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2022年7月1日 星期五

74年大學聯考-自然組數學詳解

 74年升大學聯考數學科(自然組)試題


解答{O(0,0,0)P(1,0,2)Q(1,1,0){OP=(1,0,2)OQ=(1,1,0)n=OP×OQ=(2,2,1)π:2x+2y+z=0A(4,3,4)nL:x42=y32=z41B(2t+4,2t+3,t+4)¯AB=d(A,π)4t2+4t2+t2=|8+6+422+22+12|=6t=2(2)B(0,1,2)=(x,y,z){x=01(C)y=12(B)z=23(E)


解答{zω=2+11iz2+ω2=4+28i{(z+ω)2=4+28i+2(2+11i)=50i=50(cosπ2+isinπ2)(zω)2=4+28i2(2+11i)=8+6i=10(cosθ+isinθ){z+ω=±52(cosπ4+isinπ4)=±(5+5i)zω=±10(cosθ2+isinθ2)=±(3+i){cosθ=4/5sinθ=3/5{cosθ/2=3/10sinθ/2=1/10(z,ω)=(4+3i,1+2i),(12i,4,3i),(1+2i,4+3i),(43i,12i)4(D)
解答4.:z=4+3i1+2i12i43i(AE)

第二部分:非選擇題

    在本部分中第一題為填充題,第二題至第五題為計算與證明題,請都在「非選擇題試卷」上作答。
一、填充題:
    本題共有八個空格,每個空格5分,共40分,請答在「非選擇題試卷」上的第一欄,務必寫上格號(子,丑,‧‧‧,未)後,再寫答案。(為節省「非選擇題試卷」空間,本題作答,請不要寫出演算過程。)

解答x2+2x2+4x+1+x2+4x+1x2+2=522((x2+2)2+(x2+4x+1)2)=5((x2+2)(x2+4x+1))x4+4x329x2+24x=0(x+8)x(x1)(x3)=0x=8,0,1,338
解答cos4θ=2cos22θ1=2(2cos2θ1)21=8cos4θ8cos2θ+1=8(1sin2θ)28(1sin2θ)+1=8sin4θ8sin2θ+1=sinθ8x48x2x+1=08x2(x+1)(x1)(x1)=0(x1)(8x3+8x21)=0(x1)(2x+1)(4x2+2x1)=0x=1,12,1±54=154
解答{x=cos3θy=sin3θ+sinθx2+y2=cos6θ+sin6θ+2sin4θ+sin2θ=(cos2θ+sin2θ)(cos4θcos2θsin2θ+sin4θ)+2sin4θ+sin2θ=cos4θcos2θsin2θ+3sin4θ+sin2θ=(1sin2θ)2(1sin2θ)sin2θ+3sin4θ+sin2θ=5sin4θ2sin2θ+1f(θ)=5sin4θ2sin2θ+1f(θ)=20sin3θcosθ4sinθcosθ=4sinθcosθ(5sin2θ1)=2sin2θ(5sin2θ1)f(θ)=0{sin2θ=0sinθ=1(θ=π/2)f(θ)=4sin2θ=1/5f(θ)=4/5{x2+y2=45=255x2+y2=4=2
解答1999998779999X09XX099=81X0X99=81X009XXX093=729XX0X729X0XX729XX0099=81X0X081X00X81X000993+815+7293=26199880,9890,9900,99[19]0,990[19]1+1+1+9+9=21261921=25980;020:X00XX00X0X0X00XX0009+813+92=270199992619+270=288909880,9890,9900,99[19]0,990[19]1+1+2+9+9=22288922=2867

解答
(1)u2+1u2=(u+1u)22=x22u3+1u3=(u+1u)(u2u1u+1u2)=x(x221)=x33x(2)x33x+1=u3+1u3+1=0u6+u3+1=0(u31)(u6+u3+1)=0u9=1u=cos2kπ9+isin2kπ9,k=08u3=1u=cos2kπ9+isin2kπ9=ck,k=1,2,4,5,7,8x=c+c1,c2+c2,c4+c4,c5+c5,c7+c7,c8+c8c+c1=c8+c8c2+c2=c7+c7c4+c4=c5+c5x=c+c1,c2+c2,c4+c4
解答Ψ:y2=4cx{P1(cp21,2cp1)P2(cp22,2cp2)P3(cp23,2cp3)p1,p2,p3R;y2=4cx2yy=4cy=2cy{L1=1/p1L2=1/p2L3=1/p3{L1:y=(xcp21)/p1+2cp1L2:y=(xcp22)/p2+2cp2L3:y=(xcp23)/p3+2cp3{L1:p1y=x+cp21L2:p2y=x+cp22L3:p3y=x+cp23{Q1=L2L3=(cp2p3,c(p2+p3))Q2=L1L3=(cp1p3,c(p1+p3))Q3=L1L2=(cp1p2,c(p1+p2))P1P3P3=12


解答由於x^2-x+1\gt 0,\forall x\in \mathbb{R},因此 {(a+1)x^2 +(a-2)x +(a+1)\over x^2-x+1} \gt b \\\Rightarrow (a-b+1)x^2 +(a+b-2)x +(a-b+1)\gt 0 \Rightarrow \cases{a-b+1 \gt 0\\ (a+b-2)^2-4(a-b+1)^2 \lt 0} \\ \Rightarrow \cases{a-b+1\gt 0 \\ (3a-b)(a-3b+4)\gt 0},如下圖斜線區域,其中水平方向為a值,垂直方向為b值

解答3x^2-4xy+6y^2-2x-8y-9=0 \Rightarrow \cases{6x-4y-2=0\\ -4x+12y-8=0} \Rightarrow 中心點(x,y)=\bbox[red,2pt]{(1,1)}\\ 將中心點(1,1)平移至(0,0),即\cases{x'=x-1\\ y'=y-1} \Rightarrow \cases{x=x'+1\\ y= y'+1} 代回原式 \\\Rightarrow 3(x'+1)^2-4(x'+1)(y'+1)+ 6(y'+1)^2-2(x'+1)-8(y'+1)-9=0 \\ \Rightarrow 3x'^2-4x'y'+6y'^2=14,接下來旋轉\theta ,使長軸與x軸平行;\tan 2\theta = {-2\over 3-6} ={2\over 3} \Rightarrow \cases{\sin \theta = 1/\sqrt 5\\ \cos \theta =2/\sqrt 5}\\ 假設旋轉後方程式: ax''^2+by''^2=14 \Rightarrow \cases{a+c= 3+6=9\\ a-c= -\sqrt{(3-6)^2 +(-4)^2}=-5} \Rightarrow \cases{a=2\\ c=7} \\ \Rightarrow 2x''^2+7y''^2=14 \Rightarrow {x''^2\over 7}+{y''^2\over 2}=1 \Rightarrow \cases{半長軸長=\bbox[red, 2pt]{\sqrt 7}\\ 半短軸長= \bbox[red, 2pt]{\sqrt 2}}\\ \Rightarrow 長軸直線通過中心(1,1)且斜率\tan\theta =1/2,即y={1\over 2}(x-1)+1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{x-2y+1=0};\\ 短軸直線通過中心(1,1)且斜率=-2,即y=-2(x-1)+1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{2x+y=3}




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