112年高雄聯合轉學考-升高三-數學詳解

高雄區公立高級中等學校 112 學年度聯合招考轉學生

《高 2 升高 3》《數學》科試卷

一、 單一選擇題（ 60 分）

解答：$$\left( \log_5 \sqrt{35}\right)\left( \log_7 \sqrt{35}\right)-\left({1\over 4}\log_5 7+{1\over 12} \log_7 125 \right) \\={{1\over 2}(\log 5+\log 7) \over \log 5} \times {{1\over 2}(\log 5+ \log 7) \over \log 7}-\left({1\over 4}\log_5 7+{3\over 12} \log_7 5 \right) \\= \left({1\over 2}+{1\over 2}{\log  7\over \log 5}\right) \left({1\over 2}{\log 5\over \log 7}+{1\over 2} \right)-\left({1\over 4}\log_5 7+{1\over 4} \log_7 5 \right) \\= {1\over 4}{\log 5\over \log 7} +{1\over 4}+{1\over 4}+{1\over 4}{\log 7\over \log 5}-{1\over 4}{\log  7\over \log 5}-{1\over 4}  {\log 5\over \log 7}={1\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

2. 設坐標平面上三點 A(2,1) ， B(6, 4) ， C k (9, )， O 為原點。若向量\(\overrightarrow{OA}\)與向量 \(\overrightarrow{OB}\) 在向量 \(\overrightarrow{OC}\) 上的正射影相同，則實數k 的值為下列何者？

(A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 21

解答：$$\cases{\overrightarrow{OA} =(2,1) \\\overrightarrow{OB} =(6,4) \\\overrightarrow{OC} =(9,k) } \Rightarrow  \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} =\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} \Rightarrow 18+9k=54+4k \Rightarrow k=-12，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

3. 設\(\triangle ABC\)為邊長為\(6\sqrt 3\) 的正三角形， P 為\(\triangle ABC\)內部一點， P 到\(\triangle ABC\)三邊的距離分別為\( x, y, z\) ，則 \(\sqrt{3x}+ \sqrt{2y} + \sqrt z\) 的最大值為何？

(A) \(3 \sqrt 3\) (B)\( 3\sqrt 2 \)(C) 6 (D) \(3 \sqrt 6\) (E) \(4\sqrt 2\)

解答：$$\triangle ABC面積= {\sqrt 3\over 4}\cdot (6\sqrt 3)^2 ={1\over 2}\cdot 6\sqrt 3(x+y+z) \Rightarrow x+y+z= 9\\ 柯西不等式: \left((\sqrt x)^2 +(\sqrt y)^2 +(\sqrt z)^2\right) \left( (\sqrt 3)^2 +(\sqrt 2)^2 +1^2\right) \ge \left( \sqrt{3x} +\sqrt{2y}+\sqrt z\right)^2 \\ \Rightarrow (x+y+z)(3+2+1) =9\cdot 6 \ge \left( \sqrt{3x} +\sqrt{2y}+\sqrt z\right)^2 \\ \Rightarrow \sqrt{3x} +\sqrt{2y}+\sqrt z\le \sqrt {54} =3\sqrt 6 \Rightarrow 最大值為 3\sqrt 6，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$假設\angle B=90^\circ，則B為垂心，\overline{AC}的中點O為外心，符合 \overrightarrow{BA} +\overrightarrow{BB} +\overrightarrow{BC} =2\overrightarrow{BO}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{A(a,b,c)\\ B(b,c,a)\\ C(c,a,b)} \Rightarrow 過A,B,C的平面E:x+y+z=a+b+c \Rightarrow d(O,E)={a+b+c\over \sqrt 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答：$$柯西不等式: \left((x-1)^2 +(y+7)^2 +(z-2)^2\right)\left( 4^2+(-1)^2+ 8^2\right)\ge \left( 4(x-1)-(y+7)+ 8(z-2)\right)^2 \\ \Rightarrow \left((x-1)^2 +(y+7)^2 +(z-2)^2\right)\cdot 81\ge \left( 4x-y+8z-27\right)^2 \\ \Rightarrow (x-1)^2 +(y+7)^2 +(z-2)^2\ge {(-27-27)^2 \over 81} =36 \\ \Rightarrow \sqrt{(x-1)^2 +(y+7)^2 +(z-2)^2} \ge \sqrt{36}=6，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{\sin A=5/13 \Rightarrow \cos A= 12/13\\ \tan C=-4/3 \Rightarrow \cases{\sin C=4/5\\ \cos C=-3/5}} \Rightarrow \cos B=\cos (\pi-(A+C)) =-\cos(A+C) \\= -\cos A\cos C+\sin A + \sin C =-{12\over 13}\cdot -{3\over 5}+{5\over 13}\cdot {4\over 5} ={36+20\over 65} ={56\over 65}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

8. 根據牛頓冷卻定律，物體的溫度變化，可以用數學公式 \(f(t)= E+(f(0)-E)\times 10^{-kt}(^\circ C)\) 描述，其中\(f(t)\)是物體在t 分鐘時的溫度； \(f (0)\)是物體起始\((t=0)\)的溫度， E 是環境溫度(單位： \(^\circ C\) )， k 是一常數。已知小萱的房間溫度維持在\(22^\circ C\)且\(k=  0.085\)，若小萱煮好一碗泡麵時，其溫度為\(82^\circ C\) ，但這溫度太燙無法入口， 根據牛頓冷卻定律，小萱需將泡麵自然靜置幾分鐘後才能達到容易入口的\(42^\circ C\) 呢？ (四捨五入至整數位)(\(\log 3\approx 0.4771\) )

(A) 5 分鐘 (B) 6 分鐘 (C) 7 分鐘 (D) 8 分鐘 (E) 9 分鐘

解答：$$42=22+(82-22)\times 10^{-0.085t} \Rightarrow 10^{-0.085t} ={1\over 3} \Rightarrow -0.085t =-\log 3=-0.4771\\ \Rightarrow t={0.4771\over 0.085} \approx 5.6，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$兩圖形\cases{y=2^x\\ y=5-x} 相交於A(\alpha,2^\alpha=5-\alpha) ;\\兩圖形\cases{y=\log_2 x\\ y=5-x} 相交於B(\beta,\log_2 \beta=5-\beta)\\ 又2^x與\log_2 x互為反函數，因此A(\alpha,5-\alpha)與B(\beta,5-\beta)對稱於直線y=x \\ \Rightarrow (A+B)/2 在y=x上 \Rightarrow {\alpha+\beta\over 2}={10-(\alpha+\beta)\over 2} \Rightarrow \alpha+\beta=5\\ 因此2^\alpha+ \log_2 \beta =5-\alpha+5-\beta=10-(\alpha+\beta)=5，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

10. 某食品工廠有 A， B， C 三條生產線，其產量分別佔總產量的30%、 45%、 25%，且 A， B， C 這三條生產線的產品分別有3%、 3%、 x%的瑕疵品。今品管人員從生產的產品中任選一個，且此產品為瑕疵品的條件下，發現此產品來自 C 生產線的機率為 \({7\over 16}\)，實數 x 為下列哪一個選項？

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 7

解答：$${C生產的瑕疵品\over 所有的瑕疵品} ={ 0.25\times a\over 0.3\times 0.03+ 0.45\times 0.03 + 0.25\times a} ={0.25a \over 0.0225+0.25a}={7\over 16} \\ \Rightarrow 0.1575+1.75a=4a \Rightarrow a=0.007=7\% \Rightarrow x=7，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答：$$f(x)=\sin^2x-2\sin x\cos x+3\cos^2 x=1-\sin(2x)+2\cos^2 x =1-\sin(2x)+ \cos(2x)+1 \\=2+\cos(2x)-\sin(2x)\\ 由於0\le x\le {\pi\over 2} \Rightarrow \sin (2x) \ge 0 \Rightarrow f(x)的最大值在\sin(2x)=0，即f(0)=3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$依題意\begin{Vmatrix}a_1 & a_2& a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{Vmatrix} =5，欲求\begin{Vmatrix}3a_1+b_1 & 3a_2+b_2& 3a_3+b_3\\ b_1-3c_1 & b_2-3c_2 & b_3-3c_3\\2 c_1 &2 c_2 &2 c_3 \end{Vmatrix}\\ 由於\cases{3\vec a+\vec b \Rightarrow 行列式\times 3\\ \vec b-3\vec　c為列運算，不改變行列式\\ 2\vec c \Rightarrow 行列式\times 2 }\Rightarrow 因此欲求之行列式=5\times 3\times 2=30，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{x-2y+3z=5-a\cdots(1)\\ 2x-3y+5z=9+a \cdots(2)\\ 3x-y+4z=-2-4a \cdots(3)} \stackrel{\triangle}{=} \begin{bmatrix}1 & -2 & 3\\2 & -3& 5\\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5-a \\ 9+a \\－2-4a \end{bmatrix}\\ 而\begin{vmatrix}1 & -2 & 3\\2 & -3& 5\\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0且有解，因此有無限多解\\ 由(1)及(2)可得y=-1+3a+z代入(1)及(3) \Rightarrow \cases{x+z=3+5a\\ 3x+3z=-3-a} \Rightarrow {3+5a\over -3-a}={1\over 3}\\ \Rightarrow 16a=-12 \Rightarrow a=-{3\over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$此題相當於求兩圖形\cases{y=f(x)=\cos x\\ y=g(x)=x/7} 的交點數\\ \cases{y={1\over 7}x的斜率為{1\over 7}\\ \cos x=1 \Rightarrow x=0,2\pi, 4\pi}\Rightarrow \cases{f(2\pi)=f(4\pi)=1\\ g(4\pi) \approx 1.8\gt 1\\ g(2\pi) \approx 0.9 \lt 1} \Rightarrow 在0\lt x處，兩圖形有3個交點\\ 又\cases{f(-\pi)=f(-3\pi)= -1\\ g(-\pi)\approx -0.4 \gt -1\\ g(-3\pi)\lt -1} \Rightarrow 在x\lt 0處，兩圖形有2個交點\\ 因此共有5個交點，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

15. 袋中有大小相同的 5 個白球， 4 個紅球， 3 個黑球， 今自袋中取出一球， 取出後不放回， 共取三次球， 則在第一次取到白球條件下， 三次取到的球都異色的機率為何?$$(A){9\over 55} \quad (B){2\over 11} \quad (C){1\over 5} \quad (D){13\over 55}\quad (E){12\over 55}$$

解答：$$\cases{白紅黑:{4\over 11}\times {3\over 10}={12\over 110}\\ 白黑紅:{3\over 11} \times {4\over 10} ={12\over 110}} \Rightarrow {12+12\over 110}={12\over 55}，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

二、 多重選擇題（ 40 分）

解答：$$(A)\times: f(x)=4\cos(x-{\pi/6})-4\sin x=4({\sqrt 3\over 2}\cos x+{1\over 2}\sin x)-4\sin x \\ \qquad = 2\sqrt 3\cos x-2\sin x=4 \sin({\pi\over 3}-x) \Rightarrow 振幅=4\\(B)\bigcirc: f(x) = 4\sin({\pi\over 3}-x) \Rightarrow 週期=2\pi \\ (C)\bigcirc: f(x) = 4\sin({\pi\over 3}-x) 最大值=4\\ (D)\times: 向右平移{\pi\over 3} \\(E)\times:{\pi\over 3}-x={\pi\over 2} \Rightarrow x= -{\pi\over 6} \Rightarrow 對稱於x=-{\pi\over 6}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BC)}$$

解答：$$(A)\bigcirc: k=3 \Rightarrow \cases{2x+2y=-1\\ 6x+6y=7} \Rightarrow {2\over 6}={2\over 6}\ne {-1\over 7} 無解\\(B) \bigcirc: k=4 \Rightarrow \cases{3x+2y=-1\\ 8x+7y=9}　\Rightarrow {3\over 8}\ne {2\over 7} 恰有一組解\\ (C)\times: k=-1 \Rightarrow -2x+2y=-1 \Rightarrow x-y=1/2 \ne -1\\ (D) \times: k=2 \Rightarrow \cases{x+2y=-1\\ 4x+5y=5} \Rightarrow {1\over 4}\ne {2\over 5} 恰有一組解\\ (E)\times: k=5 \Rightarrow \cases{4x+2y=-1 \\ 10x+8y=11} \Rightarrow \cases{x=-15/6\\ y=9/2 \gt 0}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AB)}$$

解答：$$(A)\times: 取L=E\cap F，則L滿足題意修件，但E,F不一定平行\\(B) \times: 若L_1在E上，E不一定平行L_2 \\(C) \bigcirc: 取\triangle ABC重心G，過G且與平面\triangle ABC垂直之直線上的點P，均符合\overline{PA}= \overline{PB}= \overline{PC}\\ (D)\bigcirc: 取\cases{A(0,0,0)\\ B(0,1,1)\\ C(1,1,0)\\ D(1,0,1)} \Rightarrow M=(1,1/2,1/2)\Rightarrow \cases{\overrightarrow{CD}=(0,-1,1)\\ 平面ABM:y-z=0} \\\qquad \Rightarrow \overrightarrow{CD}與平面法向量平行\Rightarrow \overleftrightarrow{CD}與平面ABM垂直\\ (E)\times: 若L_2=L_3符合要求，但兩者共平面\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CD)}$$

解答：$$假設\overrightarrow{AD} =\alpha \overrightarrow{AB} +\beta \overrightarrow{AC} \Rightarrow \alpha+\beta=1\\ 因此取{15\over 8}  \overrightarrow{AP} ={3\over 8} \overrightarrow{AB}+ {5\over 8}\overrightarrow{AC}滿足{3\over 8}+{5\over 8}=1 \Rightarrow {15\over 8}  \overrightarrow{AP} =  \overrightarrow{AD}={3\over 8} \overrightarrow{AB}+ {5\over 8}\overrightarrow{AC}\\ (A)\times:  \overrightarrow{AD}={3\over 8} \overrightarrow{AB}+ {5\over 8}\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overline{BD}: \overline{DC}= 5:3 \\(B)\bigcirc: {15\over 8}  \overrightarrow{AP} =  \overrightarrow{AD}  \Rightarrow \overline{AP}: \overline{AD}= 8:15 \\(C)\times: \overrightarrow{AD}={3\over 8} \overrightarrow{AB}+ {5\over  8}\overrightarrow{AC} \\(D) \bigcirc:  {\triangle ACP \over \triangle ACD} ={\overline{AP} \over \overline{AD}}={8\over 15} \Rightarrow \triangle ACP={8\over 15}\triangle ACD\\ \qquad 又{\triangle ACD \over \triangle ABC}={\overline{CD} \over \overline{BC}} ={3 \over 8} \Rightarrow \triangle ACD= {3\over 8}\triangle ABC \Rightarrow \triangle ACP={3\over 8}\cdot {8\over 15} \triangle ABC\\ \qquad \Rightarrow \triangle ACP ={1\over 5}\triangle ABC \\(E) \bigcirc: \overrightarrow{BE} ={3\over 5}\overrightarrow{BA} \Rightarrow {\overline{AE} \over \overline{AB}}={2\over 5} \Rightarrow \triangle AEP={2\over 5}\triangle APB ={2\over 5}\cdot {8\over 15} \triangle ABD\\ \qquad ={2\over 5}\cdot {8\over 15}\cdot {5\over 8} \triangle ABC={2\over 15} \triangle ABC，故選\bbox[red, 2pt]{(BDE)}$$

解答：$$L_1:\cases{x+3y+z=7 \\ 2x+y-3z=4} \Rightarrow L_1的方向向量\vec u= (1,3,1)\times (2,1,-3) = (-10,5,-5)\\ L_1\parallel L_2 \Rightarrow {a\over -10}={2\over 5}={b\over -5} \Rightarrow \cases{a=-4\\ b=-2}\\ 又(3,-3,4)在L_2上 \Rightarrow {3-1\over -4}={-3-y_0\over 2}={4-3\over -2} \Rightarrow y_0=-2\\ (A)\times: a=-4\ne 4\\ (B)\bigcirc: y_0=2\\ (C) \bigcirc: b=-2\\ (D)\times: \cases{L_1\ne L_2\\ L_1\parallel L_2} \Rightarrow 包含L_1及L_2的平面只有一個\\ (E) \bigcirc: \cases{A(1,2,0)在L_1 \\ B(1,-2,3)在L_2上} \Rightarrow \vec v=\overrightarrow{AB} =(0,-4,3)在\vec u的正射影長={35\over \sqrt{150}} ={7\over \sqrt 6}\\ \qquad \Rightarrow L_1,L_2距離=\sqrt{|\vec v|^2-(7/\sqrt 6)^2} = \sqrt{101\over 6}\gt 4\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BCE)}$$

解答：$$x^2-a=0\Rightarrow x=\pm \sqrt a \Rightarrow 兩根平方和=\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1=2a \Rightarrow a=1/2\\ \Rightarrow \cases{\sin \theta +\cos \theta=0\\ \sin\theta\cos \theta=-a =-1/2} \Rightarrow \cases{(\sin \theta,\cos\theta)=(\sqrt 2/2,-\sqrt 2/2) \Rightarrow \theta=3\pi/4 \\ (\sin \theta,\cos \theta)= (-\sqrt 2/2, \sqrt 2/2) \Rightarrow \theta=7\pi/4(不合)}\\ 由於{\pi\over 2}\le \theta\le {3\pi \over 2} 且\sin \theta+\cos\theta=0 \Rightarrow \theta={3\over 4}\pi \Rightarrow \cases{\cos\theta= -\sqrt 2/2\\ \sin \theta= \sqrt 2/2}\\(A) \times: \tan\theta =-1 \ne 1 \\(B) \bigcirc: \sin(\theta+{\pi\over 4})= \sin \pi =0 \\ (C)\bigcirc: \cos \theta=-\sqrt 2/2 \\(D)\bigcirc: a=1/2\\ (E)\bigcirc: \theta=3\pi/4\\ ，故選\bbox[red, 2pt]{BCDE}，但公布的答案是\bbox[cyan,2pt]{CD}$$

解答：$$\begin{bmatrix}3 & 4 \\1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a  \\ma \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} b \\mb \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{(3+4m)a = b\\ (1+3m)a=mb} \Rightarrow (1+3m)a= ma(3+4m) \\ \Rightarrow a=4m^2a \Rightarrow (4m^2-1)a=0 \Rightarrow m=\pm{1\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(BC)}$$

解答：$$(A)\times: A^5=A^3 \Rightarrow A^3(A^2-I)=0 \Rightarrow A=0,I 或A=A^{-1} \\(B)\times: 若A=0 \Rightarrow AB=BA=0，但A^{-1}不存在 \\(C)\times: A+B+C可能為0，不一定存在 \\(D)\bigcirc: A,B,C為轉移矩陣\Rightarrow A^3,B^2仍為轉移矩陣 \Rightarrow {1\over 4}(A^3+B^2)+{1\over 2}C也是\\ (E)\bigcirc:理由同上\\ ，故選\bbox[red, 2pt]{(DE)}$$

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