111年公務人員普通考試試題
類 科: 氣象
科 目: 微積分
解答:limx→0sinxx=limx→0cosx1=1⇒limx→0f(x)=f(0)=1⇒f(x)是連續的,x∈R又f′(x)={xcosx−sinxx2,x≠00,x=0而limx→0xcosx−sinxx2=limx→0−sinx2=0=f′(0)因此f(x)是可微分的,x∈R
解答:f(x,y)=tan−1yx⇒{fx=−yx2+y2⇒{fxx=2xy(x2+y2)2fxy=y2−x2(x2+y2)2fy=xx2+y2⇒{fyx=y2−x2(x2+y2)2fyy=−2xy(x2+y2)2
解答:假設→f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t));令u=√t+1⇒du=12√t+1dt=12udt⇒dt=2udu⇒f1(t)=∫tt+1−√t+1dt=∫u2−1u2−u⋅2udu=∫2(u+1)du=(u+1)2=(√t+1+1)2+C=t+2√t+1+C′;再由f1(0)=3⇒2+C′=3⇒C′=1⇒f1(t)=t+2√t+1+1;同理,f2(t)=∫1√t(t+1)dt=2tan−1√t+C;再由f2(0)=2⇒C=2⇒f2(t)=2tan−1√t+2;f3(t)=∫1(t2+1)2dt=12(tt2+1+tan−1t)+C;再由f3(0)=1⇒C=1⇒f3(t)=12(tt2+1+tan−1t)+1因此→f(t)=(t+2√t+1+1,2tan−1√t+2,12(tt2+1+tan−1t)+1)
解答:f(x)=lnx⇒f′(x)=1x⇒f″(x)=−1x2⇒f‴(x)=2x3⇒f[n]=(−1)n−1(n−1)!xn⇒f(x)=f(a)+f′(a)1!(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+⋯=ln(a)+1a(x−a)−12a2(x−a)2+13a3(x−a)3−⋯+1nan⋅(−1)n−1(x−a)n+⋯⇒f(x)=lnx=∞∑k=1(−1)k−1kak(x−a)klimn→∞|an+1an|=limn→∞|na(n+1)(x−a)|=|x−aa|<1⇒|x−a|<a⇒收斂半徑=a
解答:f(x,y)=x3+y3−3x−3y2⇒{fx=3x2−3fy=3y2−6y⇒{fxx=6xfxy=0fyy=6y−6⇒D(x,y)=fxxfyy−f2xy⇒判別式D(x,y)=36x(y−1)因此{fx=0fy=0⇒{x=±1y=0,2⇒臨界點(1,0),(1,2)(只考慮0≤x,y≤3)⇒{D(1,0)=−36<0⇒(1,0)為鞍點D(1,2)=36>0又fxx(1,2)=6>0⇒(1,2)為極小值⇒f(1,2)=−6考慮邊界點{f(3,3)=18f(3,0)=18f(0,3)=0f(0,0)=0,因此{最小值=f(1,2)=−6最大值=f(3,0)=f(3,3)=18
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考選部未公告答案,解題僅供參考,其他國考試題及詳解
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