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2022年11月22日 星期二

111年專技高考-電機工程技師-工程數學詳解

111年專門職業及技術人員高等考試

等 別: 高等考試
類 科: 電機工程技師
科 目: 工程數學( 包括線性代數、 微分方程、 複變函數與機率)

解答y2=y1u(x)=xu(x)y2=u+xuy2=2u+xu(x2x)(2u+xu)2x(u+xu)+2xu=0u=2x2xu=(2x12x)ulnu=ln(x1x)2+C1u=C2(x1x)2u=C2(x1x)2dx=C2(x2lnx1x)+C3y2=C2(x22xlnx1)+C3xy=C1y1+C2y2=C3(x22xlnx1)+C4xy=C1(x22xlnx1)+C2x,C1 and C2
解答{L{f(t)}=F(s)L1{F(s)}=f(t),L{tf(t)}=ddsF(s)tf(t)=L1{ddsF(s)}f(t)=1tL1{ddsF(s)}L1{lnsasb}=L1{ln(sa)}L1{ln(sb)}=1tL1{ddsln(sa)}1tL1{ddsln(sb)}=1tL1{1sa}1tL1{1sb}=1teat+1tebt=ebteatt
解答()f(z)=2z+1z+3C2z+1(z+3)(z1)dz=f(z)z1dz=2πif(1)=2πi34=32πi()f(z)=2z+1z+3f(z)=2z+32z+1(z+3)2C2z+1(z+3)(z1)2dz=Cf(z)(z1)2dz=2πif(1)=2πi(12316)=58πi
解答()A=[1113]B=AAt=[24410]det
解答\mathbf{(一)}\;散度= \mathbf{div  }\vec F = \nabla\cdot \vec F ={\partial \over \partial x}F_1 +{\partial \over \partial y}F_2 +{\partial \over \partial z}F_3 ={\partial \over \partial x}x^2y^3 \sin z +{\partial \over \partial y}x^2 y^2z^2 +{\partial \over \partial z} 4\cos(xyz) \\= \bbox[red,2pt]{2xy^3\sin z+2x^2yz^2 -4xy\sin(xyz)} \\旋度=\text{curl }\vec F =\nabla \times \vec F = ({\partial \over \partial y}F_3-{\partial \over \partial z}F_2, {\partial \over \partial z}F_1-{\partial \over \partial x}F_3, {\partial \over \partial x}F_2-{\partial \over \partial y}F_1) \\ = \bbox[red, 2pt]{(-4xz \sin(xyz)-2x^2y^2 z,x^2y^3 \cos z+4yz \sin(xyz),2xy^2z^2-3x^2y^2 \sin z) } \\\mathbf{(二)}\; \cases{x(t)=t\\ y(t)= -2t+1\\ z(t)= 5t+2} ,t\in [0,1] \Rightarrow \cases{x'(t)= 1\\ y'(t)=-2\\ z'(t)=5} \\ \Rightarrow \int 3x^2dx +(2yz)dy+ (y^2) dz = \int_0^1 3t^2 + 2(-2t+1)(5t+2)(-2) + (-2t+1)^2 5\; dt \\ =\int_0^1 63t^2-24t-3\,dt = \left. \left[ 21t^3- 12t^2 -3t\right]\right|_0^1 =\bbox[red, 2pt]{6}
解答\mathbf{(一)}\;E(X) = \int xp(x)\,dx =\int_0^1 x\cdot x\,dx +\int_1^2 (2-x)x\,dx ={1\over 3} +{2\over 3}= \bbox[red, 2pt]1 \\ \mathbf{(二)}\;E(X^2) = \int x^2p(x)\,dx = \int_0^1 x^3\,dx +\int_1^2 x^2(2-x)\,dx = {1\over 4}+{11\over 12} ={7\over 6} \\ \qquad \Rightarrow Var(X) = E(X^2)-(E(X))^2 = {7\over 6}-1^2 = \bbox[red, 2pt]{1\over 6}\\ \mathbf{(三)}\; E(X^3) =\int x^3p(x)\,dx = \int_0^1 x^4\,dx +\int_1^2 x^3(2-x)\,dx = {1\over 5}+ {13\over 10} =\bbox[red, 2pt]{3\over 2}

 ========================== END ========================

解題僅供參考,其他國考試題及詳解

8 則留言:

  1. 請問第五題(二) x(t)y(t)z(t)是如何找出來的? 二維的直線我會解,但三維的沒有概念如何解。

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    1. 從(0,1,2)至(1,-1,7)的直線方程式:x/1=(y-1)/(-1-1)= (z-2)/(7-2), 也就是 x/1= (y-1)/-2 = (z-2)/5 = t , 因此x=t,y=-2t+1,z=5t+2........... 這應該不難吧!

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  2. 第五題有計算錯誤

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  3. 請問第1題的第2行怎化簡到第3行(lnu'那)

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  4. 第五題線積分 應是21t^3-12t^2-3t 上下限(1,0) 最後結果為6

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