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2022年7月9日 星期六

111年新竹縣、苗栗縣、花蓮縣國小教甄-數學詳解

 111學年度中區縣市政府教師甄選策略聯盟

新竹縣、苗栗縣、花蓮縣國小教師甄選數學試題

1. 對國小低年級學童而言,下列四個比較型的加減法文字問題中,哪一個題型最難?
(A)大大有52元,已知雄哥比大大多7元,請問雄哥有多少元?
(B)小小有50元,花花有19元,請問花花比小小少多少元?
(C)明明有40元,已知明明比英英少29元,請問英英身上有多少元?
(D)貞貞有49元,已知華華比貞貞少17元,請問華華有多少元?
解答:$$前12題皆為數學課綱及教材教法相關,不再贅述,直接寫答案,本題\bbox[red,2pt]{(C)}$$

2. 有三個加減法問題如下:
甲、 小明有6顆彈珠,小華給他2顆彈珠後, 請問小明有幾顆彈珠?
乙、 小明有6顆彈珠,小華給他一些彈珠後,小明現在有8顆彈珠, 請問小華給小明幾顆彈珠?
丙、 小明有一些彈珠,小華給他2顆彈珠後,小明現在有8顆彈珠, 請問小明原來有幾顆彈珠?
請問對於大部分低年級學生而言,由易到難順序為何?
(A)甲→乙→丙 (B)甲→丙→乙 (C)丙→乙→甲 (D)乙→丙→甲
解答:$$本題\bbox[red,2pt]{(A)}$$

3. 下面除法問題中,哪個題目所代表的類型與其他三者不同?
(A) 6個同學平分成3組,每組有幾個人? 
(B) 6個彈珠平分到3個盒子中,可裝成幾個盒子?
(C) 6個蘋果平分給3個人,每個人得到幾個蘋果? 
(D) 6個蘋果每3個裝1包,共可分裝成幾包?
解答:$$本題\bbox[red,2pt]{(D)}$$

4. 老師想布一些「利用參照數比較分數大小」的問題進行教學,有四個布題如下:
甲、比較 \({3\over 5}\)和 \({2\over 8}\)的大小 
乙、比較 \({7 \over 8}\)和 \({6 \over 7}\)的大小 
丙、比較 \({1 \over 5}\)和 \({1 \over 6}\)的大小 
丁、比較 \({3 \over 7}\)和 \({5 \over 9}\)的大小
請問哪些問題是適合以 \({1\over 2}\)為參照數進行分數大小比較的布題?
(A)只有甲、丙 (B)只有甲、丁 (C)只有甲、丙、丁 (D)只有乙、丙、丁
解答:$$本題\bbox[red,2pt]{(B)}$$

5. 下列何者可能是分數 \({2 \over 5}\)所代表的意義?
(A) \(2\div 5\)  的結果 (B)25的比值 (C)2個 \({1 \over 5}\) (D)以上都對

解答:$$本題\bbox[red,2pt]{(D)}$$

6. 和「角與角度」 有相關的單元,有三個教學活動如下:
甲、 利用量角器實測角度 乙、 三角形的三內角和是180度 丙、 透過旋轉角理解平角是180度
請問最合理的教學安排順序為何?
(A)甲→丙→乙 (B)乙→丙→甲 (C)丙→甲→乙 (D)丙→乙→甲
解答:$$本題\bbox[red,2pt]{(A)}$$

7. 在整數的四則運算中,如果有些學童只會使用「由左到右」的運算規約,則下列哪一個不適合做為診斷這一類學童的評量試題?
(A) \(24- 5\times 2- 4\) =( ) (B)\(10+ 2\times 6- 5\) =( )
(C)\(18- 8+ 3\times 3\) =( ) (D) \(4\times 3+ 8- 5\) =( )
解答:$$選項(D)剛好就是由左到右運算,無法診斷此規約,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

8. 有二個數學問題如下:
甲、 有
72顆蘋果,每3顆裝1袋,每4袋裝1箱, 請問可以裝成幾箱?
乙、 有一些糖果,每
3顆裝1袋,或每4顆裝1袋,都可以裝完沒有剩下, 請問糖果最少有幾顆?
請問哪些問題適合做為學習「 連除兩數相當於除以兩數之積」 的教學布題?
(A)甲、乙都適合 (B)只有甲適合 (C)只有乙適合 (D)甲、乙都不適合
解答:$$72\div 3\div 4 =72\div (3\times),可以說成一箱12顆,可裝幾箱;故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

9. 教師要引導學童瞭解「乘法交換律」。下列哪一道問題最適合布題?
(A)哥哥有5枝鉛筆,弟弟的鉛筆數量是哥哥的6倍, 請問弟弟有幾枝鉛筆?
(B)一盒鉛筆有5枝,弟弟買了6盒, 請問弟弟有多少枝鉛筆?
(C)全班同學排隊參加升旗典禮,每一排有5人,全班排6排, 請問全班有幾人?
(D)一枝鉛筆長5公分, 小志將6枝鉛筆排成一排, 請問6枝鉛筆排出來的長度是多少公分?

解答:$$本題\bbox[red,2pt]{C)}$$

10. 在學過了加法的結合律之後,教師想讓學生經由計算練習掌握結合律對計算的方便性。有四個計算問題如下:
甲、 12+3+4=? 乙、 36+99+1=? 丙、 58+123+77=? 丁、 100+200+300=?
請問哪些問題較為適合?
(A)只有甲、乙 (B)只有乙、丙 (C)只有丙、丁 (D)只有乙、丙、丁
解答:$$乙可以先算99+1、丙可以先算123+77,由此可較易計算整個答案,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$


11. 有二個國小數學問題如下:
甲、 全班同學有25位,今天有6位同學請假, 請問請假人數佔全班人數的多少?
乙、 塑膠水管25公尺重6公斤,同樣材質的塑膠水管30公尺, 請問重多少公斤?
請問關於這兩題的語意類型,下列敘述何者正確?
(A)甲、乙都是比率問題 (B)甲、乙都是比例問題
(C)甲是比率問題、乙是比例問題 (D)甲是比例問題、乙是比率問題
解答:$$甲是求比率,乙是在相同比例下求重量,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

12. 若教師藉由「雞兔同籠」 的問題, 教過求解兩個數未知的數量關係後,想再命一個與「雞兔同籠」結構相似的問題讓學生練習,則下
列哪一個命題最合適?
(A)某人去書店買了紅筆和藍筆共12枝,已知1枝紅筆和1枝藍筆共22元, 請問某人各買了幾枝紅筆和藍筆?
(B)爸爸和兒子今年的年齡和為32歲,且已知爸爸12年後的年齡是兒子年齡的3倍, 請問爸爸和兒子今年各幾歲?
(C)已知紅茶一杯和綠茶一杯的價錢相同,若買2杯紅茶和3杯綠茶要付100元, 請問紅茶一杯和綠茶一杯各多少元?
(D)某人去早餐店買肉包和菜包共8個,已知一個肉包賣15元、一個菜包賣12元,若某人付了114元, 請問某人各買了幾個肉包和菜包?
解答:$$由於雞兔兩動物腳的數量不同,因此命題需找(單價)不同的物品,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

13. 有三位學生的說法如下:
甲、 爸爸的年齡和我的年齡成正比。 乙、 體積是指物體所占空間的大小。 丙、 圓面積=半徑×圓周長之半。
請問哪幾位學生的說法是正確的?
(A)只有乙 (B)只有甲、乙 (C)只有甲、丙 (D)只有乙、丙
解答:$$爸爸與我的年齡並非正比,而是固定差距,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

14. 老師拿出一個圖形卡,如圖, 想請學生確認該圖形是否為一個扇形?
有三位學生的說法如下:
甲、把圖形對摺(A、 B兩點重合),如果對摺後圖形完全疊合,則此圖形為扇形。
乙、拿圓規以C為圓心, AC 為半徑畫圓,若弧AB為圓的一部分,則此圖形為扇形。
丙、在弧AB上的任一點到點C的距離均相等,則此圖形為扇形。


請問哪些學生的說法正確?
(A)只有甲、乙 (B)只有甲、丙 (C)只有乙、丙 (D)甲、乙、丙
解答:$$對摺後圖形完全疊合也可能是直線,因此甲說法錯誤,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

15. 某六年級教師依據十二年國教數學課綱學習內容「 D-6-2解題:可能性」的說明,設計教學活動情境如下:
關於此情境,有兩項說法如下:
甲、 學生要瞭解「抽中紅球的可能性是 \({18 \over 20}\),抽中白球的可能性是 \({2 \over 20}\)」
乙、 學生要瞭解「很有可能抽中紅球,不太可能抽中白球」
請問哪些說法符合「 D-6-2解題:可能性」的學習內容?
(A)甲、乙都符合 (B)甲符合、乙不符合
(C)甲不符合、乙符合 (D)甲、乙都不符合
解答:$$依課綱內容『解題:可能性。從統計圖表資料,回答可能性問題。機
率前置經驗。\\「很有可能」、「很不可能」、「A比B可能」』,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

16. 新鮮水果行販售水梨和芭樂兩種水果,水梨的定價為25元一顆,芭樂的定價為15元一顆。配合水果產季, 新鮮水果行決定推出以下三種折扣方式供顧客選擇:
$$\begin{array}{|l|}\hline 甲、不論顆數及種類,結帳時一律打八折\\\hline 乙、水梨一律打八折,芭樂每買四顆多送一顆\\\hline 丙、買兩顆水梨送一顆芭樂\\\hline \end{array}$$
若小華要購買二十顆水梨、十顆芭樂,請問選擇哪種方案最划算?
(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)三種皆相同
解答:$$\cases{甲:(20\times 25+ 10\times 15)\times 0.8=520\\ 乙:20\times 25\times 0.8 + 8\times 15=520 \\丙:20\times 25=500} \Rightarrow 丙方案最便宜,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

17. 十進位數值170若改以八進位表示時,其表示值為何?
(A) 242 (B) 243 (C) 247 (D) 252
解答:$$170= 2\times 8^2 + 5\times 8+ 2 \Rightarrow 八進位=252故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

18. 將任意一個三位數的百位數字、十位數字及個位數字,任取兩個數字可組成六個二位數。把這六個二位數相加後的和,除以此三位數的三個數字和,所得到的結果具有什麼特性?
(A) 3的倍數 (B) 5的倍數 (C) 7的倍數 (D) 11的倍數
解答:$$任意三位數:100a+ 10b+c \Rightarrow 六個二位數字\cases{10a+b\\ 10a+c \\ 10b+a\\ 10b+c\\ 10c+a \\ 10c+b}之和=22(a+b+c)\\ \Rightarrow 22(a+b+c)\div (a+b+c) =22 為11的倍數,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答:$$(-15)\times 6\times 4^2-(-3^4)\div 9 =(-15)\times 6\times 16-(-81)\div 9 =-1440+9= -1431,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解答:$$99999^2+2^2-99998^2-1 = (99999^2-99998^2)+(2^2-1^2) \\=(99999+99998)(99999-99998)+ (2+1)(2-1) = 199997+3= 200000,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解答:$$\pi \approx 3.14 \Rightarrow \cases{2\pi-6\gt 0 \Rightarrow |2\pi-6|=2\pi -6\\ 2\pi-10\lt 0 \Rightarrow |2\pi-10|=10-2\pi} \\\Rightarrow |2\pi-6|+|2\pi-10| = 2\pi-6+10-2\pi = 4,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解答:$$P與6互質\Rightarrow P除以6的餘數可能為1,2,3,4,5 \Rightarrow P^2除以6的餘數可能為1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\\  \Rightarrow P^2除以6的餘數可能為1,4,3,4,1,不可能為2故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解答:$$240=2^4\times 3\times 5 \Rightarrow 240a為一完全平方數,a至少為3\times 5=15\\ 240+b為一完全平方數\Rightarrow b=16; 因此b-a=16-15=1,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解答:$$減號可使括弧內的數字為負,整體數字變更大故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解答:$${1\over \sqrt{n+1}+\sqrt n} ={\sqrt{n+1}-\sqrt n\over (\sqrt{n+1}+\sqrt n)(\sqrt{n+1}-\sqrt n)} =\sqrt{n+1}-\sqrt n\\ \Rightarrow {1\over 1+\sqrt 2} +{1\over \sqrt 2+\sqrt 3}+\cdots +{1\over \sqrt{199}+\sqrt{200}} =(\sqrt 2-1)+(\sqrt 3-\sqrt 2)+\cdots +(\sqrt {200}-\sqrt{199})\\ =\sqrt{200}-1 \approx 10\times 1.414-1=13.14,故選\bbox[red,2pt]{(B))}$$
解答:$$n=k+3 代入\sum_{k=1}^5 (ak+b) = \sum_{n=4}^8(a(n-3)+b) = \sum_{n=4}^8(an +b) -3 \sum_{n=4}^8 a\\ \Rightarrow 40-3 \sum_{n=4}^8 a=-5 \Rightarrow \sum_{n=4}^8 a=15 \Rightarrow a=3 \Rightarrow \sum_{n=4}^8(an +b) =\sum_{n=4}^8(3n +b) \\ =3\cdot {12\cdot 5\over 2} + 5b=40 \Rightarrow b=- 10 \Rightarrow a+b=3-10=-7故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解答:$$\cases{a_1=3\\ a_{n+1}=a_n+3n} \Rightarrow a_n= a_{n-1}+ 3(n-1) = a_{n-2}+ 3(n-2)+ 3(n-1)= \cdots \\= a_1+ 3(1+2+\cdots +(n-1)) =3+3\cdot {n(n-1)\over 2},故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解答:$$\cases{A(1,2)\\ C(-1,1)} \Rightarrow L=\overleftrightarrow{AB}:y=mx+n \Rightarrow \cases{2=m+n\\ 1=-m+n} \Rightarrow \cases{m=1/2\\ n=3/2}\Rightarrow L: y={1\over 2}x+{3\over 2} ;\\又\cases{B(a,3)\\ D(-5,b)}皆在L上 \Rightarrow \cases{3={1\over 2}a+{3\over 2}\\ b=-{5\over 2}+{3\over 2}} \Rightarrow \cases{a=3\\ b=-1} \Rightarrow y=ax+b \equiv y=3x-1,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解答:$$x^2+4xy+y^2 -3x-6y-4= (x+2y)^2-3(x+2y)-4 = (x+2y-4)(x+2y+1)=0\\ \Rightarrow 兩直線\cases{L_1:x+2y-4=0\\ L_2:x+2y+1=0} 距離={5\over \sqrt 5}=\sqrt 5,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解答:$$9^x-4\times 3^{x+1}+27 = (3^x)^2-12\times 3^x+27=0 \Rightarrow (3^x-9)(3^x-3)=0\\ \Rightarrow \cases{3^x=9\\ 3^x=3} \Rightarrow \cases{x=2\\x=1} \Rightarrow \alpha+\beta = 2+1=3,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解答:$$(2x-{1\over x^2})^8 =\sum_{n=0}^8 C^8_n \cdot (2x)^n\cdot \left({1\over x^2}\right)^{8-n} \Rightarrow n=6時,x^2係數=C^8_6 \cdot 2^6= 28\times 64=1792\\,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解答:$$f(x)=x^3+2x^2-7 \Rightarrow f'(x)=3x^2+4x = x(3x+4) \Rightarrow \cases{f(0)=-7為極小值\\ f(-3/4)\lt 0為極大值} \\ \Rightarrow 實根\alpha \gt 0;又\cases{f(1)\lt 0\\ f(2)\gt 0\\ f(x)遞增,x\ge 0} \Rightarrow \alpha\in (1,2),故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解答:$$x=1+2i \Rightarrow x^2-2x+5=0 \Rightarrow x^2-2x+5 為x^4-x^3+ax^2+7x+b因式,\\利用長除法可得x^4-x^3+ax^2+7x+b= (x^2-2x+5)(x^2+x-1) \\\Rightarrow a=2,b=-5 \Rightarrow a+b=-3,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
34. 將任意一個四邊形的四邊中點依順時鐘的順序連接後,可形成一個新的四邊形。有三個敘述如下:
甲、新的四邊形一定是平行四邊形
乙、新的四邊形面積為原來四邊形面積的一半
丙、新的四邊形周長為原來四邊形周長的一半
請問哪些敘述恆真?
(A)只有甲、乙 (B)只有乙、丙 (C)只有甲、丙 (D甲、乙、丙
解答:$$將邊長為1的正方形,各邊長中點連線形成一小正方形;\\大正方周長=4,小正方形的周長={\sqrt 2\over 2}\times 4=2\sqrt 2,並非4的一半,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

35. 下列哪一種圖形無法畫出通過該圖形每一個頂點的圓?
(A)菱形 (B)長方形 (C)直角三角形 (D)正六邊形
解答:$$菱形兩對角線不一定等長,四頂點不一定共圓,故選\bbox[red,2pt]{A)}$$

36. 如圖,點O為圓心, \(\overline{HO}\) 及 \(\overline{KO}\)為兩互相垂直的半徑, A為圓上之一點,自A向兩垂直的半徑作高,得垂足分別為B及C,若 \(\overline{AB}=8\)、\(\overline{AC}=6\) ,則斜線部分面積為何?
(A) \(100\pi- 48\)  (B) \(48\pi- 48\)
(C) \(25\pi- 48\)  (D) \(24\pi- 48\) 
解答:$$\overline{BC}=\sqrt{\overline{AC}^2 +\overline{AB}^2} =\sqrt{36+64} =10 \Rightarrow 圓半徑r=\overline{OA} =\overline{BC}= 10 \Rightarrow {1\over 4}圓={1\over 4}\cdot 10^2 \pi = 25\pi\\ \Rightarrow 斜線區域={1\over 4}圓-矩形OBAC = 25\pi-6\cdot 8=25\pi-48,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

37. 如圖, 已知正方形ABCD的邊長為1,在 \(\overline{AB}\) 邊上取一點E,使得 \(\overline{AE}={1\over 3}\),連接D、 E 使其延長線與 \(\overline{BC}\) 的延長線相交於F;在 \(\overline{BF}\) 上取\(\overline{BG}=\overline{BE}\),並自G作\(\overline{GH}\) 使得\(\overline{GH}\parallel \overline{BE}\)。求\(\overline{GH}\) =?
(A) \({1\over 2}\)  (B) \({4\over 9}\)  (C) \({5\over 9}\)  (D)  \({7\over 10}\)  
解答

$$\overline{AB} \parallel \overline{CD} \Rightarrow \cfrac{\overline{BF}}{\overline{BF} +\overline{BC}}= \cfrac{\overline{BE}} {\overline{CD}} \Rightarrow \cfrac{\overline{BF}}{\overline{BF} +1}=\cfrac{2\over 3}{1} \Rightarrow \overline{BF}=2 \Rightarrow \overline{GF}= 2-\overline{BG}={4\over 3}\\ 同理,\overline{GH} \parallel \overline{CD} \Rightarrow \cfrac{\overline{GF}}{\overline{GF} +\overline{CG}}=\cfrac{\overline{GH}}{ \overline{CD}} \Rightarrow \cfrac{{4\over 3}}{ {4\over 3}+{5\over 3}}=\cfrac{\overline{GH}}{ 1} \Rightarrow \overline{GH}={4\over 9},故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答:$$\angle ABC=120^\circ \Rightarrow \angle ADC=60^\circ \Rightarrow  \cos \angle ADC=-{1\over 2}={6^2+4^2-\overline{AC}^2 \over 2\cdot 6\cdot 4} \Rightarrow \overline{AC}^2 =76 \\ \Rightarrow \cos \angle ADC={1\over 2}={6^2+\overline{AD}^2-\overline{AC}^2\over 12\overline{AD}} \Rightarrow 6\overline{AD}= 36+\overline{AD}^2-76 \Rightarrow \overline{AD}^2-6\overline{AD}-40=0 \\ \Rightarrow (\overline{AD}-10)(\overline{AD}+4)=0 \Rightarrow \overline{AD}=10故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

39. 已知平面上有一點P(5,- 1)且圓\(C:x^2+y^2-4x-6y+9=0\),若圓C上與P最近的點之座標為(a,b),則a+b之值為何?
(A) \({23\over 5}\)  (B) \({28 \over 5}\)  (C) \({23 \over 9}\)  (D)  \({28\over 9}\)
解答:$$x^2+y^2-4x-6y+9=0 \Rightarrow (x-2)^2+ (y-3)^2 = 4 \Rightarrow \cases{圓O(2,3)\\ 半徑r=2}\\ \Rightarrow \overline{OP}= \sqrt{3^2+4^2} =5 \gt r \Rightarrow 圓C與P最近的點Q(a,b)滿足{\overline{PQ}\over \overline{OR}}={5-2\over 2}={3\over 2}\\ \Rightarrow Q=(3O+2P) \div 5 =({6+10\over 5},{9-2\over 5}) =({16\over 5},{7\over 5}) \Rightarrow a+b={16+7\over 5}={23\over 5},故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$


解答:$$假設任一圓之圓心為O,則\overline{OA}=\overline{OB}=半徑=6=\overline{AB} \Rightarrow \triangle OAB為正三角形\\ \Rightarrow \angle AOB=60^\circ \Rightarrow \stackrel{\Large{\frown}}{AB} =6\times {\pi \over 3} =2\pi  \Rightarrow 斜線部份周長=2\stackrel{\Large{\frown}}{AB} = 4\pi,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解答:$$\sqrt{(x-1)^2+ (y-1)^2} +\sqrt{(x-5)^2+(y-4)^2} =k 相當於\overline{PA}+\overline{PB} =k,其中\cases{P(x,y)\\ A(1,1)\\ B(5,4)}\\ 由於圖形為一直線,即k=\overline{AB}= \sqrt{4^2+3^2}=5,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解答:$$由圖形可知:\cases{a\gt 0\\ b\lt 0} \Rightarrow g(x)=2a(x+b)^3 圖形滿足\cases{左下右上\\ g(-b)=0},故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解答:$$E:x+y+\sqrt 2z=1 \Rightarrow \cases{A(1,0,0)\\ B(0,1,0)\\ C(0,0, 1/\sqrt 2) } \Rightarrow \cases{\vec b=\overrightarrow{AB} = (-1,1,0)\\ \vec c=\overrightarrow{AC} =(-1,0,1/\sqrt 2)} \\ \Rightarrow \triangle ABC面積={1\over 2} \sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot \vec b)^2} ={1\over 2}\sqrt{2\times {3\over 2}-1} ={\sqrt 2\over 2},故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解答:$$\vec n 即為E的法向量,因此E:a(x-1)+ b(y-2)+ c(z-3)=0故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解答:$$\left| \matrix{3 & a\\ b & 7}\right|=4 \Rightarrow 21-ab=4 \Rightarrow ab=17 \Rightarrow (a,b)=(17,1)或(1,17) \Rightarrow |a-b|=16,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$


46. 有一直圓柱體積為240\(\pi\)  立方公分,已知其兩個全等圓半徑為4公分,請問直圓柱的表面積為何?
(A) 92\(\pi\) 平方公分 (B)152\(\pi\) 平方公分 (C) 244\(\pi\) 平方公分 (D)304\(\pi\) 平方公分
解答:$$假設圓柱體高h \Rightarrow 體積=4^2\pi \times h=240\pi \Rightarrow h=15 \Rightarrow 表面積=2\pi \cdot 4\cdot 15+ 2\cdot 4^2\pi = 152\pi\\,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

47. 由於雨量不足導致缺水,自來水公司決定未來7天之中選擇2天停止供水,則自來水公司共有幾種不同的選擇方式?
(A) \({7!\over 2!}\)  (B) \({7! \over 5!}\)  (C) \({7! \over 2!5!}\)  (D)  以上皆非
解答:$$C^7_2={7!\over 2!5!},故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

48. 營養師想要安排學校下週星期一至星期五的午餐規畫,他列出義大利麵、大滷麵、咖哩飯和排骨飯等四種餐點。營養師想要依據下列兩項原則安排午餐:
甲、 每天只選一種餐點,但五天中每一種餐點至少各點一次。
乙、 連續兩天的餐點不可重複且不可連續兩天吃麵食。
請問營養師共有幾種午餐規畫的安排?
(A) 52 (B) 60 (C) 76 (D) 84
解答:$$假設\cases{A:義大利麵\\B:大滷麵\\C:咖哩飯\\ D:排骨飯},依題意求AABCD、ABBCD、ABCCD、ABCDD排列數總和\\,並符合字串不出現AB、BA、AA、BB、CC、DD;\\AABCD: 將A、A、B插入\bigcirc C\bigcirc D \bigcirc的圈圈中,共有3\times 2=6種排法;\\ ABBCD:排列數與AABCD相同,也是6種;\\ ABCCD:將A、B插入\bigcirc C\bigcirc D\bigcirc C\bigcirc的圈圈中,共有C^4_2\times 2=12種排法;\\\qquad \;\;\qquad 將A、B插入\bigcirc D\bigcirc C\bigcirc C\bigcirc的圈圈中,共有3\times 2=6種排法;\\\qquad \;\;\qquad 將A、B插入\bigcirc C\bigcirc C\bigcirc D\bigcirc的圈圈中,共有3\times 2=6種排法;\\ABCDD:排列數與ABCCD相同,也是12+6+6= 24種;\\因此共有6+6+ 24+24= 60種排法,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答:$$P(A\cup B) =P(A) +P(B)-P(A\cap B) \Rightarrow P(A\cap B)= P(A)+ P(B)- P(A\cup B)\\={1\over 2}+{5\over 8}-{3\over 4}={3\over 8} \Rightarrow P(\bar A\cup \bar B)=1-P(A\cap B)= 1-{3\over 8}={5\over 8},故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解答:$$X=出現正面的次數 \Rightarrow P(X=0)={1\over 8} \Rightarrow P(X\ge 1)=1-{1\over 8}={7\over 8}\\ P(X=2)= C^3_2\cdot {1\over 8}={3\over 8}  \Rightarrow {P(X=2)\over P(X\ge 1)} ={3\over 7}故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解題僅供參考,教甄歷屆試題及詳解


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