112年公務人員普通考試試題
類 科:天文、氣象
科 目:微積分
解答:f(x)=2x3−3x2−12x+2⇒f′(x)=6x2−6x−12⇒f″(x)=12x−6若f′(x)=0⇒6(x−2)(x+1)=0⇒x=2,−1⇒{f″(2)=18>0f″(−1)=−18<0⇒{f(2)=−18f(−1)=9邊界點{f(−3)=−43f(3)=−7⇒{最大值=9最小值=−43
解答:(一)limn→∞|an+1an|=limn→∞|n+1 n |=1⇒收斂半徑=1又|x−2|<1⇒1<x<3考慮邊界點:{x=3⇒∑∞n=1n(x−2)n=∑∞n=1n發散x=1⇒∑∞n=1n(x−2)n=−1+2−3+4−⋯發散⇒收斂區間=(1,3)(二)f(x)=√1+x=(x+1)1/2⇒f′(x)=12(x+1)−1/2⇒f″(x)=−14(x+1)−3/2⇒f‴(x)=38(x+1)−5/2⇒f[4]=−1516(x+1)−7/2⇒{f(0)=1f′(0)=1/2f″(0)=−1/4f‴(0)=3/8f[4](0)=−15/16⇒f(x)=∞∑n=0f[n](0)n!xn=1+12x−18x2+116x3−5128x4+O(x5)

解答:(一)f(x,y)=xexy⇒{fx=exy+xyexyfy=x2exy⇒{fxx=2yexy+xy2exyfxy=2xexy+x2yexyfyy=x3exy一階偏導數:{fx=exy+xyexyfy=x2exy,二階偏導數:{fxx=2yexy+xy2exyfxy=2xexy+x2yexyfyy=x3exy(二)f(x,y)=x2−y2+xy−x+y⇒∇f=(fx,fy)=(2x+y−1,−2y+x+1)⇒∇f(1,2)=(3,−2)⇒方向導數D→uf(1,2)=∇f(1,2)⋅→u|→u|=(3,−2)⋅(35,45)=15
解答:(一)令{u=xdv=e2xdx⇒{du=dxv=12e2x⇒∫xe2xdx=12xe2x−12∫e2xdx=12xe2x−14e2x+C⇒∫20xe2xdx=[12xe2x−14e2x]|20=14(3e4+1)(二){x=rcosθy=rsinθ⇒∫10∫1−x20√x2+y2dydx=∫π/20∫10r2drdθ=∫π/2013dθ=π6
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