國立嘉義大學 108 學年度轉學生招生考試試題
科目:微積分 <請將答案寫在答案卷上>
一、填充題:(每題 6 分,共 60 分)
解答:{−1/x≤cosx/x≤1/x−1/x≤sinx/x≤1/x⇒{limx→∞cosx/x=0limx→∞sinx/x=0因此limx→∞x+cosxx−sinx=limx→∞1+cosx/x1−sinx/x=1
解答:取x=my2,m為常數⇒lim(x,y)→(0,0)xy2x2+y4=limx→0my4(m2+1)y4=mm2+1非定值⇒極限不存在
解答:∫1x2−5x+6dx=∫1(x−3)(x−2)dx=∫1x−3−1x−2dx=ln(x−3)−ln(x−2)+C
解答:令{u=ln(x+1)dv=xdx⇒{du=dx/(x+1)v=x2/2⇒∫xln(x+1)dx=12x2ln(x+1)−12∫x2x+1dx=12x2ln(x+1)−12∫x−1+1x+1dx=12x2ln(x+1)−12(12x2−x+ln(x+1))+C=12(x2−1)ln(x+1)−14x2+12x+C
解答:x2−xy2+y3=1⇒2x−y2−2xyy′+3y2y′=0⇒dydx=y′=2x−y22xy−3y2
解答:y=sin−1(x2+1)⇒dydx=1√1−(x2+1)2⋅(2x)=2x√−x2−2x
解答:ddx∫x21t1+t3dt=x21+x6⋅(2x)=2x31+x6
解答:limx→0ex−1−xx2=limx→0ex−12x=limx→0ex2=12
解答:x2+y2=25⇒2x+2yy′=0⇒y′=−xy⇒切線斜率=y′|(3,4)=−34⇒過(3,4)斜率為-34的切線:y=−34(x−3)+4⇒3x+4y=25
解答:∫x−9x2+3x−10dx=∫x−9(x+5)(x−2)dx=∫2x+5−1x−2dx=2ln(x+5)−ln(x−2)+C
二、計算題:(每題 10 分,共 40 分;請寫計算過程)
解答:ex的泰勒級數=∞∑n=01n!xn⇒x2ex的泰勒級數=∞∑n=01n!xn+2
解答:∫80∫23√yex4dxdy=∫20∫x30ex4dydx=∫20x3ex4dx=[14ex4]|20=14(e16−1)
解答:L=limn→∞|an+1an|=limn→∞|(−1)n+1xn+1n+2⋅n+1(−1)nxn|=limn→∞n+1n+2|x|=|x|<1依比值審斂法,當|x|<1時,冪級數收斂
解答:∫10∫1xsin(y2)dydx=∫10∫y0sin(y2)dxdy=∫10ysin(y2)dy=[−12cos(y2)]|10=−12(cos1−1)=12(1−cos1)
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