74年升大學聯考數學科(自然組)試題

解答:令{O(0,0,0)P(−1,0,2)Q(1,−1,0)⇒{→OP=(−1,0,2)→OQ=(1,−1,0)⇒→n=→OP×→OQ=(2,2,1)⇒平面π:2x+2y+z=0過球心A(4,3,4)且方向向量為→n的直線L:x−42=y−32=z−41⇒切點B(2t+4,2t+3,t+4)⇒¯AB=d(A,π)⇒√4t2+4t2+t2=|8+6+4√22+22+12|=6⇒t=−2(2不合)⇒B(0,−1,2)=(x,y,z)⇒{x=0⇒第1題選(C)y=−1⇒第2題選(B)z=2⇒第3題選(E)
解答:{zω=−2+11iz2+ω2=4+28i⇒{(z+ω)2=4+28i+2(−2+11i)=50i=50(cosπ2+isinπ2)(z−ω)2=4+28i−2(−2+11i)=8+6i=10(cosθ+isinθ)⇒{z+ω=±5√2(cosπ4+isinπ4)=±(5+5i)z−ω=±√10(cosθ2+isinθ2)=±(3+i),其中{cosθ=4/5sinθ=3/5⇒{cosθ/2=3/√10sinθ/2=1/√10⇒(z,ω)=(4+3i,1+2i),(−1−2i,−4,−3i),(1+2i,4+3i),(−4−3i,−1−2i)⇒共有4組解,故選(D)
解答:由4.可知:z=4+3i、1+2i、−1−2i、−4−3i,故選(AE)
第二部分:非選擇題
在本部分中第一題為填充題,第二題至第五題為計算與證明題,請都在「非選擇題試卷」上作答。
一、填充題:
本題共有八個空格,每個空格5分,共40分,請答在「非選擇題試卷」上的第一欄,務必寫上格號(子,丑,‧‧‧,未)後,再寫答案。(為節省「非選擇題試卷」空間,本題作答,請不要寫出演算過程。)
解答:x2+2x2+4x+1+x2+4x+1x2+2=52⇒2((x2+2)2+(x2+4x+1)2)=5((x2+2)(x2+4x+1))⇒x4+4x3−29x2+24x=0⇒(x+8)x(x−1)(x−3)=0⇒x=−8,0,1,3⇒最大者為3,最小者為−8解答:cos4θ=2cos22θ−1=2(2cos2θ−1)2−1=8cos4θ−8cos2θ+1=8(1−sin2θ)2−8(1−sin2θ)+1=8sin4θ−8sin2θ+1=sinθ⇒8x4−8x2−x+1=0⇒8x2(x+1)(x−1)−(x−1)=0⇒(x−1)(8x3+8x2−1)=0⇒(x−1)(2x+1)(4x2+2x−1)=0⇒x=1,−12,−1±√54⇒最小實根=−1−√54
解答:{x=cos3θy=sin3θ+sinθ⇒x2+y2=cos6θ+sin6θ+2sin4θ+sin2θ=(cos2θ+sin2θ)(cos4θ−cos2θsin2θ+sin4θ)+2sin4θ+sin2θ=cos4θ−cos2θsin2θ+3sin4θ+sin2θ=(1−sin2θ)2−(1−sin2θ)sin2θ+3sin4θ+sin2θ=5sin4θ−2sin2θ+1令f(θ)=5sin4θ−2sin2θ+1⇒f′(θ)=20sin3θcosθ−4sinθcosθ=4sinθcosθ(5sin2θ−1)=2sin2θ(5sin2θ−1),因此f′(θ)=0⇒{sin2θ=0⇒sinθ=1(θ=π/2)⇒f(θ)=4sin2θ=1/5⇒f(θ)=4/5⇒{√x2+y2最小值=√45=2√55√x2+y2最大值=√4=2
解答:先算1−9999,再扣除9877−9999的結果數字樣式個數二位數X09三位數XX09⋅9=81X0X9⋅9=81X009四位數XXX093=729XX0X729X0XX729XX009⋅9=81X0X081X00X81X0009⇒共有9⋅3+81⋅5+729⋅3=2619需扣除9880,9890,9900,99[1−9]0,990[1−9],共1+1+1+9+9=21個因此共有2619−21=2598個數字有0;0的數量需再加上數字上有2個0以上的數字:X00、XX00、X0X0、X00X、X000,各有9+81⋅3+9⋅2=270,因此1−9999共有2619+270=2889個0,需扣除9880,9890,9900,99[1−9]0,990[1−9],共1+1+2+9+9=22個,即2889−22=2867

解答:
(1)u2+1u2=(u+1u)2−2=x2−2⇒u3+1u3=(u+1u)(u2−u⋅1u+1u2)=x(x2−2−1)=x3−3x(2)x3−3x+1=u3+1u3+1=0⇒u6+u3+1=0⇒(u3−1)(u6+u3+1)=0⇒u9=1⇒u=cos2kπ9+isin2kπ9,k=0−8需扣除u3=1的增根,因此u=cos2kπ9+isin2kπ9=ck,k=1,2,4,5,7,8⇒x=c+c−1,c2+c−2,c4+c−4,c5+c−5,c7+c−7,c8+c−8而c+c−1=c8+c−8、c2+c−2=c7+c−7、c4+c−4=c5+c−5因此x=c+c−1,c2+c−2,c4+c−4
解答:由於x^2-x+1\gt 0,\forall x\in \mathbb{R},因此 {(a+1)x^2 +(a-2)x +(a+1)\over x^2-x+1} \gt b \\\Rightarrow (a-b+1)x^2 +(a+b-2)x +(a-b+1)\gt 0 \Rightarrow \cases{a-b+1 \gt 0\\ (a+b-2)^2-4(a-b+1)^2 \lt 0} \\ \Rightarrow \cases{a-b+1\gt 0 \\ (3a-b)(a-3b+4)\gt 0},如下圖斜線區域,其中水平方向為a值,垂直方向為b值
解答:3x^2-4xy+6y^2-2x-8y-9=0 \Rightarrow \cases{6x-4y-2=0\\ -4x+12y-8=0} \Rightarrow 中心點(x,y)=\bbox[red,2pt]{(1,1)}\\ 將中心點(1,1)平移至(0,0),即\cases{x'=x-1\\ y'=y-1} \Rightarrow \cases{x=x'+1\\ y= y'+1} 代回原式 \\\Rightarrow 3(x'+1)^2-4(x'+1)(y'+1)+ 6(y'+1)^2-2(x'+1)-8(y'+1)-9=0 \\ \Rightarrow 3x'^2-4x'y'+6y'^2=14,接下來旋轉\theta ,使長軸與x軸平行;\tan 2\theta = {-2\over 3-6} ={2\over 3} \Rightarrow \cases{\sin \theta = 1/\sqrt 5\\ \cos \theta =2/\sqrt 5}\\ 假設旋轉後方程式: ax''^2+by''^2=14 \Rightarrow \cases{a+c= 3+6=9\\ a-c= -\sqrt{(3-6)^2 +(-4)^2}=-5} \Rightarrow \cases{a=2\\ c=7} \\ \Rightarrow 2x''^2+7y''^2=14 \Rightarrow {x''^2\over 7}+{y''^2\over 2}=1 \Rightarrow \cases{半長軸長=\bbox[red, 2pt]{\sqrt 7}\\ 半短軸長= \bbox[red, 2pt]{\sqrt 2}}\\ \Rightarrow 長軸直線通過中心(1,1)且斜率\tan\theta =1/2,即y={1\over 2}(x-1)+1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{x-2y+1=0};\\ 短軸直線通過中心(1,1)且斜率=-2,即y=-2(x-1)+1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{2x+y=3}
解答:假設Ψ:y2=4cx且{P1(cp21,2cp1)P2(cp22,2cp2)P3(cp23,2cp3),其中p1,p2,p3∈R;又y2=4cx⇒2yy′=4c⇒y′=2cy⇒{L1斜率=1/p1L2斜率=1/p2L3斜率=1/p3⇒{L1:y=(x−cp21)/p1+2cp1L2:y=(x−cp22)/p2+2cp2L3:y=(x−cp23)/p3+2cp3⇒{L1:p1y=x+cp21L2:p2y=x+cp22L3:p3y=x+cp23⇒{Q1=L2∩L3=(cp2p3,c(p2+p3))Q2=L1∩L3=(cp1p3,c(p1+p3))Q3=L1∩L2=(cp1p2,c(p1+p2))⇒△P1P3P3=12‖
解答:3x^2-4xy+6y^2-2x-8y-9=0 \Rightarrow \cases{6x-4y-2=0\\ -4x+12y-8=0} \Rightarrow 中心點(x,y)=\bbox[red,2pt]{(1,1)}\\ 將中心點(1,1)平移至(0,0),即\cases{x'=x-1\\ y'=y-1} \Rightarrow \cases{x=x'+1\\ y= y'+1} 代回原式 \\\Rightarrow 3(x'+1)^2-4(x'+1)(y'+1)+ 6(y'+1)^2-2(x'+1)-8(y'+1)-9=0 \\ \Rightarrow 3x'^2-4x'y'+6y'^2=14,接下來旋轉\theta ,使長軸與x軸平行;\tan 2\theta = {-2\over 3-6} ={2\over 3} \Rightarrow \cases{\sin \theta = 1/\sqrt 5\\ \cos \theta =2/\sqrt 5}\\ 假設旋轉後方程式: ax''^2+by''^2=14 \Rightarrow \cases{a+c= 3+6=9\\ a-c= -\sqrt{(3-6)^2 +(-4)^2}=-5} \Rightarrow \cases{a=2\\ c=7} \\ \Rightarrow 2x''^2+7y''^2=14 \Rightarrow {x''^2\over 7}+{y''^2\over 2}=1 \Rightarrow \cases{半長軸長=\bbox[red, 2pt]{\sqrt 7}\\ 半短軸長= \bbox[red, 2pt]{\sqrt 2}}\\ \Rightarrow 長軸直線通過中心(1,1)且斜率\tan\theta =1/2,即y={1\over 2}(x-1)+1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{x-2y+1=0};\\ 短軸直線通過中心(1,1)且斜率=-2,即y=-2(x-1)+1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{2x+y=3}
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