臺北市 112 學年度市立普通型暨技術型高級中等學校正式教師聯合甄選
壹、選擇題:佔 20 分(共 4 題,每題 5 分)
單選題
解答: 假設{A(0,0,0)B(1,0,1/2)C(1,1,2/3)D(0,1,a)⇒{→AB=(1,0,1/2)→AC=(1,1,2/3)⇒→n=→AB×→AC=(−1/2,−1/6,1)⇒△ABC構成的平面E:−12x−16y+z=0D在E上⇒0−16+a=0⇒a=16,故選(A)
解答:此題相當於求兩圖形{y=f(x)=sin(πx)y=g(x)=12x的交點數由於f(0)≠g(0),僅需考慮x∈(0,3],且{0≤|f(x)|≤1g(x)>0⇒只需考慮f(x)>0的範圍,即{0<πx<π2π<πx<3π⇒{0<x<12<x<3g(x)為遞減且明顯解:f(1/2)=g(1/2)=1為y=f(x)之最高點⇒還有三個交點,分別位於(1/2,1),(2,5/2),(5/2,3)⇒共四點,故選(D)

解答:∞∑k=1k⋅pk(1−p)≥10⇒∞∑k=1kpk−∞∑k=1kpk+1≥10⇒p(1−p)2−p2(1−p)2≥10⇒p1−p≥10⇒11−p−1≥10⇒11−p≥11⇒1−p≤111⇒p≥1011,故選(C)
貳、非選擇題:佔 40 分(共 8 題,每題 5 分)
解答:由題意:{建仔身高¯AE=1.8伊森身高¯BF=1.6伊森前進距離¯AB=45∠CEH=α∠CFG=β,並假設{大樓高度¯CD=h¯BD=w則{tanα=¯CH¯EHtanβ=¯CG¯FG⇒{h−1.8w+45=16h−1.6w=13⇒{w=6h−10.8−45w=3h−4.8⇒6h−55.8=3h−4.8⇒3h=51⇒h=17⇒教學大樓高度為17公尺
P,Q皆在直線y=x上⇒假設{Q(k,k)P(k/2,k/2)⇒{k=logak12k=logak2⇒{k=4a=√2⇒Q(4,4)⇒¯OQ2=32
解答:{F1(−4,0)F2(4,0)頂點(0,3)⇒{c=4b=3⇒a=5⇒Γ:x225+y29=1又¯PF1+¯F1A≥¯PA⇒¯PF1+¯PF2+¯F1A≥¯PA+¯PF2⇒¯PA+¯PF2的最大值=¯PF1+¯PF2+¯F1A=2a+√52+1=10+√26
解答:→a∥→b⇒68=√1−sinθ√sinθ⇒916=1−sinθsinθ⇒sinθ=1625⇒→a⋅→b最大值=6√1−sinθ+8√sinθ=6⋅√925+8⋅√1625=18+325=10
解答:{A(0,0,0)B(1,0,0)C(0,1,0)D(1,1,1)⇒{E1=△ABC:z=0E2=△ACD:x−z=0E3=△ABD:−y+z=0E4=△BCD:x+y−z=1假設球心P(a,b,c)⇒{d(P,E1)=cd(P,E2)=|a−c|/√2d(P,E3)=|−b+c|/√2d(P,E4)=|a+b−c−1|/√3△OAB為等腰直角⇒a=b,若a<c⇒d(P,E2)=c−a√2=c⇒a=(1−√2)c<0不合⇒a≥c⇒a=(√2+1)c再考慮d(P,E4)=|(2√2+1)c−1|√3=c若c≥12√2+1⇒c=12√2−√3+1⇒a=√2+12√2−√3+1>1⇒P在四面體外側,不合因此c≤12√2+1⇒c=12√2+√3+1⇒a=√2+12√2+√3+1
解答:f(n)+n=2023⇒n<2023⇒max{f(n),n<2023}=f(1999)=28⇒nf(n)f(n)+n201582023⋯200132004200022002199928202719982720251997262023越來越小⇒只有兩個解n=2015及1997⇒所有解的和=2015+1997=4012
解答:△ABC面積=6=3x+4y+5z2⇒3x+4y+5z=12利用Lagrange multiplier求解:假設{f=3x2+y2+2yz+2z2g=3x+4y+5z−12⇒{fx=λgxfy=λgyfz=λgzg=0⇒{6x=3λ⋯(1)2y+2z=4λ⋯(2)2y+4z=5λ⋯(3)3x+4y+5z=12⋯(4),由(1),(2),(3)⇒{3xy+z=34y+zy+2z=453xy+2z=35⇒{x=zy=3z代入(4)⇒z=35⇒{x=z=35y=95⇒f(35,35,95)=365為最小值
解答:假設X不含112,例X={a,b,c,d,a>b>c>d}⇒f(X)=a−b+c−d又f(X∪{112})=112−a+b−c+d,因此f(X)+f(X∪{112})=112{X不含112的有2111個X含112的也有2111個⇒∑f(X)=112⋅2111
參、計算題:佔 40 分(共 4 題,每題 10 分)
解答:(1)行星E(400cosθ,400sinθ)每天繞行角度為2π500=π250⇒第t天時,E坐標為(400costπ250,400sintπ250)若E為原點,衞星M(cosθ,sinθ)每天繞行角度為2π50=π25⇒第t天時,M坐標為(costπ25,sintπ25)因此E坐標為(400costπ250,400sintπ250)時,M坐標為(costπ25+400costπ250,sintπ25+400sintπ250)(2)第t天時,{→u=→ES=(−400costπ250,−400sintπ250)→v=→EM=(costπ25,sintπ25)∠SEM=180∘⇒cos∠SEM=−1⇒cos∠SEM=→u⋅→v|→u||→v|=−400costπ250costπ5−400sintπ250sintπ5400⋅1=−costπ250costπ5−sintπ250sintπ5=−cos(tπ5−tπ250)=−1⇒cos(tπ5−tπ250)=1⇒tπ5−tπ250=π⇒49tπ=250π⇒t=25049≈5.1⇒第6天
解答:(1)(x,y)逆時鐘旋轉θ後變為(X,Y)⇒[XY]=[cosθ−sinθsinθcosθ][xy]=[xcosθ−ysinθxsinθ+ycosθ]⇒旋轉後的橢圓方程式Γ′:(xcosθ−ysinθ)2−(xcosθ−ysinθ)(xsinθ+ycosθ)+(xsinθ+ycosθ)2=3⇒(cos2θ−cosθsinθ+sin2θ)x2+(−2cosθsinθ−cos2θ+sin2θ+2cosθsinθ)xy+(sin2θ+cosθsinθ+cos2θ)y2=3⇒(1−cosθsinθ)x2+(sin2θ−cos2θ)xy+(1+sinθcosθ)y2=3(2)sin2θ−cos2θ=0⇒θ=45∘⇒Γ′:(1−12)x2+0xy+(1+12)y2=3⇒12x2+32y2=3⇒16x2+12y2=1⇒{A=1/6B=1/2
解答:(1)梯形面積=¯BC+¯AD2⋅¯BH=2+(2+2a)2⋅b=(a+2)b(2)a2+b2=1⇒{a=cosθb=sinθ⇒(a+2)b=(cosθ+2)sinθ≡f(θ)⇒f(θ)=2sinθ+12sin2θ⇒f′(θ)=0⇒2cosθ+cos2θ=2cosθ+2cos2θ−1=0⇒cosθ=√3−12(−√3−12<0,不合)⇒a=√3−12
解答:(1)P在¯BC上,使得¯PA+¯PB+¯PC+¯PD=¯AB+2¯BC+¯CD=¯AD+¯BC最小(2)假設{¯AB=¯CD=m¯BC=2n,並令¯BC的中點O為原點,即{A(−m−n,0)B(−n,0)C(n,0)D(m+n,0)P(a,b),b≠0因此{¯PA2=(a+m+n)2+b2¯PD2=(a−m−n)2+b2¯PB2=(a+n)2+b2¯PC2=(a−n)2+b2⇒{¯PA2+¯PB2=2a2+2b2+2(m+n)2¯PB2+¯PC2=2a2+2b2+2n2⇒¯PA2+¯PB2>¯PB2+¯PC2⇒¯PA+¯PD>¯PB+¯PC,故得證
======================== END ==============================
謝謝老師的解題
回覆刪除另外老師計算題第4題的(2),最後PD誤植成PB了
謝謝提醒,已修訂
刪除計算2(2),答案對調了;
回覆刪除計算4(2),請問最後一行的箭頭是為什麼?