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2022年6月19日 星期日

111年新北市國中教甄聯招-數學詳解

新北市立國民中學 111 學年度教師聯合甄選

選擇題: 共 40 題, 總分 100 分。 每題 2.5 分

解答99=3×3×1198=2×7×7,9796=25×395=5×1994=2×4793=3×3192=2×2×2391=7×1390=2×3×3×5(D)
解答{a=x111b=x115{a2+b2=100ab=4(ab)2=1002ab=16ab=42(B)
解答a+b=180=65c5+d5=65{a=5c2b=5d2c+d=6=H26=C76=7(B)
解答323=(32)11.5=911.5>811{323=(33)7.6=277.6514=(52)7=257323>514323>(32.5)9=(93)9=(9×1.732)9>119:323(A)
解答f(1)=f(9)>f(10){y=f(x)f((9+1)÷2)=f(5)(A)×:|35|<|85|385f(3)>f(8)(B)×:|05|<|115|0115f(0)>f(11)(C)×:f(5)0(D):b2a=5>0ab<0(D)
解答
解答(A)|x4||x+5|(x4)2(x+5)2x12(B)(C)(3x5)2(8x2)255x22x210(11x7)(5x+3)053x117x=1,0,1(D)(C)
解答a2+b2a,bZ0a,b6a2,b2[0,12,22,,62]7C72+7()=28a=b=0()32+42=02+52((0,0)(3,4)=(0,0)(5,0))282=26(A)
解答(n+12)180n+1=(n12)180n1+2(n1)180n+1=(n3)180n1+2180(n1)2=180(n+1)(n3)+2(n21)2n2=722n=19(B)
解答{a8=a8+4k=3a100=a8+423=3a22=a22+4m=15a102=15a31=a31+4n=18a103=18a100+a101+a102+a103=553+a101+15+18=55a101=55182=19(D)
解答x+2y+3z=4u=(1,2,3)|u|=14(A)3x+2y=1v=(3,2,0)cosθ=uv|u||v|=71314(B)2y+z=2v=(0,2,1)cosθ=uv|u||v|=7514(C)3x+z=3v=(3,0,1)cosθ=uv|u||v|=61014(D)2x+y+z=4v=(2,1,1)cosθ=uv|u||v|=7614(C)(C)
解答{aa+bb=50(1)ab+ba=25(2)(1)(2)=(a)3+(b)3aab+bab=(a+b)(aab+b)ab(a+b)=aab+bab=5025=2a+b=3aba2+b2=7ab(3)(1)×(2)=(aa+bb)(ab+ba)=a2ab+a2b+ab2+b2ab=ab(a2+b2)+ab(a+b)=1250(4)(3)(4)ab(7ab)+ab(3ab)=125010abab=1250abab=125(ab)3=125ab=5ab=25(A)
解答{4x+3y=a3x+6y=b{x=(2ab)/5y=(4b3a)/15x+y=3a+b15ab2a+b112142913361243112a+b=11(C)
解答x+2,2x+1,y,8x1012x+1x+2=y2x+1=8x101y{(2x+1)2=y(x+2)y2=(2x+1)(8x101)y2=(2x+1)4(x+2)2=(2x+1)(8x101)(2x+1)3=(x+2)2(8x101)8x3+12x2+6x+1=8x369x2372x40427(3x2+14x+15)=027(x+3)(3x+5)=0{x=3y=(2x+1)2/(x+2)=25x=5/3(A)
解答
{¯AB=1OAB=36010=36{M=¯ABOBM=18tan18=1/2RR=12tan18=cot182(D)
解答AA+B=60%×5%60%×5%+40%×3%=3%3%+1.2%=11.4=57(B)
解答

=r2π=4π=2:(a+5)2=72+(a+2)2a=143=127(a+2)=72203=703(A)
解答擲骰子三次點數分別為a,b,c,依題意需同時滿足\cases{b\gt a\\ b\gt c},因此\\ \begin{array}{}b & a,c排列數\\\hline 2 & 1\\   3 & 2^2=4\\  4& 3^2=9\\ 5 & 4^2 =16 \\ 6 & 5^2 = 25\\\hdashline \end{array} ,共有1+ 4+ 9 +16+25=55種可能,機率為{55\over 6^3} \approx 0.255,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解答
\cases{\overline{DF}={1\over 2}\overline{AB}=6\\ \angle ADB=90^\circ } \Rightarrow F為\triangle ABD外接圓圓心 \Rightarrow \overline{FB}=\overline{FA}= \overline{FD}=6 \\ 因此\cfrac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\cfrac{\overline{BF}}{\overline{FA}} \Rightarrow \overline{EF}\parallel \overline{AC} \Rightarrow \cfrac{\overline{EF}}{\overline{AC} }= {1\over 2} \Rightarrow \overline{EF}={1\over 2}\cdot 14=7,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答7班選4班有C^7_4取法,而每一班各有2種選法,因此共有2^4C^7_4取法,機率為{2^4C^7_4\over c^{14}_4} ={80\over 143}\\,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答每人有四種可能:都不買、買A不買B、買B不買A、AB都買,因此有4^4=256種情形;\\狀況一:\cases{四人都不買A:2^4=16\\ 四人都不買B:2^4=16},扣除既不買A也不買B,共有16+16-1=31種情形\\ 狀況二:四人都有買A:2^4=16\\ 狀況一與狀況二的交集:四人都有買A且四人都沒買B,這只有一種情形;\\因此狀況一聯集狀況二的情形有46種;\\總共有256-46=210購買情形,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答假設f(x)=ax^3+ bx^2 +cx+d \Rightarrow \cases{f(0)=d=1\\ f(-1)=-a+b-c+d=0} \Rightarrow \cases{d=1\\ a-b+c=1} \cdots(1)\\ \Rightarrow (x+1)f(x)= ax^4+ (a+b)x^3+ (b+c)x^2+ (c+1)x +1\\ 由長除法可得 (x+1)f(x)=(x^3+x^2 +x+1) (ax+b)+ (c-a)x^2 + (-a-b+c+1)x+ 1-b\\ \Rightarrow \cases{c-a=1\\ -a+c+1-b=0\\ 1-b=-1}再加上(1),可得\cases{a=1\\ b=c=2 \\d=1}\\ \Rightarrow f(x)= x^3 +2x^2 +2x+1 \Rightarrow f(1)= 1+2+2+1 = 6,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答\cases{A(1,0)\\ B(1,2)\\ C(0,a)} \Rightarrow \cases{\overline{AC}= \sqrt{a^2+1}\\ \overline{BC}= \sqrt{(a-2)^2+1}}\Rightarrow \cfrac{\overline{AC}} {\overline{BC}} =\sqrt{a^2+1\over (a-2)^2+1}=\sqrt {a^2+1\over a^2-4a+5} \\ 假設f(a)={a^2+1\over a^2-4a+5},本題欲求\sqrt{f(a)}之極值,因此先求f(a)之極值\\ f'(a)={2a \over a^2-4a+5} -{ (a^2+1)(2a-4)\over (a^2-4a+5)^2} ={ -4(a^2-2a-1)\over (a^2-4a+5)^2}\\ 因此f'(a)=0 \Rightarrow a^2-2a-1=0 \Rightarrow a=1+\sqrt 2 \Rightarrow f(1+\sqrt 2)= 3+2\sqrt 2 \\ \Rightarrow 欲求之極值 \sqrt{f(1+\sqrt 2)}= \sqrt 2+1,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解答Y=a+b(X-65) \Rightarrow \cases{a=英文平均分數=50\\ b= r_{xy}\cdot {\sigma_Y\over \sigma_X} =0.75\cdot {12\over 9}=1} \Rightarrow a+b=50+1=51,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答\cases{A(0,1)\\ B(1/2,0)\\ C(1,1)\\ D(0,3)} \Rightarrow \cases{\overline{AB}= \overline{BC}= \sqrt{5\over 4}\\ \overline{CD}= \sqrt 5} \Rightarrow \overline{AB}+ \overline{BC}+ \overline{CD}= 2\sqrt 5,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答令\cases{A=10^{21}+111\\ B=10^7+5},由於(10^7+5)(10^{14}-5\times 10^7)=10^{21}-25\times 10^7 \\\Rightarrow A+25\times 10^7=B(10^{14}-5\times 10^7);又24B \lt 25\times 10^7 \lt 25B\\ 因此\lfloor A\div B \rfloor=   (10^{14}-5\times 10^7)+24 =m \Rightarrow m = 24 \mod 100,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答

令\cases{\angle CAD=\alpha \\ \angle C=\theta \\ \overline{AC}=x \\ \overline{AB}=\overline{CD}=a},則\cases{\triangle ACD: \cfrac{x}{ \sin(180^\circ-(\alpha+\theta))} =\cfrac{x}{ \sin( \alpha+\theta)} =\cfrac{a}{ \sin \alpha}\\[1ex] \triangle ABC:\cfrac{x}{\sin 2\theta}=\cfrac{a}{\sin\theta}}\\ \Rightarrow x=\cfrac{a\sin(\alpha+\theta)}{\sin \alpha} =\cfrac{a\sin 2\theta}{\sin \theta } =2a\cos \theta \Rightarrow \sin(\alpha+\theta)=2\sin \alpha \cos \theta \Rightarrow \sin \theta\cos \alpha= \sin \alpha\cos \theta\\ \Rightarrow \sin(\theta-\alpha)=0 \Rightarrow \theta=\alpha \Rightarrow 72^\circ+4\theta=180^\circ  \Rightarrow \theta = 27^\circ ,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答

\overline{AD}=40\Rightarrow \cases{\overline{BD}=20\\ \overline{AB}=20\sqrt 3} \Rightarrow \overline{CD}=\overline{AB}-\overline{BD}=20(\sqrt 3-1) \Rightarrow \overline{EC} =\overline{ED}= \overline{CD}\div \sqrt 2\\ =10(\sqrt 6-\sqrt 2) \Rightarrow \overline{AE}= \overline{AC}-\overline{EC} = \sqrt 2\overline{AB}-10(\sqrt 6-\sqrt 2)=20\sqrt 6-10(\sqrt 6-\sqrt 2)\\ =10\sqrt 6+10\sqrt 2 \Rightarrow \overline{AE}-\overline{ED}= (10\sqrt 6+10\sqrt 2)-10(\sqrt 6-\sqrt 2) =20\sqrt 2 = 28.28,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解答
假設\cases{G= \overleftrightarrow{AB'} \cap \overline{BC}\\ H= \overleftrightarrow{AC'} \cap \overline{BC}} \Rightarrow \cases{\overline{BB'}為\overline{AG}的中垂線\\ \overline{CC'}為\overline{AH}的中垂線} \Rightarrow \cases{\overline{BA}=\overline{BG} = 68\\ \overline{CH}=\overline{CA} =76} \Rightarrow \cases{\overline{CG}=92-68=24\\ \overline{BH}=92-76=16} \\  \Rightarrow \overline{HG}=92-24-16=52 \\由於\cfrac{\overline{AC'}}{\overline{AH}} =\cfrac{\overline{AB'}}{\overline{AG}} = {1\over 2}\Rightarrow \overline{B'C'}={1\over 2}\overline{HG}=26,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答假設直圓錐\cases{底面圓半徑 r\\高h\\斜邊高s=\sqrt{r^2+h^2}} \Rightarrow 側表面積=\pi r s ,\\因此原直圓錐h=r  \Rightarrow s= \sqrt 2r \Rightarrow 側表面積=\sqrt 2\pi r^2\\ (A)s=\sqrt{r^2+(2.5r)^2}=\sqrt{7.25}r \Rightarrow 側表面積=\sqrt{7.25}\pi r^2\\ (B)s = \sqrt{r^2+(1.5r)^2} =\sqrt{3.25}r \Rightarrow 側表面積=\pi\cdot 1.5r\cdot \sqrt{3.25}r =1.5\sqrt {3.25}\pi r^2 \\(C)s=\sqrt{(1.1r)^2 +(2r)^2} =\sqrt{5.21}r \Rightarrow 側表面積=\pi \cdot 1.1r\cdot \sqrt{5.21}r = 1.1\sqrt {5.21}\pi r^2 \\(D)原角度={2\pi r\over s}={2\pi r\over \sqrt 2r} =\sqrt 2\pi  \Rightarrow 新角度={\sqrt 2\over 1.19}\pi  \Rightarrow s=\cfrac{2\pi r}{\sqrt 2\pi/ 1.19} =1.19\sqrt 2 r\\ \qquad \Rightarrow 側表面積= 1.19\sqrt 2 \pi r^2\\ (B)值最大,故選\bbox[red,2pt]{(B)}


解答90-100分占全體的(100\%-84\%)=16\% \Rightarrow 全體有80\div 16\%=500人\\\cases{70-80占全校23\%\\ 成績80分的累積相對次數為60\%} \Rightarrow 成績70分的累積相對次數為60\%-23\%=37\%\\ \Rightarrow 60-70分占全體的37\%-28\% = 9\% \Rightarrow 人數為500\times 9\%= 45人,故選\bbox[red,2pt]{(C)}

解答由盒狀圖可知\overline{Q_1Q_2}\lt \overline{Q_2Q_3},只有(B)符合此條件,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答直線L:x+ay=2+4a \Rightarrow x-2=-a(y-4) \Rightarrow L通過P(2,4);\\ f(x)=x^3-6x^2+15x-10 \Rightarrow f'(x)=3x^2-12x+15 \Rightarrow f''(x)=6x-12\\ 因此f''(x)=0 \Rightarrow x=2 \Rightarrow P為圖形y=f(x)的對稱中心 \Rightarrow \cases{b_1+b_2+b_3= 3\cdot 2=6\\ c_1+c_2+c_3= 3\cdot 4=12} \\ \Rightarrow b_1+b_2+b_3 +c_1+c_2+c_3 =6+12=18,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答

\cases{圓C_1:(x+7)^2+y^2=25 \Rightarrow \cases{圓心O_1(-7,0)\\ 半徑r_1=5}\\ 圓C_2: (x-6)^2+y^2=100 \Rightarrow \cases{圓心O_2(6,0)\\ 半徑r_2=10}};\\兩圓心皆在x軸線上,可假設公切線L經過P(a,0);因此\cfrac{\overline{PO_1}}{\overline{PO_2}} =\cfrac{ \overline{r_1}}{ \overline{r_2}} \Rightarrow {-7-a\over 6-a}={5\over 10} \Rightarrow a=-20\\ \Rightarrow L: y=m(x+20) \Rightarrow d(O_1,L)=r_1 \Rightarrow \left| {13m\over \sqrt{m^2+1}}\right|=5 \Rightarrow m={5\over 12}(斜率需為正值)\\ \Rightarrow L:y={5\over 12}(x+20) \Rightarrow \cases{(A)x=12 \Rightarrow y=40/3\\(B)x=8 \Rightarrow y=35/3 \\(C) x=4\Rightarrow y=10 \\(D) x=0 \Rightarrow y=25/3},故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答取巧的方法,找變異數和最小的,即(C)或(D),但(D)的多數(700人)變異數較小\\,合併後的變異數會比(C)小,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解答假設地球半徑為R\\ (A) R\cos 60^\circ \times (135^\circ-100^\circ)={35\over 2}R =17.5R \\(B)R\cos 45^\circ \times (125^\circ-100^\circ) ={25\sqrt 2\over 2}R \approx 17.67R\\ (C)R\cos 30^\circ \times (120^\circ-100^\circ) = {20\sqrt 3\over 2}R \approx 17.32R\\(D) R\cos 0^\circ\times (117^\circ-100^\circ) = 17R\\ 因此選項(B)最大,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答假設\cases{A位於正方形的中心,即A(3.5,3.5)\\ B位於左上角頂點,即B(0,7)\\ C位於右下角頂點,即C(7,0)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AB} = (-3.5,3.5)\\ \overrightarrow{AC} =(3.5,-3.5)} \\\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} =-3.5^2-3.5^2 =-24.5,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答\log E=4.8+1.5Q \Rightarrow E=10^{4.8}\cdot 10^{1.5Q} \Rightarrow {日本地震能量\over 集集地震能量} =\cfrac{10^{4.8}\cdot 10^{1.5\cdot 9.1} }{10^{4.8}\cdot 10^{1.5\cdot 7.3}} =10^{1.5(9.1-7.3)}\\ =10^{1.5\cdot 1.8}  =10^{2.7} \approx 500,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解答A^5=A^3\cdot A^2 \Rightarrow A^2=(A^3)^{-1}A^5 = \left(\begin{bmatrix} 7 & 6 \\-6 & -5\end{bmatrix} \right)^{-1} \begin{bmatrix} 11 & 10\\ -10 & -9\end{bmatrix}  =  \begin{bmatrix} -5 & -6 \\ 6 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11 & 10\\ -10 & -9\end{bmatrix} \\=\begin{bmatrix} 5 & 4\\ -4 & -3\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 5 & 4\\ -4 & -3\end{bmatrix} A= \begin{bmatrix} 7 & 6 \\-6 & -5\end{bmatrix} \Rightarrow A=\left( \begin{bmatrix} 5 & 4\\ -4 & -3\end{bmatrix} \right)^{-1}\begin{bmatrix} 7 & 6 \\-6 & -5\end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix} -3 & -4\\ 4 & 5\end{bmatrix}  \begin{bmatrix} 7 & 6 \\-6 & -5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\-2 & -1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a & b \\c & d\end{bmatrix} \Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2 = 9+4+4+1=18\\,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答


L通過(4,0)及(12,144) \Rightarrow L:y=18x-72 \Rightarrow \cases{L與拋物線y=x^2交於A(12,144)及B(6,36)\\ L與x軸交於C(4,0)\\L與y軸交於D(0,-72)} \\ \Rightarrow 所求面積=\int_0^6 x^2-(18x-72)\;dx - \triangle OCD面積= \left. \left[ {1\over 3}x^3-9x^2+72x \right] \right|_0^6 -{1\over 2}\cdot 4\cdot 72\\ =180-144=36,故選\bbox[red,2pt]{(D)}

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解題僅供參考,其他教甄歷年試題及詳解

8 則留言:

  1. 老師你好
    第35題我把每個數值都算出來
    結果變異數最小是(B)

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  2. 老師您好,想請問一下23題是怎麼算的?看不太懂,謝謝

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    1. 我把它寫得再詳盡些,希望有看懂!

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    2. 瞭解了,謝謝老師

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    3. 老師您好,抱歉想問一次微分f'(a)=0,a為什麼會是1+√2呢?謝謝您

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    4. 我最近剛好也在刷題目,朱老師倒數第二行及第三行應該是筆誤了
      應修正:
      「分子 -4(a^2-2a-1)」
      「f '(a)=0 =>a^2-2a-1=0」

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