112 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試
甄試類(群)組別:大學組-數學 A
單選題,共 20 題,每題 5 分
解答:{y>x2y≤−3x⇒x2<y≤−3x⇒x2<−3x⇒x(x+3)<0⇒−3<x<0⇒{x=−1⇒1<y≤3x=−2⇒4<y≤6⇒(x,y)=(−1,2),(−1,3),(−2,5),(−2,6),共四點,故選(D)
解答:{125−15≤x≤125+15100−15≤y≤100+15⇒{110≤x≤14085≤y≤115⇒110−115≤x−y≤140−85⇒−5≤x−y≤55⇒0≤|x−y|≤55,故選(A)
解答:f(x)=(x−1)(x2+x+1)p(x)+x2+bx+c=(x−1)(x2+x+1)p(x)+(x2+x+1)+(b−1)x+(c−1)=(x2+x+1)((x−1)p(x)+1)+(b−1)x+(c−1)由於f(x)除以x2+x+1的餘式為2x+1⇒(b−1)x+(c−1)=2x+1⇒{b=3c=2⇒f(1)=1+b+c=1+3+2=6,故選(C)
解答:餘弦定理:cos∠A=82+72−¯BC22⋅8⋅7=113−¯BC2112又60∘<∠A<120∘⇒−12<cos∠A<12⇒−12<113−¯BC2112<12⇒−56<113−¯BC2<56⇒57<¯BC2<169⇒√57<¯BC<13⇒8≤¯BC<13⇒¯BC=8,9,10,11,12,共五個整數,故選(B)
解答:logab為整數⇒(a,b)=(2,4),(2,8),(2,16),(3,9),(4,16),共五組(a,b)共有20×19=380種組合,因此機率=5380=176,故選(B)
解答:{logx=1+2alogy=2+a⇒a=logx−12=logy−2⇒logx=2logy−3⇒logx=logy2−log103=logy2103⇒x=y2103⇒y2=1000x,故選(D)
解答:{P(紅,紅)=1/16P(白,白)=9/16⇒{兩球相同機率=10/16兩球相異機率=6/16⇒期望值=400⋅1016+200⋅616=250+75=325,故選(C)
解答:{¯OP=√13→OP⋅(0,1)=2⇒{a2+b2=13b=2⇒a2=9⇒a=−3(a=3不合,P在第二象限)⇒→OP⋅(2,−1)=(−3,2)⋅(2,−1)=−6−2=−8,故選(A)
解答:A:{x=ny=10n⇒x越大則y越大⇒ra>0B:{x=ny=log10n=n⇒x=y⇒rb=1C:{x=ny=1/7n⇒x越大y越小⇒rc<0因此rc<ra<rb,故選(C)
解答:(cosθ+1)2+(sinθ−2)2=6⇒cos2θ+2cosθ+1+sin2θ−4sinθ+4=6⇒2cosθ−4sinθ=0⇒tanθ=sinθcosθ=24=12,故選(A)
解答:假設上個月{牛奶每瓶a元布丁每個b元⇒這個月{第1間店:牛奶每瓶a+15元,布丁每個b元第2間店:牛奶每瓶a元,布丁每個b+15元第3間店:牛奶每瓶a+2元,布丁每個b+10元⇒{x(a+15)+by=519ax+y(b+15)=504x(a+2)+y(b+10)=500⇒{ax+by+15x=519⋯(1)ax+by+15y=504⋯(2)ax+by+2x+10y=500⋯(3)因此{(1)−(3)⇒13x−10y=19(2)−(3)⇒−2x+5y=4⇒{x=3y=2⇒2x+y=6+2=8,故選(C)
解答:通過(1,0),(0,−3)的直線L:y=3x−3圓C:x2+y2−6x+8y+k=0⇒(x−3)2+(y+4)2=25−k⇒{圓心O(3,−4)半徑r=√25−k圓C與L相切⇒d(O,L)=r⇒√10=√25−k⇒k=15,故選(D)
解答:(3,−1)為兩多項式的對稱中心⇒{f(x)=a(x−3)3+b(x−3)−1g(x)=c(x−3)3+d(x−3)−1又{f首項係數=2g首項係數=−1⇒{a=2b=−1⇒{f(x)=2(x−3)3+b(x−3)−1g(x)=−(x−3)3+d(x−3)−1再加上皆通過(5,3)⇒f(5)=g(5)=3⇒{f(5)=16+2b−1=3g(5)=−8+2d−1=3⇒{b=−6d=6⇒{f(x)=2(x−3)3−6(x−3)−1g(x)=−(x−3)3+6(x−3)−1⇒(A)×:{f(0)=−54+18−1<0g(0)=27−18−1>⇒f(0)≯
解答:\begin{vmatrix}a & 0 & 1\\ b& \log 2 & \log 5 \\ 1& 0 & 1\end{vmatrix} =a\log 2-\log 2=(a-1)\log 2 = 0 \Rightarrow a=1,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答:E與2x-2y+z=3不相交 \Rightarrow 相互平行 \Rightarrow E:2x-2y+z= k\\ \Rightarrow\cases{d((1,-2,3), E)= {|9-k|\over 3} \\ d((-5,4,1), E)= {|-17-k|\over 3}} \Rightarrow |9-k|=|-17-k| \Rightarrow k=-4\\ \Rightarrow E:2x-2y+z+4=0 \Rightarrow d((3,-2,1),E) ={|6+4+1+4|\over 3} =5,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答:\cos A= {\overline{AB}^2+\overline{AC}^2- \overline{BC}^2\over 2\overline{AB}\cdot \overline{AC}} ={1+1-1/4\over 2\cdot 1\cdot 1} ={7\over 8} \\ 又\cos A= {\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \over |\overrightarrow{AB} || \overrightarrow{AC}|} \Rightarrow {7\over 8}={\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \over 1\cdot 1} \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}={7\over 8}\\ \cases{\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{AC}=-{1\over 2}\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{EB} =\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AB} =-{1\over 2}\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AB}} \Rightarrow \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{EB} =\left(-{1\over 2}\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} \right)\cdot \left( -{1\over 2}\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AB}\right) \\={1\over 4} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} -{1\over 2}-{1\over 2}+\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} ={5\over 4}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}-1 ={5\over 4}\cdot {7\over 8}-1 = {3\over 32},故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解答:A\begin{bmatrix} 1 \\0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sqrt 3/2 \\1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos (\pi/6) \\ \sin(\pi/6)\end{bmatrix} \Rightarrow A=\begin{bmatrix} \cos (\pi/6) & -\sin(\pi/6) \\ \sin (\pi/6) & \cos (\pi/6) \end{bmatrix} \Rightarrow A^6=\begin{bmatrix} \cos (\pi) & -\sin(\pi) \\ \sin (\pi) & \cos (\pi) \end{bmatrix} \\=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \Rightarrow A^6\begin{bmatrix} -3 \\2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3 \\-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \\b \end{bmatrix} \Rightarrow a+b=3-2=1,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答:全部有C^4_2\cdot C^5_3=60種組合\\豆腐和波菜一起被選有:C^4_2 \cdot C^3_1=18種組合\\ 牛肉和韭菜一起被選有:C^3_1\cdot C^4_2=18種組合\\豆腐和波菜一起被選且牛肉和韭菜有:C^3_1=3種組合\\ 因此符合要求的選法有60-18-18+3=27種,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答:\cases{\overrightarrow{AB}=(1,0,0)\\ E之法向量\vec n=(1,-1,\sqrt 6)} \Rightarrow \cos \theta ={\overrightarrow{AB} \cdot \vec n\over |\overrightarrow{AB}||\vec n|} =\sqrt{1\over 8} \Rightarrow \sin \theta =\sqrt{7\over 8} \\ \Rightarrow 投影長=|\overrightarrow{AB}|\sin \theta = 1\cdot \sqrt{7\over 8}=\sqrt{7\over 8},故選\bbox[red,2pt]{(D)}
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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
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