九十一學年度指定科目考試數學甲試題
第壹部分:(75%)
一、單一選擇題(12%)
正立方體頂點A、B、C、D,各頂點間距離皆為1,則邊長為1√2⇒體積為12√2=√24,故選(2)
解答:20(80%+70%+60%+50%+40%)=60,故選(3)
解答:(1)◯:f(−x)=cos(−x)+4cos(−x)=cos(x)+4cos(x)=f(x)(2)◯:f(x)=cos(x)+4cos(x)≥2√cos(x)⋅4cosx=4(3)×:f′(x)=0⇒−sinx+4sinxcos2x=0⇒x=0⇒f(0)=1+4=5⇒最小值是5(4)×:limx→±π/2f(x)=∞,故選(12)
解答:
解答:f(x)= 3x^4-4mx^3+1 \Rightarrow f'(x)=0 \Rightarrow 12x^2(x-m)=0 \Rightarrow x=0,m\\ 圖形y=f(x)為凹向上且f(x)=0無實數解 \Rightarrow f(0)\gt 0 且f(m)\gt 0 \Rightarrow 3m^4-4m^4+1\gt 0\\ \Rightarrow m^4\lt 1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{-1\lt m\lt 1}
解答:20(80%+70%+60%+50%+40%)=60,故選(3)
解答:(1)◯:f(−x)=cos(−x)+4cos(−x)=cos(x)+4cos(x)=f(x)(2)◯:f(x)=cos(x)+4cos(x)≥2√cos(x)⋅4cosx=4(3)×:f′(x)=0⇒−sinx+4sinxcos2x=0⇒x=0⇒f(0)=1+4=5⇒最小值是5(4)×:limx→±π/2f(x)=∞,故選(12)
解答:該四邊形一定是四邊等長,但不一定是正方形,除非長軸與座標軸垂直或平行,故選(234)
解答:(1)◯:兩轉移矩陣相乘仍是轉移矩陣(2)×:AB仍是轉移矩陣(3)◯:(A+B)/2仍符合(甲)(乙)兩條件(4)×:應該是(A2+B2)/2,故選(13)
解答:0.2%0.2%+99.8%×4%≈4.77%,故選(12)
解答:前四個月利息都一樣,只需考慮5−12月的本利和,即{a=(1+0.003)8b=(1+0.004)4(1+0.002)4c=(1+0.002)4(1+0.004)4由於{1.0032=0.0060091.004⋅1.002=1.006008,因此a>b=c,故選(12)
解答:(1)×:氧化物最大濃度的值大約是15±10,標準差不可能大於15(2)×:28筆資料,中位數=(序位14+序位15)÷2,而{序位15=15序位14<15,因此中位數<15(3)◯:風速序位14與序位15均介於45與50之間(4)◯:直線呈現左上右下趨勢,斜率為負,故選(34)
解答:(1)◯:兩轉移矩陣相乘仍是轉移矩陣(2)×:AB仍是轉移矩陣(3)◯:(A+B)/2仍符合(甲)(乙)兩條件(4)×:應該是(A2+B2)/2,故選(13)
解答:0.2%0.2%+99.8%×4%≈4.77%,故選(12)
解答:前四個月利息都一樣,只需考慮5−12月的本利和,即{a=(1+0.003)8b=(1+0.004)4(1+0.002)4c=(1+0.002)4(1+0.004)4由於{1.0032=0.0060091.004⋅1.002=1.006008,因此a>b=c,故選(12)
解答:(1)×:氧化物最大濃度的值大約是15±10,標準差不可能大於15(2)×:28筆資料,中位數=(序位14+序位15)÷2,而{序位15=15序位14<15,因此中位數<15(3)◯:風速序位14與序位15均介於45與50之間(4)◯:直線呈現左上右下趨勢,斜率為負,故選(34)
三、選填題(15%)
解答:
假設{¯PQ=¯QR=a∠OQP=θ,及P、Q在↔OR的投影點分別為S及T,如上圖;¯OQ=¯PQsinθ=asinθ⇒¯QT=asinθ/2⇒¯PS=2¯QT=asinθ(∵
\cases{|x|+|y|\le 2為一邊長為\sqrt 2的菱形ABCD \\ |x|+|y-1|\le 2為一邊長為\sqrt 2的菱形A'B'C'D' } \Rightarrow A'B'C'D'為ABCD 向上平移一單位,如上圖;\\ 因此\overline{AP}= \overline{AA'}\div \sqrt 2= {1\over \sqrt 2} \Rightarrow \overline{PB}=2\sqrt 2-{1\over \sqrt 2} \Rightarrow 所圍面積=\left( 2\sqrt 2-{1\over \sqrt 2} \right)^2=\bbox[red, 2pt]{9\over 2}
解答:令\cases{A(0,2)\\ B_n(1/n,0)\\ C_n(-1/n,0)\\ O(0,0)} \Rightarrow \lim_{n\to \infty} B_n =\lim_{n\to \infty} C_n = O \Rightarrow \lim_{n\to \infty} D_n=\overline{AO}=\bbox[red, 2pt]2
第貳部分:(25%)
解答:假設黑球有a個\Rightarrow {C^7_2\over C^{7+a}_2}={7\over 22} \Rightarrow {7\times 6\over (7+a)\times(6+a)} ={7\over 22} \Rightarrow a^2+13a +42=132 \\ \Rightarrow (a-5)(a+18)=0 \Rightarrow a=5 \Rightarrow 黑球有\bbox[red,2pt]5個解答:f(x)= 3x^4-4mx^3+1 \Rightarrow f'(x)=0 \Rightarrow 12x^2(x-m)=0 \Rightarrow x=0,m\\ 圖形y=f(x)為凹向上且f(x)=0無實數解 \Rightarrow f(0)\gt 0 且f(m)\gt 0 \Rightarrow 3m^4-4m^4+1\gt 0\\ \Rightarrow m^4\lt 1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{-1\lt m\lt 1}
========================= END =============================
解題僅供參考,其他歷屆試題及詳解
筆者您好
回覆刪除選填B :
AB長應為2根號2,PB 常為(2根號2 - 根號2分之一)
面積為(2根號2 - 根號2分之一)平方
但答案無誤。
已修訂,謝謝!
刪除