高雄區公立高中111學年度聯合招考轉學生《高1升高2》試卷
一、 單一選擇題( 60 分)
解答:f(x)=x3p(x)+(x−1)=(x2−x+1)q(x)+r(x),由於x3與x2−x+1無公因式取{p(x)=x2−x+1q(x)=x3⇒R(x)=x−1,故選(C)
2. 日文老師為了確保學生有最好的學習效率,便和心理學家合作,想研究出學生學習時間與背誦日文單字量的關係。經過抽樣調查,得出公式 𝐿(𝑡)=𝑎(1−10−𝑏𝑡)描述學生經過 t 小時學習之後可以背熟的單字量,這裡常數 a 與 b 跟學生及學習的科目有關。假設阿悟專心背誦單字, 2 個小時之後,可以背熟 40 個單字; 4 個小時之後,可以背熟 100 個單字。若這個模式沒有改變的情形下,利用上面的數據計算, 6 個小時之後,可以背熟____________個單字。
(A) 150 (B) 170 (C) 190 (D) 210
解答:{L(2)=40L(4)=100⇒{a(1−10−2b)=40a(1−10−4b)=100,兩式相除⇒1−10−2b1−10−4b=25⇒3−5⋅10−2b+2⋅10−4b=0⇒3⋅104b−5⋅102b+2=0⇒(3⋅102b−2)(102b−1)=0⇒102b=23(102b≠1,否則b=0)⇒a(1−10−2b)=a(1−32)=40⇒a=−80⇒L(6)=a(1−10−6b)=−80(1−(32)3)=190,故選(C)
3. 在過去,尋找最大的質數一直是不少數學家的目標,直到 20 世紀中後期超級電腦問世,繁瑣的運算變得容易,陸續有更大的質數被發現。在 1999 年 6 月 1 日數學家利用超級電腦驗證出26972593−1是一個質數。假定每張 A4 紙可列印出 3000 個數字,試問若想列印出此質數至少需要多少張 A4 紙?請從下列選項中,選出最接近的答案。
(A) 100 (B) 200 (C) 500 (D) 700
解答:log26972593=6972593×0.301=2098750.49326972593是2098751位數2098751÷3000=699.58,故選(D)
解答:
1≤2x≤3x+4y≤5y≤20⇒{x≥12y≤4y≥3x所圍區域為一△,故選(A)5. 已知三次函數𝑦=𝑓(𝑥)=𝑥3−6𝑥2+15𝑥−9,若函數𝑔(𝑥 )的圖形沿著 x 軸方向向右平移 2 單位,再沿著 y 軸方向向上平移 5 單位後,會與𝑦 = 𝑓(𝑥)的圖形重合,試求函數𝑔(𝑥) =?
(A)𝑥2+2𝑥(B)𝑥2+3𝑥(C)𝑥2+4𝑥(D)𝑥2+5𝑥
解答:g(x−2)+5=x3−6x2+15x−9⇒g(x−2)=x3−6x2+15x−14=(x−2)(x2−4x+7)=(x−2)((x−2)2+3)=(x−2)3+3(x−2)⇒g(x−2)=(x−2)3+3(x−2)⇒g(x)=x3+3x,故選(B)答案選項有誤,應該是x3+3x,不是x2+3x;三次方程式經過平移後仍是三次式
6. 麻將國的推銷員陳自摸經常在東風、 西風、 南風、 北風、 紅中等五個城市推銷產品,但礙於政府資金短缺, 西風、 南風兩城市之間無相連的道路。若陳自摸由東風出發,再回到東風之間,每一個城市恰都經過一次,試問有多少種走法?
(A) 4 (B) 6 (C) 12 (D) 24
解答:"東"排第一、西南北中任排,有4!=24種排法;需扣除西南或南西,各有6個,因此有24−6−6=12種走法,故選(C)
7. 降雨季節分布不均總會造成不少地區困擾,當地的自來水公司必須提出相應的對策。以 A 市為例,自來水公司決定未來 10 天之中選擇 3 天停止供水。為避免造成民眾不便,決議停水的任兩天不相連,則自來水公司有幾種選擇方式?
(A) 56 (B) 120 (C) 336 (D) 112
解答:停水日數量1,3,5−1061,4,6−105⋯1,8,1012,4.6−1052,5,7−104⋯2,8,101…6,8,101⇒共有6∑n=1n∑k=1k=1+3+6+10+15+21=56種,故選(A)
8. 某班化學小考表現不佳,全班 15 位同學平均僅 50 分,因此化學老師決定替每位同學加 20 分,但其中兩位同學的原始分數為 90 分及 100 分,調整後皆以 100 分計算。已知調分前標準差為 20 分,且其餘同學調整後都未超過 100 分,試問調整後的標準差σ滿足下列哪個選項?
(A) 15 < 𝜎 ≤ 16 (B) 16 < 𝜎 ≤ 17 (C) 17 < 𝜎 ≤ 18 (D) 18 < 𝜎 ≤ 19
解答:原始分數為X⇒{ˉx=50σX=20;調整後分數Y=X+20⇒ˉy=((50+20)×15−10−20)÷15=68若原始分數為90及100的兩位同學加分至110及120,則調整後的標準差不變,即20=√Q+(110−68)2+(120−68)215⇒Q=1532(其他13位同學調整後與平均差值的平方和);真正的調整後的標準差為√Q+(100−68)2+(100−68)215=√1532+322+32215=15.45,故選(A)
9. 一房屋的側面圖如下圖所示,若 ABCD 為正方形且邊長為 a, ¯𝐴𝐸=b,∠EAB=θ,則屋頂 E 點離地面的高度可表示為
解答:
a+bsin(θ−90∘)=a−bcosθ,故選(B)10. 小謝、 小邱、 小涵三個好朋友常到彼此家拜訪,為了方便辨識,他們各有一張地圖上分別以 A、 B、 C 三點標示小謝、 小邱、 小涵的家。由於他們最常到小邱家,因此知道 B、 C 之間的直線距離為 200 公尺,B、 A 之間的直線距離為 1500 公尺。假設今天他們想估計 A、 C 之間的直線距離,已知∠ ACB=60°,試問最佳近似值為何?
(A) 1500 公尺 (B) 1600 公尺 (C) 1700 公尺 (D) 1800 公尺
解答:假設¯AC=a⇒cos∠ACB=¯BC2+¯AC2−¯AB22⋅¯BC⋅¯AC⇒cos60∘=12=2002+a2−15002400a⇒a2−200a−2210000=0⇒a=200+√88404002=100+√2210100≈1586,故選(B)
解答:p=√32−5=4√2−5⇒√2=p+54⇒√2的小數部份=p+54−1=p+14,故選(D)
12. 某研究機構發表全球平板電腦的產值預測,未來四年的成長率依序為 80 %、 50 %、 0%、 20 %。依此數據,請問未來四年的「平均成長率」最接近下列那一個選項?
(A) 23 % (B) 25 % (C) 30 % (D) 34 % (E) 40 %。
解答:(1+0.8)(1+0.5)(1+0)(1+0.2)=3.24=(1+p)4⇒p=0.34,故選(D)
13.設有 10 筆(xi,yi)的資料,σ_X= 4,σ_Y= 2,且相關係數 r= 0.8,則 y 對 x 做最適直線的斜率為下列何者?
(A)0.4 (B) 0.64 (C) 0.8 (D) 1 (E) 1.6。
解答:r \times {\sigma_Y\over \sigma_X} =0.8\times {2\over 4}=0.4,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答:
0.6\times 2+0.03 \lt 1.63 \lt 0.6\times 3+0.03 \Rightarrow 1.516^2\times 1.021 \lt 2^{1.63}\lt 1.516^3\times 1.021\\ \Rightarrow 2.3465 \lt 2^{1.63} \lt 3.557,故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
15 . 10 張撲克牌中有 4 張紅心, 6 張黑桃。甲從這 10 張牌中隨機抽一張出來,如果是紅心,代表甲輸,甲要付給乙 300 元;如果是黑桃,代表乙輸,為了公平起見,乙要付給甲多少元?(A) 180 (B) 120 (C) 450 (D) 200 (E) 300
解答:{4\over 10}\times 300 ={6\over 10}\times x \Rightarrow x=200,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
二、 多重選擇題( 40 分)
16.圖中,兩直線 L1, L2 之方程式分別為 L1: ax − y + b = 0, L2: cx − y + d = 0。試問下列 哪些選項是正確的?
解答:
(A)\times: L_1斜率為負值\Rightarrow a\lt 0\\ (B)\bigcirc: L_1的x截距為正值\Rightarrow -{b\over a} \gt 0 \Rightarrow b\gt 0 (a\lt 0) \\(C)\bigcirc: L_1斜率\gt L_2斜率 \Rightarrow a\gt c\\ (D)\bigcirc: L_2的x截距為負值\Rightarrow -{d\over c}\lt 0 \Rightarrow d\lt 0,由(2)知:b\gt 0,因此b\gt d \\(E)\times: \cases{a,c,d\lt 0\\ b\gt 0} \Rightarrow \cases{{b\over a}\lt 0\\ {d\over c}\gt 0} \Rightarrow {d\over c}\gt {b\over a}\\,故選\bbox[red, 2pt]{(BCD)} 解答:
\begin{array}{crrrrrr|r}& & & & & &\sum\\ \hline X &20 & 22 & 24 & 26 & 28 & 120\\Y & 12 & 13 & 11 & 9 & 10 & 55\\X^2 &400 & 484 & 576 & 676 & 784 & 2920\\Y^2 & 144 & 169 & 121 & 81 & 100 & 615\\XY &240 & 286 & 264 & 234 & 280 & 1304\\ \hline\end{array}\\(A) \times: \cases{ \sigma_X= \sqrt{\sum X^2/n-(\sum X/n)^2} =\sqrt{2920/5-(120/5)^2} = 2\sqrt 2\\ \sigma_Y= \sqrt{\sum Y^2/n-(\sum Y/n)^2} =\sqrt{615/5-(55/5)^2}=\sqrt 2} \Rightarrow \sigma_X \gt \sigma_Y \\(B)\times: 相關係數r={n\sum XY-\sum X\sum Y\over \sqrt{n\sum X^2-(\sum X)^2} \cdot \sqrt{n\sum Y^2-(\sum Y)^2}} ={5\cdot 1304-120\cdot 55\over \sqrt{5\cdot 2920-120^2} \cdot \sqrt{5\cdot 615-55^2}}\\\qquad \qquad ={-80\over \sqrt{200}\cdot\sqrt{50}} =-0.8\\ (C)\bigcirc: {Cov(U,V)\over \sigma(U) \sigma(V)} ={Cov(-2X-1,Y+1)\over \sigma(-2X-1)\sigma(Y+1)} ={-2Cov(X,Y)\over 2\sigma(X)\sigma(Y)} =-r=0.8\\(D) \times: 迴歸直線斜率=-0.8\times {\sigma(Y)\over \sigma(X)}= -0.8\times {\sqrt 2\over 2\sqrt 2} =-0.4,直線方程式y=-0.4(x-\bar x)+\bar y\\ \qquad \Rightarrow y=-0.4(x-120/5)+55/5 \Rightarrow y=-0.4(x-24)+11\\ (E)\bigcirc: x=25代入 y=-0.4(25-24)+11=10.6千箱=10600箱\\,故選\bbox[red, 2pt]{(CE)} 解答:
\cases{A(2,-1)\\ B(5,1)\\C(3,k)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AB}=( 3,2)\\ \overrightarrow{AC}= (1,k+1)\\ \overrightarrow{BC}= (-2,k-1)}\\ \Rightarrow \cases{\angle A=90^\circ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0 \Rightarrow 3+2k+2=0 \Rightarrow k=-5/2\\ \angle B=90^\circ \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0 \Rightarrow -6+2k-2=0 \Rightarrow k=4 \\ \angle C=90^\circ \Rightarrow \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=0 \Rightarrow -2+k^2-1=0 \Rightarrow k=\pm \sqrt 3}\\,故選\bbox[red, 2pt]{(ABCD)}解答:
S(36)=S(77) \Rightarrow 18(2a_1+35d)= (2a_1+76d)\cdot 77\div 2 \Rightarrow 2296d= -4592 \Rightarrow d=-2\\(A) \times: a_{57}= a_1+56d = 112-112=0 \\(B)\bigcirc: a_k =a_1+(k-1)d = 112-2(k-1)= 114-2k \\(C)\times: a_{55}+a_{56} = 114-2\cdot 55+ 114-2\cdot 56 = 228-2\cdot 111=6 \\(D)\bigcirc: 由(C)得a_{55}+a_{56} =6\\(E)\times: a_{55}+a_{56} +a_{57}= 6+a_{57} =6+112-2\times 56=6\\,故選\bbox[red, 2pt]{(BD)} 解答:
圓C:x^2+y^2-2x-1=0 \Rightarrow (x-1)^2+y^2=2 \Rightarrow \cases{圓心C(1,0)\\ 半徑 r=\sqrt 2}\\(A) \times: d(C,x=2) = 1 \ne r \\(B) \bigcirc: d(C,7x+y=17) = {10\over \sqrt{50}} =\sqrt 2 =r \\(C) \bigcirc:\overline{CP}= \sqrt{10} \Rightarrow \overline{PA}= \sqrt{\overline{CP}^2-r^2} =2\sqrt 2\Rightarrow CAPB面積= 2\triangle PAC =\overline{AP} \times r= 4 \\(D) \bigcirc: \triangle PAB的外接圓=四邊形PACB的外接圓,其圓心在\overline{PC}的中點\\\qquad =(P+C)\div 2 = (3/2,3/2)在y=x上 \\(E)\times: 外接圓半徑=\overline{PC}\div 2 = \sqrt{10}/2 \ne \sqrt 5\\,故選\bbox[red, 2pt]{(BCD)}
21.△ABC 中,下列何者為真?
(A) 若 sin2A + sin2B = sin2C,則∠ C = 90° (B)若 cosA < 0,則∠ A 是鈍角
(C) 若sin A=1/2,則∠ A = 30° (D) sinA + sinB > sinC
(E) 若c=\sqrt 2 , b = 1,∠ B = 30°,則∠ C = 45°
解答:(C)\times: \sin A={1\over 2} \Rightarrow A=30^\circ 或150^\circ \\(E)\times: \cases{c=\sqrt 2\\ b=1\\ \angle B=30^\circ } \Rightarrow \cos \angle B={a^2+c^2-b^2\over 2ac} \Rightarrow {\sqrt 3\over 2}={a^2+1\over 2\sqrt 2a} \Rightarrow a^2-\sqrt 6a +1=0\\\qquad \Rightarrow a={\sqrt 6\pm\sqrt 2\over 2} \Rightarrow \cases{若a=(\sqrt 6+\sqrt 2)/4 \Rightarrow \cos \angle C=\sqrt 2/2 \Rightarrow \angle C=45^\circ\\ 若a=(\sqrt 6-\sqrt 2)/4 \Rightarrow \cos \angle C=-1/2 \Rightarrow \angle C=120^\circ}\\,故選\bbox[red, 2pt]{(ABD)}
22.黑白藝術大師胖達善於用黑色板與白色板創作,不僅作工精細,他連平時收納色板也十分講究。喜歡對稱美的他,總是按照下面的規則來擺放色板。
按照這種規則,則下列哪些選項是正確的?
(A)圖 20 有白色板 62 塊 (B) 圖 1 到圖 10 白色板共有 185 塊 (C)圖 20 有黑色板 400 塊
(D)圖 1 到圖 10 黑色板共有 262 塊 (E)圖 1 到圖 10 黑、白兩色板共有 572 塊
解答:由圖1、圖2、圖3可推論出圖n的特性:\cases{圖n大小為(n+2)\times (n+1)\\ 圖n有黑色板n^2個\\ 圖n有白色板(n+2)(n+1)-n^2 = 3n+2個}\\ (A)\bigcirc: 圖20有白色板3\times 20+2=62 \\(B) \bigcirc: \sum_{n=1}^{10} (3n+2)= 3\sum_{n=1}^{10} n+ \sum_{n=1}^{10} 2 = 3 \cdot {10\cdot 11\over 2}+ 2\cdot 10=185\\(C)\bigcirc: 圖20有黑色板20^2=400 \\(D) \times: \sum_{n=1}^{10}n^2 ={10\cdot 11\cdot 21 \over 6} = 385 \ne 262 \\(E)\times: 由(B)及(D)可得185+385 = 570 \ne 572\\,故選\bbox[red, 2pt]{(ABC)}
23. 晴哥、 彤姐、 小絹、 老恩、 小怡、 牛總、 茹茹七人中選出 5 人組織一委員會,試問下列有關委員會的組合情形的敘述哪些是正確的?
(A)包含晴哥有 15 種 (B)不包含晴哥有 6 種 (C)包含晴哥且不包含彤姐有 5 種
(D)不同時包含晴哥、 彤姐的情形有 11 種 (E) 晴哥、 彤姐至少有 1 人入選的情形有 20 種
解答:(A)\bigcirc: 剩下六人選四人,有C^6_4=15種選法\\(B) \bigcirc: 剩下六人選五人,有C^6_5=6種選法\\(C) \bigcirc: 剩下五人選四人,有C^5_4= 5種選法 \\(D)\bigcirc: 同時包含晴哥與彤姐有C^5_3=10種選法\Rightarrow 不同時包含晴哥與彤姐有C^7_5-10=11種選法\\(E) \bigcirc: 晴哥與彤姐都沒入選有C^5_5=1種選法\Rightarrow 晴哥與彤姐至少一人入選有C^7_5-1=20種選法\\,故選\bbox[red, 2pt]{(ABCDE)}
解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
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