中央警察大學 112 學年度碩士班入學考試試題
所 別:消防科學研究所、交通管理研究所
科 目:微積分(同等學力加考)
解答:(一)y=(lnx)x=exln(lnx)⇒y′=(ln(lnx)+x⋅1lnx⋅1x)exln(lnx)=(ln(lnx)+1lnx)(lnx)x(二)y=sin2xex+1⇒y′=2cos2xex+1−exsin2x(ex+1)2(三)y=(ln2x)x2⇒y′=(2lnx⋅1x)x2+(ln2x)2x=2xlnx(1+lnx)
解答:(一)令I=∫∞−∞1√2πe−x2/2⇒I2=∫∞−∞∫∞−∞12πe−(x2+y2)/2dydx=∫2π0∫∞012πre−r2/2drdθ=∫2π0[−12πe−r2/2]|∞0dθ=∫2π012πdθ=1⇒I=1因此令t=x−μσ⇒原式∫∞−∞1√2πσe−12(x−μσ)2dx=∫∞−∞1√2πe−t2/2dt=I=1(二)∫x+1x+2dx=∫1−1x+2dx=x−ln(x+2)+C(三)令u=lnx,則du=1xdx,因此∫(1+lnx)2xdx=∫(1+u)2du=13(1+u)3+C=13(1+lnx)3+C
解答:(一)lim

解答:\mathbf{(一)}\; e^2是一個常數,因此{d\over dx}e^2 =\bbox[red, 2pt]0 \\\mathbf{(二)}\;\frac{\text{d} }{\text{d}x}2^x =\frac{\text{d} }{\text{d}x}e^{x\ln 2} =\ln 2e^{x\ln 2} =\bbox[red, 2pt]{\ln 2\cdot 2^x}\\ \mathbf{(三)}\;\frac{\text{d} }{\text{d}x}(\sin x)^x =\frac{\text{d} }{\text{d}x} e^{x\ln(\sin x)} = \left(\ln(\sin x)+x\cdot {\cos x\over \sin x}\right) e^{x\ln(\sin x)} =\bbox[red, 2pt]{\left(\ln(\sin x)+x\cot x\right) (\sin x)^x}
==================== END =======================
第三題的第一小題,0^0是不定型,無法知道極限值,這題常見做法是用x^x=e^(xlnx),再套羅必達解題,另外這題出題有一點錯誤,只有0正,沒有0負,x不能小於0
回覆刪除謝謝指正,已修訂
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