112年海大附中特招－數學詳解

基北區國立臺灣海洋大學附屬基隆海事高級中等學校
112 學年度高級中等學校特色招生考試分發入學

解答：$$甲乙相距29-(-11)=40，五倍速跑完全程，一倍速走了40 \div 5=8，四倍速走了32\\ \Rightarrow 甲走了8，位置在-11+8=-3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$a的質因數:2, 3,5,7,11,13,17,19，共８個，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$3.5\times 10^{-7} \lt 8.5\times 10^{-7} \lt 3.5\times 10^{-6} \lt 8.5\times 10^{-6} ，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$假設書有a頁，第一天大雄看了 {a\over 8}頁，第二天看了{a\over 8} \times {6\over 5}= {3a\over 20}頁；\\ 兩天差9頁\Rightarrow {3a\over 20}-{a\over 8}=9 \Rightarrow a=360 \Rightarrow 兩天共看了{3a\over 20}+{a\over 8} ={11a\over 40}=99\\ \Rightarrow 還有360-99=261頁沒看，故選\bbox[red, 2pt]{(Ｃ)}$$

解答：$$題目有\bbox[cyan, 2pt]{疑義}：九天進球數，但只有８筆資料$$

解答：$$6x^2+4x=2x^2\times 3+4x \Rightarrow \cases{商式=3\\ 餘式=4x} \Rightarrow 商式加餘式=4x+3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$面積=20 \Rightarrow 邊長=\sqrt{20}=2\sqrt 5 \Rightarrow 周長=x=4\times 2\sqrt 5=8\sqrt 5\Rightarrow x^2=320\\ \Rightarrow 17^2=289 \lt x^2\lt 324=18^2 \Rightarrow 17\lt x\lt 18，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$b=a+2 \Rightarrow ab+1=a(a+2)+1 = a^2+2a+1=(a+1)^2 =\cases{39^2 \Rightarrow a=38不是質數\\ 40^2 \Rightarrow a=39 不是質數\\ 41^2 \Rightarrow a=40不是質數\\ 42^2 \Rightarrow a=41 \Rightarrow b=43}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$假設丁的一股長為a \Rightarrow \cases{甲+乙=2a+2a=4a\\ 丙+丁＝a^2/2+2} \Rightarrow {a^2\over 2}+2=4a \\ \Rightarrow a^2-8a+4=0 \Rightarrow a=4-2\sqrt 3(a=4+2\sqrt 3\gt 2違背丙\gt 丁)，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：

$$從14\%到20\%所花的時間以法國最長(上圖藍色區間為法國，棕色區間為義大利)，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$4\le \sqrt n\lt 6 \Rightarrow 16\le n\lt 36 \Rightarrow n=16,17,\dots,35 ，共有35-16+1=20個正整數n，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$k是x^2+x-3=0的一根\Rightarrow k^2+k-3=0 \Rightarrow k^2+k=3\\ \Rightarrow (k-1)(k+2)(k-3)(k+4) =(k^2+k-2) (k^2+k-12) =(3-2)(3-12)=-9，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$\begin{array}{cc|c} 身高& 累積& 組人數\\\hline 140-150& 50 &50\\\hline 150-160 & 150 & 150-50=100\\ \hline 160-170& 320 & 320-150=170\\\hline 170-180& 400 & 400-320=80\\\hline \end{array} \Rightarrow 160-170人數最多，故選\bbox[red, 2pt]{(Ｃ)}$$

解答：$$假設\cases{垂直的公差為s \\水平的公差為t } \Rightarrow 23=-7+5s \Rightarrow s=6 \Rightarrow a=-7+2s=5 = 13+2t \Rightarrow t=-4\\ \Rightarrow b=13+5t=-7 \Rightarrow a+b=5+(-7)=-2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$a,a+b,a-b成等比\Rightarrow (a+b)^2=a(a-b) \Rightarrow 3ab+b^2=0 \Rightarrow b=-3a (b\ne 0)\\ \Rightarrow 公比={a+b\over a}={-2a\over a}=-2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$(A)\times:\cases{x=0\\ y=-1} \Rightarrow b=-1,又\cases{x=2\\y=0} \Rightarrow 0=2a-1 \Rightarrow a={1\over 2}不是整數\\ (B)\times: y={1\over 2}x-1 \Rightarrow c={1\over 2}\cdot 1-1=-{1\over 2} \Rightarrow (b,c)=(-1,-{1\over 2})在第三象限 \\(C) \bigcirc: d={1\over 2}\cdot 4-1=1 \Rightarrow c+d=-{1\over 2}+1={1\over 2} \\(D) \times: d=1\ne -{1\over 2}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：

$$假設\angle A=2\theta , 直線與\overline{AD}交於Ｑ，如上圖\\ \triangle DPQ中，\angle ADC=90^\circ-18^\circ=72^\circ \Rightarrow \angle ACB=180^\circ-72^\circ-\theta=108^\circ-\theta\\ \triangle ABD中，72^\circ=\theta+ \angle ABC \Rightarrow \angle ABC=72^\circ-\theta\\ 因此\angle ACB-\angle ABC=(108^\circ-\theta)-(72^\circ-\theta)=36^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$(A)\bigcirc: \overline{AG}\parallel \overline{CD} \Rightarrow \angle C=\angle GBF (內錯角相等)\\ (B)\bigcirc: \cases{\angle BGF=\angle GHC=\angle D=85^\circ\\ \angle GBF=180^\circ-\angle 1=45^\circ} \Rightarrow \angle 2=180^\circ-85^\circ-45^\circ=50^\circ \\\qquad \Rightarrow \angle BFH=180^\circ -\angle 2=130^\circ \\(C)\times: 由(2)知:\angle 2=50^\circ \\ (D)\bigcirc: \triangle BGF \cong \triangle CHF (SAS) \Rightarrow ABCD面積=AGHD面積\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：

$$假設P在\overline{BC}上且為切點，如上圖； 若圓柱半徑為r,則\overline{BP}=r \Rightarrow \overline{PC}=10-r;\\ 又\overline{OP}\parallel \overline{AB} \Rightarrow {\overline{PC} \over \overline{BC}} ={\overline{OP}\over \overline{AB}} \Rightarrow {10-r\over 10} ={r\over 8} \Rightarrow 18r=80 \Rightarrow r={40\over 9}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{B(-5,0)\\ C(6,0)} \Rightarrow B,C的中點D({1\over 2},0),又\overline{BC}的中垂線L:x={1\over 2}通過第一、四象限\\ 若\angle BAC=90^\circ,則D就是外心;現在\angle BAC \gt 90^\circ \Rightarrow 外心往下移，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：

$$\triangle ABC為等腰三角形 \Rightarrow \overline{AD}為\overline{BC}的中垂線 \Rightarrow \overline{BD}=\overline{CD}=14\div 2=7\\ \Rightarrow \overline{AD}=\sqrt{\overline{AC}^2-\overline{CD}^2}=\sqrt{25^2-7^2}=24\\ G為重心\Rightarrow \overline{GD}={1\over 3}\overline{AD} =8\\ 假設\triangle ABC內切圓半徑=r =\overline{ID} \Rightarrow \triangle ABC面積={1\over 2}r(\overline{AB} +\overline{BC}+ \overline{CA})=32r\\ 同時\triangle ABC面積={1\over 2}\overline{BC}\times \overline{AD}=168=32 r \Rightarrow r={21\over 4} \Rightarrow \overline{GI}=\overline{GD}-r=8-{21\over 4}={11\over 4}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$假設\cases{紅茶一罐a元 \\綠茶一罐b元 \\高山茶一罐c元 } \Rightarrow \cases{a+b+c= 10000\\ 4c=5b\\ 7b=8a} \Rightarrow \cases{b=4c/5\\ a=7b/8=7c/10} \\ \Rightarrow {7\over 10}c+{4\over 5}c+ c= 10000 \Rightarrow {5\over 2}c=10000 \Rightarrow c=4000，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{甲箱抽中紅球且乙箱也抽中紅球機率={1\over 5} \times{1\over 3}= {1\over 15} \\甲箱抽中白球且乙箱也抽中白球機率={1\over 5} \times{1\over 3}= {1\over 15} }\\ \Rightarrow 兩球顏色相同機率={1\over 15}+{1\over 15} ={2\over 15} \Rightarrow 相異機率=1-{2\over 15} ={13\over 15}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：

$$y=(x+3)^2 \Rightarrow \cases{A(-3,0)\\ B(0,9)} \\ A,D皆在x軸上\Rightarrow B,C同在水平線y=9上\Rightarrow C(-6,9) \Rightarrow \overline{BC}=6 \Rightarrow \overline{AD}=6 \Rightarrow D(-9,0)\\ \Rightarrow ABCD面積=6\times 9=54，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$正六邊形邊長為２，面積為六個正三角形={1\over 2}\cdot 2\cdot \sqrt 3\cdot 6=6\sqrt 3，\\六角柱體積＝6\sqrt 3\times 4\sqrt 3=72，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
 

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