93年大學學測-數學詳解

大學入學考試中心
九十三學年度學科能力測驗試題

第 一 部 分 ： 選 擇 題  

壹 、 單 一 選 擇 題 

解答： $$\cases{a_1+ a_3+a_5+ a_7+a_9= 15\\ a_2+a_4+ a_6+ a_8+ a_{10}=30} ,兩式相減\Rightarrow d+d+d+d+d=15 \Rightarrow d=3，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答： $$100^{10}=(10^2)^{10}=10^{20} \lt 10^{100} \Rightarrow (2)\gt (1); \\10^{100}=(10^2)^{50}=100^{50}\gt 50^{50} \Rightarrow (2)\gt (3)\\\overbrace{50\cdot 50\cdots50}^{50個} \gt \overbrace{50\cdot 49\cdots 1}^{50個} \Rightarrow (3)\gt (4)\\{100!\over 50!} =\overbrace{100\cdot 99\cdots51}^{50個} \lt \overbrace{100\cdot 100\cdots 100}^{50個} \Rightarrow (5)\lt (2) \\ 由以上可知(2)最大，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

解答： $$z=r(\cos \theta+ i\sin\theta) \Rightarrow z^3=r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta);\\ 而{3\pi\over 4} \le \theta \le {5\pi\over 4} \Rightarrow {9\pi\over 4} \le 3\theta \le {15\pi\over 4} \Rightarrow {\pi\over 4} \le 3\theta \le {7\pi\over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$

解答： $$\cases{P(a,b,c)\\ A(1,2,3)\\ B(7,6,5)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{PA} =(1-a,2-b,3-c)\\ \overrightarrow{PB}=(7-a,6-b, 5-c)} \Rightarrow \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0\\ \Rightarrow (a-1)(a-7)+(b-2)(b-6)+(c-3)(c-5) =0 \\\Rightarrow (a-4)^2-9+(b-4)^2-4+(c-4)^2-1=0 \Rightarrow (a-4)^2 +(b-4)^2 +(c-4)^2 = 14\\ \Rightarrow 球心(4,4,4)至xy-平面距離=4 \gt \sqrt{14}(球半徑) \Rightarrow 球與xy-平面無交集，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

解答： $$若P落在\overline{BC}上，則{1\over 3}+t=1 \Rightarrow t={2\over 3}；因此P在\triangle ABC內部\Rightarrow P\lt {2\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

6. 台灣證劵交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價(即最後一筆的成交價)的漲、跌 7%範圍內變動。例如：某支股票前一個交易日的收盤價是每股 100 元，則今天該支股

票每股的買賣價格必須在 93 元至 107 元之間。假設有某支股票的價格起伏很大，某一天的收

盤價是每股 40 元，次日起連續五個交易日以跌停板收盤(也就是每天跌 7%)，緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤(也就是每天漲 7%)。請問經過這十個交易日後，該支股票每股的收

盤價最接近下列哪一個選項中的價格？

(1)39 元   (2) 39.5 元   (3) 40 元   (4) 40.5 元   (5) 41 元

解答： $$40\times (93\%)^5\times (107\%)^5 \approx 39.03，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

貳 、 多 重 選 擇 題

解答： $$外側車道只能給大客車專用，小型車及大貨車都不能行駛外側車道\\，因此(2)、(5)皆錯，其它皆正確，故選\bbox[red, 2pt]{(134)}$$

解答： $$(1)\times: 拋物線\\ (2)\bigcirc: 橢圓\\(3)\times: 雙曲線\\(4)\times: 兩條平行線\\(5)\bigcirc:菱形(正方形),-1\le x,y\le 1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(25)}$$

解答： $$假設\cases{ A(0,1,0) \\B(0,0,0)\\ C(1,0,0)\\ D(1,1,0)\\ O(1/2,1/2,h)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{OA}= (-1/2,1/2,-h) \\\overrightarrow{OB}= (-1/2,-1/2,-h)\\ \overrightarrow{OC}= (1/2,-1/2,-h)\\ \overrightarrow{OD}= (1/2, 1/2,-h)}\\(1) \times:\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD} =(0,0,-4h)\ne \vec 0\\(2) \times:\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} -\overrightarrow{OC} -\overrightarrow{OD}=(-2,0,0)\ne \vec 0\\(3) \bigcirc:\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} -\overrightarrow{OD} =(0,1,0)+(0,-1,0)=\vec 0\\(4)\bigcirc: \cases{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =h^2 \\\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD} =h^2} \Rightarrow \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD} \\(5) \times:\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} =-1/4-1/4+h^2 \ne 2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(34)}$$

解答： $$兩數之和為偶數:(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(3,5),(3,7),(3,9)\\,(4,6),(4,8),(4,10),(5,7),(5,9),(6,8),(6, 10),(7,9),(8,10)，共20種；\\剩下C^{10}_2-20=25種為奇數， 因此\cases{p=20/45=4/9\\ q=1-p=5/9}\\(1) \bigcirc: 不是奇數就是偶數 \Rightarrow p+q=1\\(2) \times:\cases{p=4/9\\ q=5/9} \Rightarrow p\ne q \\(3) \times: |p-q|={1\over 9} \not \le {1\over 10} \\(4)\bigcirc: |p-q|={1\over 9}\ge {1\over 20} \\(5)\times: p=4/9 \not \ge {1\over 2}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(14)}$$

解答： $$(1)\bigcirc: 1+i為一解\Rightarrow 1-i為另一解\Rightarrow f(1-i)=0;\\ (2)\bigcirc: f(x)=0有三根，其中二根為1\pm i，另一根為實數，2+i不是其中一根，即f(2+i)\ne 0\\ (3) \times: x^2-2x+2 =0的兩根為1\pm i，取f(x)=x(x^2-2x+2)，則f(0)=0\\(4)\times: 取f(x)=x(x^2-2x+2) \Rightarrow f(x^3)=x^3(x^6-2x^3+2) \Rightarrow f(0^3)=0\\ (5) \bigcirc: f(0)\gt 0且f(2)\lt 0，則存在一實根a，0\lt a\lt 2;若f(4)\gt 0，代表有另一根b,2\lt 2\lt 4\\\qquad，但f(x)=0僅有一實根，因此f(4)\lt 0;\\，故選\bbox[red, 2pt]{(125)}$$

解答： $$平時考較好的三次平均=(85+82+73)\div 3= 80\\ \Rightarrow 學期成績=(80+90)\times 30\%+ (86+79)\times 20\%= \bbox[red, 2pt]{84}$$

解答： $${1\over 4}(1000+800+600)+ {1\over 16}(500+400+300)=\bbox[red, 2pt]{675}$$

解答： $$a\log_{520}2 +b\log_{520} 5+c\log_{520} 13=3 \Rightarrow \log_{520}(2^a\cdot 5^b\cdot 13^c)=3 \Rightarrow 2^a\cdot 5^b\cdot 13^c= 520^3 \\=(2^3\cdot 5\cdot 13)^3 =2^9\cdot 5^{3}\cdot 13^3 \Rightarrow \cases{a=9\\ b=3\\c=3} \Rightarrow a+b+c = \bbox[red, 2pt]{15}$$

解答： $$假設\cases{A(0,0)\\ B(1,0)\\ C(0,1)} \Rightarrow \cases{P(2/3,1/3)\\ Q(1/3,2/3)} \Rightarrow \cases{\vec p=\overrightarrow{AP} =(2/3,1/3)\\ \vec q=\overrightarrow{AQ} =(1/3,2/3)} \\\Rightarrow \cos \angle PAQ = {\vec p\cdot \vec q\over |\vec p||\vec q|}  ={4/9\over 5/9}={4\over 5} \Rightarrow \tan \angle PAQ= \bbox[red, 2pt]{3\over 4}$$

解答： $$\gcd(1008,924)=2^2\times 3\times 7 =84\Rightarrow \cases{1008=84\times 12\\ 924=84\times 11} \Rightarrow 每一班\cases{男生人數:12k\\ 女生人數:11k} \\ \Rightarrow 一班人數23k，需滿足40\le 23k\le 50，因此取k=2 \Rightarrow 每班有46人，其中\cases{男生24人\\ 女生22人}\\ \Rightarrow 共可分成{1008+924\over 46} =\bbox[red, 2pt]{42}班$$

解答： $$\cases{P(1,1,1)\\ Q(-9,9,27)} \Rightarrow \vec u=\overrightarrow{PQ}=(-10,8,26) \Rightarrow \vec u\bot (a,b,1) \Rightarrow \vec u\cdot(a,b,1)=0 \Rightarrow 5a-4b=13\cdots(1)\\ 又(a,b,1)與平面x-2y+z=0的法向量垂直，即(a,b,1)\cdot (1,-2,1)= a-2b+1=0 \cdots(2)\\ 由(1)及(2)可得 a=\bbox[red,2pt]{5}, b=\bbox[red,2pt]{3};$$

解答： $$\sqrt 3\sin A+\cos A=2\sin 2004^\circ \Rightarrow 2({\sqrt 3\over 2}\sin A+{1\over 2}\cos A)=2\sin(360^\circ\times 5+204^\circ)\\ \Rightarrow 2(\cos 30^\circ \sin A+\sin 30^\circ \cos A) = 2\sin(A+30^\circ)=2\sin 204^\circ  =2\sin 336^\circ\\ \Rightarrow A=336^\circ-30^\circ = \bbox[red, 2pt]{306}^\circ$$

解答： $$圓C:(x-7)^2 +(y-8)^2 = 9 \Rightarrow \cases{圓心P(7,8)\\ 半徑R=3} \Rightarrow \overline{OP}=\sqrt{7^2+8^2}=\sqrt{113}\\ \Rightarrow 10\lt \overline{OP}\lt 11 \Rightarrow 10-R\lt \overline{AO}\lt 11+R,其中A為圓上的點，即7\lt \overline{AO}\lt 14 \\ \Rightarrow \overline{AO}的整數值有:8,9,10,11,12,13，共6個；相對應圓上共6\times 2=\bbox[red, 2pt]{12}個點;$$

解答： $$\Gamma: x^2=4y \Rightarrow \cases{焦點F(0,1)\\ 準線L':y=-1};將y=x+2 代入x^2=4y \Rightarrow x^2-4x-8=0 \Rightarrow x=2\pm 2\sqrt 2 \\\Rightarrow \cases{P(2-2\sqrt 2,4-2\sqrt 2)\\ Q(2+2\sqrt 2,4+2\sqrt 2)} \Rightarrow \cases{\overline{PF}=d(P,L')=5-2\sqrt 2\\ \overline{QF}=d(Q,L')=5+2\sqrt 2} \Rightarrow \overline{PF}+ \overline{QF}= \bbox[red, 2pt]{10}$$

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解答僅供參考，其他歷屆試題及詳解