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2023年6月14日 星期三

112年國安三等及鐵路三級-工程數學詳解

112年國家安全局國家安全情報人員考試及
112年特種考試交通事業鐵路人員考試

考試別:鐵路人員考試、國家安全情報人員考試
等 別:高員三級考試、三等考試
類科組別:電力工程、電子組(選試英文)
科 目:工程數學
考試時間:2 小時

甲、申論題部分:(50 分)

解答yh,yh9yh=0λ29=0λ=±3yh=C1e3x+C2e3xyp=Axe3x+Bx2e3xyp=Ae3x+(2B3A)xe3x3Bx2e3xyp=(2B6A)e3x+(12B+9A)xe3x+9Bx2e3xyp9yp=9xe3xA=14,B=34yp=14xe3x34x2e3xy=yh+ypy=C1e3x+C2e3x14xe3x34x2e3x,C2C2
解答()det(AλI)=0(λ+3)(λ+1)=0λ=3,1λ1=3(Aλ1I)v=0[2200][x1x2]=0x1+x2=0,v1=[11]λ2=1(Aλ2I)v=0[0202][x1x2]=0x2=0,v2=[10]3,1,[11],[10]()()P=[v1v2]=[1110]P1=[0111]A=P[3001]P1An=P[(3)n00(1)n]P1eAt=n=0tnAnn!=P[e3t00et]P1=[e3tete3t0][0111]=[etete3t0e3t] (){x1=x1+2x2x2=3x2[x1x2]=[1203][x1x2]x=Ax()x=c1e3t[11]+c2et[10]{x1=c1e3t+c2etx2=c1e3t

解答(){P(X=0)=1/16P(X=1)=C41/16=4/16P(X=2)=C42/16=6/16P(X=3)=C43/16=4/16P(X=4)=C44/16=1/16μX=E(X)=(01+14+26+34+41)/16=2()(X2)=(021+124+226+324+421)/16=5Var(X)=E(X2)(E(X))2=522=1σX=1

解答()f(z)=zez(z1)(z+1){Res(f,1)=1e11+1=12eRes(f,1)=(1)e111=12e{Res(f,1)=e/2Res(f,1)=1/2e()Cf(z)=2πi(Res(f,1)+Res(f,1))=2πi(e2+12e)=πi(e+1e)

乙、測驗題部分:(50 分) 

解答φ(x,y,z)=0.5(x2+2xy+2y2+z2)v=(φx,φy,φz)=0.5(2x+2y,2x+4y,2z)=(x+y,x+2y,z);v=(1,1,1)||v||=3(D)
解答A=[13425269182691913425]r1+r4r4,r2+r3r3A=[13425269180000100000]2r1+r2r2[13425001320000100000]5r3+r1r1,2r3+r2r2[13420001300000100000]4r2+r1r1[130140001300000100000]Rank(A)=3(B)


解答106=4(C)
解答(A):{|u|=1+1+4=6|v|=4+1+1=6|u||v|=6(B):uv=21+2=3(C)×:{u×v=(3,3,3)v×u=(3,3,3)(D):cosθ=uv|u||v|=36=12θ=π3(C)
解答T{T(u+4v)=T(u)+4T(v)=(1,1,0)t(1)T(2u+3v)=2T(u)+3T(v)=(0,1,3)t(2)(2)×4(1)×35T(u)=(3,7,12)tT(u)=15[3712](A)
解答P1APλ1=1(Aλ1I)v=0[003030003][x1x2x3]=0x2=x3=0v=[k00],kR(D)
解答A3,4,1A2(3)2=9,42=16,(1)2=14A2(D)
解答(A):det(AλI)=0λ=1±2(B)×:det(BλI)=0λ=1,(k,0)t(C):det(CλI)=0λ=1±2(D):det(DλI)=0λ=(3±5)/2(B)
解答dydx=a(x)b(y)a(x)b(y)dxdy=0{P(x,y)=a(x)b(y)Q(x,y)=1μ(y)=e(QxPy)Pdy=eb(y)/b(y)dy=elnb(y)=1b(y)(D)
解答sinx=x13!x3+15!x517!x7+cosx=112x2+14!x416!x6+y=a0+a1x+a2x2+y=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+y=2a2+6a3x+12a4x2+20a5x3+{y(0)=1y(0)=0{a0=1a1=0y+(cosx)y+(sinx)y{=2a2+a1=1x6a3+2a2+a0=0{a2=1/2a3=1/3c3=a3=13(A)
解答f(t)=L1{1s(s+1)2}=L1{1s}L1{1s+1}L1{1(s+1)2}=1ettet(D)
解答f(t)=2cos(3t){f(0)=2=Af(π/3)=2=CB=D=0(B)
解答F(ω)=01aeateiωtdt+01aeateiωtdt=01ae(a+iω)tdt+01ae(aiω)tdt=[1a(a+iω)e(a+iω)t]|0+[1a(aiω)e(aiω)t]|0=1a(a+iω)+1a(aiω)=aiωa(a2+ω2)+a+iωa(a2+ω2)=2a2+ω2(D)
解答f(z)=(x33xy2)+i(3x2yy3)u(x,y)+v(x,y)idf(z)dz=ux+ivx=(3x23y2)+i(6xy)(B)
解答f(z)=z+1z22z+5=z+1(z(1+2i))(z(12i))1+2iC,12iCCf(z)dz=2πiRes(f,1+2i)=2πi2+2i4i=π+πia=π(B)
解答f(z)=2(z1)(z3)=1z31z1{1z3=1311z/3=(13)(1+z3+z29+)1z1=1z111/z=1z+1z2+1z3+{a=1b=1/3c=1/9d=1/27(B)
解答0f(x)dx=100.005ekxdx=1k=0.005=0xf(x)dx=00.005xe0.005xdx=200(C)
解答XU[1,3]Var(X)=(3(1))212=1612=43=AVar(5X)=25Var(x)=25×43=1003=B(B)
解答(A)×:1020kx(1+2y)dxdy=110[12kx2(1+2y)]|20dy=102k(1+2y)dy=[2k(y+y2)]|10=4k=1k=1412(B)×:g(x)=10kx(1+2y)dy=2kx=x2x4(C)×:h(y)=20kx(1+2y)dx=2k(1+2y)=12(1+2y)1+2y4(D):f(yx)=f(x,y)g(x)=kx(1+2y)2kx=1+2y2(D)
解答(A):u1=uv|v|2v=1521[4,1,2]T=[207,57,107]T(B):u=u1+u2[2,1,3]T=[207,57,107]T+u2u2=[67,27,117]T||u2||=1617(C)×:u2vu2×v0(D):u1vu1u2u1u2=0(C)



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解題僅供參考,其他國考試題及詳解

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