臺灣綜合大學系統112學年度學士班轉學生聯合招生
科目名稱:微積分A
解答:limx→44−x2−√x=limx→4ddx(4−x)ddx(2−√x)=limx→4−1−12√x=limx→42√x=4解答:令{P(t,√t)∈y=√xQ(1,0)⇒¯PQ=√(t−1)2+t=√t2−t+1令f(t)=t2−t+1⇒f′(t)=2t−1=0⇒f(t=12)為最小值⇒P(12,√22)
解答:f(x)=∫ex2√1+t2dt⇒f′(x)=ex√1+e2x又f(x)=0⇒ex=2⇒x=ln2⇒f′(ln2)=2√1+4=2√5⇒(f−1)′(0)=1f′(ln2)=12√5=√510
解答:r=sin3(θ/3)⇒drdθ=3sin2(θ/3)cos(θ/3)⋅13=sin2θ3cosθ3因此曲線長=∫π0√r2+(drdθ)2dθ=∫π0√sin6θ3+sin4θ3cos2θ3dθ=∫π0√sin4θ3dθ=∫π0sin2θ3dθ=12∫π01−cos2θ3dθ=12[θ−32sin2θ3]|π0=12π−38√3
解答:令an=(−1)n2n√nxn⇒limn→∞|an+1an|=limn→∞|(−1)n+12n+1xn+1√n+1⋅√n(−1)n2nxn|=limn→∞2√n|x|√n+1=limn→∞2|x|<1⇒|x|<12⇒收斂半徑=12 又{x=12⇒∑∞n=1an=∑∞n=1(−1)n√n收斂(依交錯級數審斂法)x=−12⇒∑∞n=1an=∑∞n=11√n發散(1√n≥1n發散)⇒收斂區間:(−12,12]
解答:r(t)=cos3ti+sin3tj+4tk⇒r′(t)=−3sin3ti+3cos3tj+4k⇒unit tangent vector T(t)=r′(t)‖r′(t))‖=1√9+16(−3sin3ti+3cos3tj+4k)=−35sin3ti+35cos3tj+45k⇒T′(t)=−95cos3ti−95sin3tj+0k⇒unit normal vector N(t)=T′(t)‖T′(t)‖=59T′(t)=−cos3ti−sin3tj+0k
解答:令F(x,y,z)=x+2y+3z−sin(xyz)⇒{Fx=1−yzcos(xyz)Fy=2−xzcos(xyz)Fz=3−xycos(xyz)⇒∇F(2,−1,0)=(Fx(2,−1,0),Fy(2,−1,0),Fz(2,−1,0))=(1,2,5)⇒{tangent plane: 1(x−2)+2(y+1)+5(z−0)=0⇒x+2y−5z+2=0normal line: x−21=y+12=z5
解答:
{x=√1−y2⇒x2+y2=1x=√3y⇒積分區域為夾角30∘的扇形區域,見上圖取{x=rcosθy=rsinθ⇒∫1/20∫√1−y2√3yx2ydxdy=∫π/60∫10r2cos2θ⋅rsinθ⋅rdrdθ∫π/60∫10r4cos2θsinθdrdθ=15∫π/60cos2θsinθdθ=15[−13cos3θ]|π/60=15⋅13(1−3√38)=115−√340
解答:取{x(t)=costy(t)=sint,0≤t≤2π⇒{dx=−sintdtdy=costdtyexy=sintesin(2t)/2xexy=costesin(2t)/2⇒∫CF⋅dr=∫2π0sintesin(2t)/2⋅(−sintdt)+costesin(2t)/2⋅costdt=∫2π0esin(2t)/2(cos2t−sin2t)dt=∫2π0esin(2t)/2cos(2t)dt=[esin(2t)/2]|2π0=0
解答:利用散度定理來求解,divF=∂∂xF1+∂∂yF2+∂∂zF3=z2+x2+y2=1⇒∬
解答:取{x(t)=costy(t)=sint,0≤t≤2π⇒{dx=−sintdtdy=costdtyexy=sintesin(2t)/2xexy=costesin(2t)/2⇒∫CF⋅dr=∫2π0sintesin(2t)/2⋅(−sintdt)+costesin(2t)/2⋅costdt=∫2π0esin(2t)/2(cos2t−sin2t)dt=∫2π0esin(2t)/2cos(2t)dt=[esin(2t)/2]|2π0=0
解答:利用散度定理來求解,divF=∂∂xF1+∂∂yF2+∂∂zF3=z2+x2+y2=1⇒∬
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解答僅供參考,其他歷年試題及詳解
第7題且平面答案有錯
回覆刪除正確的答案是? 我看了半天,覺得沒錯!!
刪除(x-2)+2(y+1)+5z=0 應該要是x-2y+5z=0 因為-2跟+2會消掉
刪除第7題切平面答案是x+2y+5z=0
回覆刪除YES, 已修訂
刪除喔對是加2y沒錯寫錯
回覆刪除第十題z^2+x^2+y^2不能直接用s去帶入吧
回覆刪除高斯定理 不是 delta F dV嗎
∇⋅F=div F=∂∂xF1+∂∂yF2+∂∂zF3 這兩個是一樣的意思
刪除第九題可以用格林定理嗎
回覆刪除可以
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