中央警察大學 111 學年度碩士班入學考試試題
所 別:消防科學研究所、交通管理研究所
科 目:微積分(同等學力加考)
解答:(一)limn→∞1n[(1n)9+(2n)9+(3n)9+⋯+(nn)9]=limn→∞n∑k=11n(kn)9=∫10x9dx=110x10|10=110(二)u=cosx⇒du=−sinxdx⇒∫sinxsin(cosx)dx=∫−sinudu=cosu+C=cos(cosx)+C(三)∫10ez+1ez+zdz=[ln(ez+z)]|10=ln(e+1)
解答:
(一)
cosx=sin(2x)=2sinxcosx⇒cosx(1−2sinx)=0⇒{cosx=0sinx=1/2⇒{x=π/2x=π/6所圍面積=∫π/60cosx−sin(2x)dx+∫π/2π/6sin(2x)−cosxdx=[sinx+12cos(2x)]|π/60+[−12cos(2x)−sinx]|π/2π/6=(34−12)+(−12+34)=12(二){x=5⇒y=√x−1=2y=0⇒0=√x−1⇒x=1⇒∫51y2πdx=π∫51x−1dx=π[12x2−x]|51=8π
解答
:(一)∫424x2−6x+10dx=∫424(x−3)2+1dx=4[tan−1(x−3)]|42=4(tan−11−tan−1(−1))=4(π4−(−π4))=2π(二){u=sin−1xdv=1√1−x2dx⇒{du=dx√1−x2v=sin−1x⇒I=∫1/√20sin−1x√1−x2dx=(sin−1x)2|1/√20−I⇒2I=(sin−1x)2|1/√20=π216⇒I=π232(三)∫2−24√16−x2dx=∫2−21√1−(x/4)2dx=[4sin−1(x/4)]|2−2=4⋅π3=4π3
解答:r=a(1−cosθ)⇒drdθ=asinθ⇒心臟線長度=∫2π0√r2+(drdθ)2dθ=∫2π0√a2(1−cosθ)2+a2sin2θdθ=∫2π0√2a2−2a2cosθdθ=√2a∫2π0√1−cosθdθ=√2a∫2π0√2sin2(θ/2)dθ=2a∫2π0sin(θ/2)dθ=2a[−2cos(θ/2)]|2π0=8a心臟線面積=12∫2π0r2dθ=∫π0r2dθ=a2∫π0(1−cosθ)2dθ=a2⋅32π=32a2π⇒∬
解答:r=a(1−cosθ)⇒drdθ=asinθ⇒心臟線長度=∫2π0√r2+(drdθ)2dθ=∫2π0√a2(1−cosθ)2+a2sin2θdθ=∫2π0√2a2−2a2cosθdθ=√2a∫2π0√1−cosθdθ=√2a∫2π0√2sin2(θ/2)dθ=2a∫2π0sin(θ/2)dθ=2a[−2cos(θ/2)]|2π0=8a心臟線面積=12∫2π0r2dθ=∫π0r2dθ=a2∫π0(1−cosθ)2dθ=a2⋅32π=32a2π⇒∬
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