112年國家安全局國家安全情報人員考試及
112年特種考試交通事業鐵路人員考試
考試別:鐵路人員考試、國家安全情報人員考試
等 別:高員三級考試、三等考試
類科組別:電力工程、電子組(選試英文)
科 目:工程數學
考試時間:2 小時
甲、申論題部分:(50 分)
解答:先求齊次解yh,即y″h−9yh=0⇒特徵方程式:λ2−9=0⇒λ=±3⇒yh=C1e3x+C2e−3x接著令yp=Axe−3x+Bx2e−3x⇒y′p=Ae−3x+(2B−3A)xe−3x−3Bx2e−3x⇒y″p=(2B−6A)e−3x+(−12B+9A)xe−3x+9Bx2e−3x⇒y″p−9yp=9xe−3x⇒A=−14,B=−34⇒yp=−14xe−3x−34x2e−3x⇒y=yh+yp⇒y=C1e3x+C2e−3x−14xe−3x−34x2e−3x,C2與C2為常數解答:(一)det(A−λI)=0⇒(λ+3)(λ+1)=0⇒λ=−3,−1λ1=−3⇒(A−λ1I)v=0⇒[2200][x1x2]=0⇒x1+x2=0,取v1=[−11]λ2=−1⇒(A−λ2I)v=0⇒[020−2][x1x2]=0⇒x2=0,取v2=[10]因此特徵值為−3,−1,相對應的特徵向量為[−11],[10](二)由(一)可取P=[v1v2]=[−1110]⇒P−1=[0111]⇒A=P[−300−1]P−1⇒An=P[(−3)n00(−1)n]P−1⇒eAt=∞∑n=0tnAnn!=P[e−3t00e−t]P−1=[−e−3te−te−3t0][0111]=[e−te−t−e−3t0e−3t] (二){x′1=−x1+2x2x′2=−3x2⇒[x′1x′2]=[−120−3][x1x2]≡x′=Ax由(一)可知A的特徵值及其特徵向量,因此可得x=c1e−3t[−11]+c2e−t[10]⇒{x1=−c1e−3t+c2e−tx2=c1e−3t
解答:(一){P(X=0)=1/16P(X=1)=C41/16=4/16P(X=2)=C42/16=6/16P(X=3)=C43/16=4/16P(X=4)=C44/16=1/16⇒μX=E(X)=(0⋅1+1⋅4+2⋅6+3⋅4+4⋅1)/16=2(二)E(X2)=(02⋅1+12⋅4+22⋅6+32⋅4+42⋅1)/16=5⇒Var(X)=E(X2)−(E(X))2=5−22=1⇒σX=1
解答:(一)f(z)=zez(z−1)(z+1)⇒{Res(f,1)=1⋅e11+1=12eRes(f,−1)=(−1)e−1−1−1=12e⇒{Res(f,1)=e/2Res(f,−1)=1/2e(二)∮Cf(z)=2πi(Res(f,1)+Res(f,−1))=2πi(e2+12e)=πi(e+1e)
乙、測驗題部分:(50 分)
解答:φ(x,y,z)=0.5(x2+2xy+2y2+z2)⇒向量v=(φx,φy,φz)=0.5(2x+2y,2x+4y,2z)=(x+y,x+2y,z);再將P代入v=(−1,−1,1)⇒||v||=√3,故選(D)解答:A=[1−34−252−69−182−69−19−13−42−5]r1+r4→r4,−r2+r3→r3→A=[1−34−252−69−180000100000]−2r1+r2→r2→[1−34−250013−20000100000]−5r3+r1→r1,2r3+r2→r2→[1−34−20001300000100000]−4r2+r1→r1→[1−30−140001300000100000]⇒Rank(A)=3,故選(B)
解答:(A)◯:{|→u|=√1+1+4=√6|→v|=√4+1+1=√6⇒|→u|⋅|→v|=6(B)◯:→u⋅→v=2−1+2=3(C)×:外積有兩個{→u×→v=(3,3,−3)→v×→u=(−3,−3,3)(D)◯:cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=36=12⇒θ=π3,故選(C)
解答:T為線性⇒{T(u+4v)=T(u)+4T(v)=(1,1,0)t⋯(1)T(2u+3v)=2T(u)+3T(v)=(0,−1,3)t⋯(2)(2)×4−(1)×3⇒5T(u)=(−3,−7,12)t⇒T(u)=15[−3−712],故選(A)
解答:由P−1AP知特徵向量λ1=−1⇒(A−λ1I)v=0⇒[003030003][x1x2x3]=0⇒x2=x3=0⇒特徵向量v=[k00],k∈R,故選(D)
解答:A的特徵值為−3,4,−1⇒A2的特徵值為(−3)2=9,42=16,(−1)2=1⇒4不是A2的特徵值,故選(D)
解答:(A)◯:det(A−λI)=0⇒有相異特徵值λ=1±√2(B)×:det(B−λI)=0⇒只有一特徵值λ=1,只能構成一特徵向量(k,0)t⇒無法對角化(C)◯:det(C−λI)=0⇒有相異特徵值λ=1±√2(D)◯:det(D−λI)=0⇒有相異特徵值λ=(3±√5)/2,故選(B)
解答:dydx=a(x)b(y)⇒a(x)b(y)dx−dy=0⇒令{P(x,y)=a(x)b(y)Q(x,y)=−1⇒積分因子μ(y)=e∫(Qx−Py)Pdy=e−∫b′(y)/b(y)dy=e−lnb(y)=1b(y),故選(D)
解答:sinx=x−13!x3+15!x5−17!x7+⋯cosx=1−12x2+14!x4−16!x6+⋯y=a0+a1x+a2x2+⋯⇒y′=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+⋯⇒y″=2a2+6a3x+12a4x2+20a5x3+⋯由{y(0)=1y′(0)=0⇒{a0=1a1=0⇒y″+(cosx)y′+(sinx)y的{常數項=2a2+a1=1x的係數=6a3+2a2+a0=0⇒{a2=1/2a3=−1/3⇒c3=a3=−13,故選(A)
解答:f(t)=L−1{1s(s+1)2}=L−1{1s}−L−1{1s+1}−L−1{1(s+1)2}=1−e−t−te−t,故選(D)
解答:f(t)=2cos(3t)⇒{f(0)=2=Af(π/3)=−2=CB=D=0,故選(B)
解答:F(ω)=∫∞01ae−at⋅e−iωtdt+∫0−∞1aeat⋅e−iωtdt=∫∞01ae−(a+iω)tdt+∫0−∞1ae(a−iω)tdt=[−1a(a+iω)e−(a+iω)t]|∞0+[1a(a−iω)e(a−iω)t]|0−∞=1a(a+iω)+1a(a−iω)=a−iωa(a2+ω2)+a+iωa(a2+ω2)=2a2+ω2,故選(D)
解答:f(z)=(x3−3xy2)+i(3x2y−y3)≡u(x,y)+v(x,y)i⇒df(z)dz=ux+ivx=(3x2−3y2)+i(6xy),故選(B)
解答:f(z)=z+1z2−2z+5=z+1(z−(1+2i))(z−(1−2i))⇒1+2i在C內,1−2i在C外因此∮Cf(z)dz=2πi⋅Res(f,1+2i)=2πi⋅2+2i4i=π+πi⇒a=π,故選(B)
解答:f(z)=2(z−1)(z−3)=1z−3−1z−1其中{1z−3=−13⋅11−z/3=(−13)(1+z3+z29+⋯)1z−1=1z⋅11−1/z=1z+1z2+1z3+⋯因此{a=−1b=−1/3c=−1/9d=−1/27,故選(B)
解答:∫∞0f(x)dx=1⇒∫∞00.005ekxdx=1⇒k=−0.005又平均壽命=∫∞0xf(x)dx=∫∞00.005xe−0.005xdx=200,故選(C)
解答:X∼U[−1,3]⇒Var(X)=(3−(−1))212=1612=43=AVar(5X)=25Var(x)=25×43=1003=B,故選(B)
解答:(A)×:∫10∫20kx(1+2y)dxdy=1⇒∫10[12kx2(1+2y)]|20dy=∫102k(1+2y)dy=[2k(y+y2)]|10=4k=1⇒k=14≠12(B)×:g(x)=∫10kx(1+2y)dy=2kx=x2≠x4(C)×:h(y)=∫20kx(1+2y)dx=2k(1+2y)=12(1+2y)≠1+2y4(D)◯:f(y∣x)=f(x,y)g(x)=kx(1+2y)2kx=1+2y2,故選(D)
解答:(A)◯:u1=u⋅v|v|2⋅v=1521[4,−1,2]T=[207,−57,107]T(B)◯:u=u1+u2⇒[2,−1,3]T=[207,−57,107]T+u2⇒u2=[−67,27,117]T⇒||u2||=√1617(C)×:u2⊥v⇒u2×v≠0(D)◯:u1∥v⇒u1⊥u2⇒u1⋅u2=0,故選(C)
請問第四題為何是取虛部
回覆刪除i 漏掉了, 已修訂,謝謝!
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