111年專門職業及技術人員高等考試
等 別: 高等考試
類 科: 電機工程技師
科 目: 工程數學( 包括線性代數、 微分方程、 複變函數與機率)
解答:假設{L{f(t)}=F(s)L−1{F(s)}=f(t),則L{tf(t)}=−ddsF(s)⇒tf(t)=L−1{−ddsF(s)}⇒f(t)=1tL−1{−ddsF(s)}⇒L−1{lns−as−b}=L−1{ln(s−a)}−L−1{ln(s−b)}=1tL−1{−ddsln(s−a)}−1tL−1{−ddsln(s−b)}=1tL−1{−1s−a}−1tL−1{−1s−b}=−1teat+1tebt=ebt−eatt
解答:(一)令f(z)=2z+1z+3⇒∮C2z+1(z+3)(z−1)dz=∮f(z)z−1dz=2πi⋅f(1)=2πi⋅34=32πi(二)令f(z)=2z+1z+3⇒f′(z)=2z+3−2z+1(z+3)2⇒∮C2z+1(z+3)(z−1)2dz=∮Cf(z)(z−1)2dz=2πi⋅f′(1)=2πi⋅(12−316)=58πi
解答:(一)A=[1113]⇒B=AAt=[24410]⇒det
解答:\mathbf{(一)}\;散度= \mathbf{div }\vec F = \nabla\cdot \vec F ={\partial \over \partial x}F_1 +{\partial \over \partial y}F_2 +{\partial \over \partial z}F_3 ={\partial \over \partial x}x^2y^3 \sin z +{\partial \over \partial y}x^2 y^2z^2 +{\partial \over \partial z} 4\cos(xyz) \\= \bbox[red,2pt]{2xy^3\sin z+2x^2yz^2 -4xy\sin(xyz)} \\旋度=\text{curl }\vec F =\nabla \times \vec F = ({\partial \over \partial y}F_3-{\partial \over \partial z}F_2, {\partial \over \partial z}F_1-{\partial \over \partial x}F_3, {\partial \over \partial x}F_2-{\partial \over \partial y}F_1) \\ = \bbox[red, 2pt]{(-4xz \sin(xyz)-2x^2y^2 z,x^2y^3 \cos z+4yz \sin(xyz),2xy^2z^2-3x^2y^2 \sin z) } \\\mathbf{(二)}\; \cases{x(t)=t\\ y(t)= -2t+1\\ z(t)= 5t+2} ,t\in [0,1] \Rightarrow \cases{x'(t)= 1\\ y'(t)=-2\\ z'(t)=5} \\ \Rightarrow \int 3x^2dx +(2yz)dy+ (y^2) dz = \int_0^1 3t^2 + 2(-2t+1)(5t+2)(-2) + (-2t+1)^2 5\; dt \\ =\int_0^1 63t^2-24t-3\,dt = \left. \left[ 21t^3- 12t^2 -3t\right]\right|_0^1 =\bbox[red, 2pt]{6}
解答:\mathbf{(一)}\;E(X) = \int xp(x)\,dx =\int_0^1 x\cdot x\,dx +\int_1^2 (2-x)x\,dx ={1\over 3} +{2\over 3}= \bbox[red, 2pt]1 \\ \mathbf{(二)}\;E(X^2) = \int x^2p(x)\,dx = \int_0^1 x^3\,dx +\int_1^2 x^2(2-x)\,dx = {1\over 4}+{11\over 12} ={7\over 6} \\ \qquad \Rightarrow Var(X) = E(X^2)-(E(X))^2 = {7\over 6}-1^2 = \bbox[red, 2pt]{1\over 6}\\ \mathbf{(三)}\; E(X^3) =\int x^3p(x)\,dx = \int_0^1 x^4\,dx +\int_1^2 x^3(2-x)\,dx = {1\over 5}+ {13\over 10} =\bbox[red, 2pt]{3\over 2}
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解題僅供參考,其他國考試題及詳解
請問第五題(二) x(t)y(t)z(t)是如何找出來的? 二維的直線我會解,但三維的沒有概念如何解。
回覆刪除從(0,1,2)至(1,-1,7)的直線方程式:x/1=(y-1)/(-1-1)= (z-2)/(7-2), 也就是 x/1= (y-1)/-2 = (z-2)/5 = t , 因此x=t,y=-2t+1,z=5t+2........... 這應該不難吧!
刪除了解 謝謝!
刪除第五題有計算錯誤
回覆刪除請問第1題的第2行怎化簡到第3行(lnu'那)
回覆刪除第五題線積分 應是21t^3-12t^2-3t 上下限(1,0) 最後結果為6
回覆刪除對,已修訂,謝謝!
刪除不會 版主辛苦了!!!
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