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2023年6月2日 星期五

112年基隆女中教甄-數學詳解

國立基隆女中112學年度第1次教師 甄試

一、填充題:每題5分,小計60分

解答logn=12logn=logn14(logn)2=lognlogn(14logn1)=0{n=1logn=4n=104n=10000999999
解答φ=1+52x2x1=0ρ=152f(n)=φn+ρnf(1)=φ+ρ=1f(2)=φ2+ρ2=f(1)22φρ=3f(3)=4f(n)=f(n1)+f(n2)f(n)=1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,521,f(n)mod10=1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,=122023=12×168+7f(2023)=φ2023+ρ202310=91<ρ2023<0φ2023109
解答


()ABCABCD¯AB=4r=4¯AG=433ABC¯AD2=¯AG2+¯DG2¯DG=463,463+2
解答log2(log8x)+log8(log4x)+log4(log2x)=23log2(13log2x)+13log2(12log2x)+12log2(log2x)=23log23+log2(log2x)13+13log2(log2x)+12log2(log2x)=23116log2(log2x)=23+log23+13log2(log4x)+log4(log8x)+log8(log2x)=log2(12log2x)+12log2(13log2x)+13log2(log2x)=112log23+116log2(log2x)=112log23+23+log23+13=12log23=log43
解答{010C92=3619C92=3628C92=3637C92=3646C92=36{(0,10),(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)}2C52=10C11236×5+10C112=330180+10330=160330=1633
解答T[abcd]{T(A)=AT(B)=B{a=1,c=3b=3,d=1T[1331]L:y=2x=(tanθ)xM[cos2θsin2θsin2θcos2θ]=[3/54/54/53/5]P(5,5)PLQ=MP=(1,7);T(Q)=Q(173,3+7)P=T(P)=(553,53+5),L:y=mxM=[cos2αsin2αsin2αcos2α]:Q=M(P)[cos2αsin2αsin2αcos2α][55353+5]=[1733+7]{cos2α=(343)/10sin2α=(433)/10tan2α=433343=48+25339m=tanα=85311
解答A[01/31/31/31/301/31/31/31/301/31/31/31/30]A3=[29727727727727297277277277272972772772772729]A3[1000]=[2/97/277/277/27]=727
解答


ABQ:cosB=82+3272238=12B=60¯BP=¯BQ=3PQB¯PQ=3OPR:cosOPR=cos120=12+¯PR2422¯PR12=¯PR2152¯PR¯PR2+¯PR15=0¯PR=1+612
解答ddxx20f(t)dt=f(x2)2x=x3+xf(x2)=12(x2+1)f(x)=12(x+1)21f(x)dx=2112(x+1)dx=[14(x+1)2]|21=54
解答2¯PQ+3¯PB=¯PC¯PC>¯PA¯PC>¯PB(4)
解答{P1=L1L2P1(2s+2,4s2,3s1)P2=L1L3P2(4t+4,2t1,3t+2),s,tRP1,P2OL1OP2OP1=k{4t+4=(2s+2)k2t1=(4s2)k3t+2=(3s1)k{s=3t=2k=1/2P1(8,10,8)a:b:c=8:10:8=4:5:4
解答lim

二、計算題:每題10分,計20分

解答泰勒展開式:e^x=1+x+{1\over 2}x^2+\cdots \Rightarrow e^x \gt  1+x,\;\forall x \gt 0\\ x={\pi\over e}-1 代入不等式\Rightarrow e^{\pi/e-1} \gt {\pi\over e} \Rightarrow {e^{\pi/e}\over e} \gt {\pi\over e} \Rightarrow e^{\pi/e}\gt \pi \\ \Rightarrow (e^{\pi/e})^e \gt \pi^e \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{e^\pi \gt \pi^e}
解答題目有\bbox[blue, 2pt]{疑義}

三、證明題:每題10分,計20分

解答\mathbf{(1)}\;\lim_{x\to a}f(x) =\lim_{x\to a}\left( {f(x)-f(a)\over x-a}\cdot (x-a)+ f(a)\right) \\=\lim_{x\to a}{f(x)-f(a)\over x-a} \cdot \lim_{x\to a}(x-a)+\lim_{x\to a} f(a) =f'(a)\cdot 0+f(a)=f(a)\\ \Rightarrow \lim_{x\to a}f(x) =f(a),\bbox[red,2pt]{故得證} \\\mathbf{(2)}\; 令g(x)=|x-1|,則\lim_{x\to 1^+}g(x) =\lim_{x\to 1^-}g(x)=0 \Rightarrow g(x)在x=1處連續\\ 但\lim_{x\to 1}{g(x)-g(1)\over x-1}=\lim_{x\to 1}{|x-1|\over x-1},而\cases{\lim_{x\to 1^+}g(x)=1\\ \lim_{x\to 1^-}g(x)=-1} \Rightarrow \lim_{x\to 1}g'(x)不存在
解答
題目\bbox[blue,2pt]{有誤}!!若A=-P,則\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OP}=0滿足(\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OP})\cdot (\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OP}) =0 ,\\也就是B可以是雙曲線上任一點,\overline{PA} 不一定垂直\overline{PB}, \overline{AB}的最小值=0

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解題僅供參考,其他教甄試題及詳解

3 則留言:

  1. 第一題題目沒說明清楚,若是問取高斯符號,那答案就是10^6-1了

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  2. 請教老師關於第二大題計算題第二題的疑義在何處呢?謝謝老師

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