89年大學學測-數學詳解

大學入學考試中心
八十九學年度學科能力測驗

第一部分：選擇題  

壹、單一選擇題 

解答：

$$斜邊長\overline{AC}=a \Rightarrow \sin 36^\circ ={5\over a} \Rightarrow a={5\over \sin 36^\circ} =5\csc 36^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$

解答：$$由圖形可知各直線的x截距:L_3\gt L_1\gt L_2 \Rightarrow \cases{L_3: x+5y-7=0\\ L_1: x-y-1=0\\ L_2: 2x+y+4=0}，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答：$$數字起伏最大，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

解答：$$將D去掉後、剩下四點幾乎在一直線上，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答：$$假設每年增長為a\% \Rightarrow 50(1+a\%)^{12}= 60 \Rightarrow (1+a\%)^{12}=1.2\\ \Rightarrow 2023年的人口數=50(1+a\%)^{36} = 50\cdot 1.2^3 = 86.4，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答：$$\log 2^{6972593}= 6972593\times 0.301= 2098750.493 2^{6972593}是2098751位數\\ 2098751\div 3000 = 699.58 ，故選\bbox[red, 2pt]{(5)} $$

解答：$$丢2個硬幣的樣本:\{(正正),(正反),(反正),(反反)\} \Rightarrow P_1=2/4=1/2;\\擲2個骰子的樣本:\{(a,b)\mid a,b\in \{1-6\}\}\\ \Rightarrow 出現僅1個偶數點:\{(a,b),(b,a)\mid a\in\{2,4,6\},b\in \{1,3,5\}\} \Rightarrow P_2=18/36 =1/2;\\ P_3 =C^4_2/2^4 =6/16=3/8\\因此P_1=P_2 \gt P_3，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

貳、多重選擇題

解答：$$\cases{F_1(-1,1)\\ F_2(3,1)} \Rightarrow 中心O=(F_1+F_2)\div 2 = (1,1) \Rightarrow c=2 \Rightarrow {(x-1)^2 \over a^2} -{(y-1)^2 \over 2^2-a^2}=1\\ 將(3,4)代入上式\Rightarrow {4\over a^2}-{9\over 4-a^2}=1 \Rightarrow a^4-17a^2+16=0 \Rightarrow (a^2-16)(a^2-1)=0 \\\Rightarrow a^2=1 (a^2=16 \Rightarrow 橢圓非雙曲線) \Rightarrow 雙曲線\Gamma: {{(x-1)^2 \over 1} -{(y-1)^2 \over 3}=1}\\(1) \times:中心O(1,1)\not \in \Gamma\\(2) \bigcirc: (-1,4)\Rightarrow {(-2)^2\over 1}-{3^2\over 3}=1 \Rightarrow (-1,4)\in \Gamma \\(3)\bigcirc:(3,-2) \Rightarrow {2^2\over 1}-{(-3)^2\over 3}=1 \Rightarrow (3,-2)\in \Gamma\\ (4)\bigcirc: (-1,-2) \Rightarrow (-2)^2-{(-3)^2\over 3}= 1\\ (5)\times: (3,1) \Rightarrow 2^2-0 \ne 1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(234)}$$

解答：

$$(1) \bigcirc: D至馬路距離=C至馬路距離\Rightarrow 2a=c\\(2)\bigcirc: b/\sqrt 2+b=2a \Rightarrow (\sqrt 2+1)b=2\sqrt 2a \Rightarrow b\gt a \Rightarrow c\gt b\gt a \\(3) \times: b={2\sqrt 2\over (\sqrt 2+1)}a =(4-2\sqrt 2) a\\ (4)\times: \triangle ADC的外接圓圓心O=\overline{AC}中點 \Rightarrow \overline{OA}\ne \overline{OB}\Rightarrow B不在此外接圓上\\ (5) \bigcirc:馬路視為準線，符合A、B、C三點至馬路的距離等同三點至D的距離\\\\，故選\bbox[red, 2pt]{(125)}$$

解答：$$(1)\bigcirc: f(x)=\begin{vmatrix} x & 1& 2\\ 1 & x & 2\\ 1 & 2& x\end{vmatrix} =x^3+4+2-2x-x-4x=x^3-7x+6為三次多項式\\(2) \bigcirc: f(1)=1-7+6=0 \\(3) \bigcirc: f(2)=8-14+6=0 \\(4) \bigcirc: f(-3)= -27+21+6=0\\(5)\times: f(5)= 125-35+6 \ne 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(1234)}$$

第二部分：填充題

解答：$$\cases{366 \equiv 2 \mod 7\\ 365 \equiv 1 \mod 7\\ 2000年元旦(六)} \Rightarrow 2001元旦(一) \Rightarrow 2002元旦(二)  \Rightarrow 2003元旦(三) \Rightarrow 2004元旦(四) \\\Rightarrow \bbox[red,2pt]{2005}元旦(六)   $$

解答：$$第1列至第99列共有{100\cdot 99\over 2}=4950個數字 \Rightarrow 第100列第1個數字為4951、第2個數字為4952\\、第3個數字為\bbox[red, 2pt]{4953}$$

解答：$$\cases{a+i\\ 1+bi} \Rightarrow 兩複根為1\pm i \Rightarrow x=1\pm i \Rightarrow x^2-2x+2為其因式 \\ x^3-17x^2+32x-30=(x^2-2x+2) (x-15) =0 \Rightarrow x=\bbox[red, 2pt]{15}$$

解答：$$欲求之平面與E平行，且通過(2,-3,4)，因此該平面方程式:(x-2)+2(y+3)+3 (z-4)=0\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{x+2y+3z=8}$$

解答：$$假設a小時後，O(觀測站)AB為直角三角形 \Rightarrow \cases{O(0,0)\\ A(12,-12a)\\ B(12,3a)} \Rightarrow \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0 \\\Rightarrow (12,-12a)\cdot (12,3a)=0  \Rightarrow 36a^2=144 \Rightarrow a=\bbox[red, 2pt]{2}$$

解答：$$假設恆春為 O ，颱風中心由A 移至B ，其中\cases{\overline{OA}=400\\ \overline{OB}=200\\ \angle AOB=45^\circ+15^\circ =60^\circ }\\  \Rightarrow \cos \angle AOB ={1\over 2}={200^2+400^2-\overline{AB}^2\over 1600} \Rightarrow \overline{AB}= 200\sqrt 3 \Rightarrow 時速={200\sqrt 3\over 20}=10\sqrt 3\approx \bbox[red, 2pt]{17}$$

解答：

$$\overline{A'B'}= \overline{AC} = \sqrt{\overline{AB}^2-\overline{BC}^2} =\sqrt{(20+5)^2 -(20-5)^2} =\bbox[red, 2pt]{20}$$

解答：$$女:男=10:5=2:1 \Rightarrow 6位委員中有女性4人、男性2人 \Rightarrow 共有C^{10}_4\times C^5_2=\bbox[red, 2pt]{2100}種組合$$

解答：$${不會但猜對\over 會錯+不會但猜對} ={0.2\times {1\over 5}\over 0.8 +0.2\times {1\over 5}} ={80\over 84} =\bbox[red, 2pt]{20\over 21}$$

解答：

$$假設\overline{OC}=a \Rightarrow {\overline{OC} \over \overline{OE}} ={\overline{BD} \over \overline{AE}} \Rightarrow {a+2 \over a+27}= {3\over 8} \Rightarrow a=13 \Rightarrow \overline{OB}^2 = (a+2)^2 +3^2 = 234\\ 又\overline{BC}^2 = 2^2+ 3^2 = 13 \Rightarrow \cos \angle OBC ={234 +13-13^2 \over 2\cdot \sqrt{234} \cdot \sqrt{13}} ={ 78\over 78\sqrt 2} ={\sqrt 2\over 2} \Rightarrow \angle OBC=\bbox[red, 2pt]{45}^\circ$$

========================= END ==========================

解答僅供參考，其他歷屆試題及詳解