a=63的倍數\Rightarrow a=63 \Rightarrow 6\div 3=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{323x +457y=1104 \cdots(1)\\ 177x+543y= 897 \cdots(2)} ，(1)+(2) \Rightarrow 500x+ 1000y= 2000 \Rightarrow x+2y=4 \\ \Rightarrow x=4-2y 代入(2) \Rightarrow 708-354y+543y=897 \Rightarrow 189y=189 \Rightarrow y=1 \Rightarrow x=2\\ \Rightarrow a+b =x+y =3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$(76+87+94 +a+b) \div 5\ge 81 \Rightarrow a+b \ge 148 \Rightarrow a最大只能取100，此時b=48為最小\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$令\cases{\overline{AB}=a \\ \overline{AD}=b}，由於\angle B=\angle D=45^\circ \Rightarrow \cases{\overline{AE}=a/\sqrt 2\\ \overline{AF}=b/\sqrt 2} \Rightarrow \overline{AE}+ \overline{AF} ={1\over \sqrt 2}(a+b)= k\\ \Rightarrow a+b = \sqrt 2k \Rightarrow 周長=2(a+b) = 2\sqrt 2k，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$f(x) = ax^4-bx^2+x+ 5 \Rightarrow f(-3)= 81a-9b+2 =2 \Rightarrow 81a-9b=0 \\ \Rightarrow f(3) = 81a-9b+8 = 0+8=8，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$取A(2,1) \Rightarrow \cases{\overline{AB}=1\\ \overline{AC}=2} \Rightarrow 矩形ABOC = 2\times 1=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$上圖紅線上的點有8\times 4=32，機率為{32\over 80} ={2\over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$左圖: \angle 1+\cdots + \angle 7 = (c+d+e) +(d+e +f)+ (e+ f+g) + (f+g+a)+\cdots +(b+c+d)\\ =3(a+\cdots+ g) = 3\times 360^\circ \div 2= 540^\circ\\ 右圖:\angle 1+\cdots + \angle 7 =k+\ell +m+\cdots +j= 360^\circ \div 2=180^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$直角\triangle ABC 中，\overline{AC}=  \sqrt{3^2+4^2} =5\\又\cases{\angle BAC+\angle CAD=90^\circ\\ \angle BAC+\angle BCA=90^\circ} \Rightarrow \angle CAD=\angle BCA \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DCA \\ \Rightarrow 4:3:5 = \overline{DC}: 5:\overline{DA} \Rightarrow \cases{\overline{CD}=20/3\\ \overline{AD}=25/3}；\\ 同理，\triangle ACD\sim \triangle DCE \Rightarrow 5:{20\over 3}={20\over 3} :\overline{CE} \Rightarrow \overline{CE}={80\over 9} \Rightarrow \overline{AE} =5+{80\over 9} ={125\over 9}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：

$$假設正方形S_1,S_2,S_3的邊長分別為a,b,c \Rightarrow \cases{a+b+c= 3322 \cdots(1)\\ a-b+c=2022 \cdots(2)} \\ (1)-(2) \Rightarrow 2b=1300 \Rightarrow b=650，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$7^2 = 6 \mod 43 \Rightarrow 7^6 = 6^3 \mod 43= 1\mod 43 \Rightarrow 7^{12} = 1\mod 43 \Rightarrow 7^{12}-1= 43k\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$a+1 =b+2 =c+3=d+4= a+b+c+d+5 \Rightarrow \cases{b+c+d=-4\\ a+c+d = -3\\ a+b+d = -2 \\ a+b+c = -1} \\ 四式相加\Rightarrow 3(a+b+c+d) = -10 \Rightarrow a+b+c+d = -{10\over 3}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$a是12的倍數也是18的倍數\Rightarrow a是36的倍數，由於50\le a\le 100，因此a=72；\\又\cases{(a,b)=12 \\b\gt a} \Rightarrow b=12\times 7=84；同理\cases{(a,c)=18\\ c\gt b\gt a} \Rightarrow c=18\times 5=90\\ \Rightarrow a+b+c =72+84+90 = 246，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$原二位數:10a+b \Rightarrow 對調後:10b+a \Rightarrow (10a+b)+(10b+a) = 11(a+b)=k^2 \\ \Rightarrow a+b=11 \Rightarrow (a,b)=(9,2),(8,3),(7,4),(6,5),(5,6),(4,7),(3,8),(2,11)\\\Rightarrow 共8個二位數，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$此數字:123456789，任取3個數字後，剩下的六位數為其所求，因此共有C^9_6=84個，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$(a-1):(b+1): (c+2)=1:2:3 \Rightarrow \cases{a=k+1\\ b=2k-1\\ c=3k-2} \\ \Rightarrow f(k)=a^2+b^2 +c^2 = (k+1)^2 +(2k-1)^2 +(3k-2)^2 = 14k^2-14k+6  \\\Rightarrow f'(k)=28k-14=0 \Rightarrow k=1/2 \Rightarrow 最小值=f(1/2) =5/2=2.5 ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{左邊正方形面積=(x+y)^2 \\ 右邊矩形面積=(x+2y)y}，兩者面積相等\Rightarrow (x+y)^2=(x+2y)y \Rightarrow x^2+xy-y^2=0\\ 令{x\over y}=k, 則x=ky代入上式\Rightarrow k^2y^2+ky^2-y^2=0 \Rightarrow y^2(k^2+k-1)=0 \\\Rightarrow k^2+k-1=0 \Rightarrow k={\sqrt 5-1\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$x=\sqrt{1 + 2\sqrt{1+ 2\sqrt{1+2\dots}}} \Rightarrow x^2-1=2x \Rightarrow x^2-2x-1=0 \Rightarrow x=1+\sqrt{2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$令a=\sum_{k=2}^{2022}{1\over k} \Rightarrow \sum_{k=2}^{2023}{1\over k} =a+{1\over 2023} \Rightarrow 原式=(1-a)(a +{1\over 2023} )-(1-(a+{1\over 2023} ))a\\ =(1-a)(a +{1\over 2023} )-({2022\over 2023}-a )a =a +{1\over 2023}-a^2-{a\over 2023} -{2022\over 2023}a+a^2 ={1\over 2023}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$x+{1\over x}= \sqrt 5 \Rightarrow (x+{1\over x})^2=5 \Rightarrow x^2+{1\over x^2}=3 \Rightarrow x^4+{1\over x^4}= 7 \Rightarrow x^8=7x^4-1 \\ \Rightarrow x^{13}= 7x^9-x^5 \Rightarrow x^{13}- 7x^9+ x^5=0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$x^2+px -444p=0的兩整數根為a,b \Rightarrow \cases{a+b= -p\\ ab= -444p =111\times (-4p)} \\\Rightarrow 111-4p=-p \Rightarrow p=37，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$x_1+x_2+x_3+x_4= 13 \Rightarrow (x_1-1)+ (x_2-1) +(x_3-1)+ (x_4-1)= 9\\ \Rightarrow 共有H^4_9= C^{12}_9 = 220組解，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$a_{100} = 2a_{99}+1 =2(2a_{98}+1)+1 = 2^2a_{98}+2+1 = \dots = 2^{99}a_1 +2^{98}+\cdots +2 + 1\\ = 2^{99}  +2^{98}+\cdots +2 + 1 =2^{100}-1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$C^n_2\ge 200 \Rightarrow n=15，此時C^{15}_2=105，即15種任取2種不同口味有105種選擇，\\若再加上兩種口味可以相同，有105+15=120種選法，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$得分最高三隊為A、B、C，此三隊與其他三隊比賽兩場皆獲勝，A、B、C各獲得2\times 3\times 3=18分；\\A、B、C三隊之間比賽:\cases{A勝B、B勝C、C勝A\Rightarrow 各得3分\\ A勝C、C勝B、B勝A\Rightarrow 各得3分} \Rightarrow A、B、C同為18+6=24分\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$ABCD為正方形\Rightarrow \angle CAD=45^\circ \Rightarrow \overline{AP} =\sqrt 2\cdot \overline{PQ}= \sqrt 2\\ \Rightarrow 對角線長\overline{AC} = 2\overline{AP} +\overline{PR} =2\sqrt 2+6 \Rightarrow \overline{AD}= \overline{AC}\div \sqrt 2 = {2\sqrt 2+6\over \sqrt 2} =2+3\sqrt 2 \\\Rightarrow 面積=(2+ 3\sqrt 2)^2 = 22+12\sqrt 2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：

$$過A作直線，該直線平行L且分別交\overline{BY}與\overline{CZ}於P及Q，見上圖；\\因此 \overline{BY}，則\overline{AP} =\sqrt{\overline{AB}^2-\overline{BP}^2} =\sqrt{3^2-1^2} =2\sqrt 2 ；\\假設圓C半徑為r，則\overline{BY}\parallel \overline{CZ} \Rightarrow \cfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \cfrac{\overline{BP}}{\overline{CQ}} = \cfrac{\overline{AP}}{\overline{AQ}} \Rightarrow {3\over r+5} ={1\over r-1} ={2\sqrt 2\over \overline{AQ} }\\ \Rightarrow r=4 \Rightarrow \overline{XZ}=\overline{AQ}=6\sqrt 2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$${x^2\over 4}+{y^2\over 9}=1 \Rightarrow 4y^2=36-9x^2 \Rightarrow 8yy'=-18x \Rightarrow y'= \left.-{9x\over 4y} \right|_{(\sqrt 2,3\sqrt 2/2)} =-{3\over 2}\\ \Rightarrow 通過(\sqrt 2,3\sqrt 2/2)且斜率為-{3\over 2}之切線方程式: y=-{3\over 2}(x-\sqrt 2)+{3\sqrt 2\over 2} =-{3\over 2}x+ 3\sqrt 2\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解題僅供參考，其他教甄試題及詳解