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2022年10月4日 星期二

111年高考二級-應用數學詳解

 111年公務人員高等考試二級考試試題

等 別:高考二級
類 科:氣象
科 目:應用數學(包括微積分、微分方程、初步複變函數與向量分析)


解答

f(x)=4x3+6x224x5f(x)=12x2+12x24f(x)=012(x2+x2)=12(x+2)(x1)=0x=1,2(2[0,2]){f(1)=4+6245=19f(0)=5f(2)=32+24485=3{=3=19
解答y


解答f(z)=e^{3z} \Rightarrow f'(z)=3e^{3z} \Rightarrow f''(z)=9e^{3z} \\再利用柯西積分公式: \oint_C {f(z)\over z^3}\,dz ={2\pi i \over 2!} f''(0) =\pi \cdot 9= \bbox[red, 2pt]{9\pi}

解答令\cases{x(t)=\cos t\\ y(t)=\sin t}, t=1-2\pi \Rightarrow \cases{P(x,y)=3y \Rightarrow P(x(t),y(t))= 3\sin t\\ Q(x,y)=-2x \Rightarrow Q(x(t),y(t)) =-2\cos t} \\\Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot dr =\int_0^{2\pi}  P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t), y(t)y'(t)\,dt = \int_0^{2\pi} 3\sin t(-\sin t)-2\cos t(\cos t)\,dt \\ =\int_0^{2\pi} -3\sin^2 t-2\cos^2 t\,dt =\int_0^{2\pi}  -3+\cos^2 t\,dt =\int_0^{2\pi}  -{5\over 2}+ {1\over 2}\cos 2 t\,dt \\ =\left. \left[ -{5\over 2}t+ {1\over 4}\sin 2t\right] \right|_0^{2\pi} =\bbox[red, 2pt]{-5\pi}
============================== END =================================
解題僅供參考,其他高普考歷屆試題及詳解

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