國立暨南國際大學111學年度碩士班入學考試
科目: 微積分
適用: 財金系
一、填空題(共80分,每空格10分,不需列出計算過程)
解答: limx→9√x(√x−3)x−9=limx→9√x(√x−3)(√x+3)(√x−3)=limx→9√x√x+3=36=12
解答: limn→∞e−nlnn=limn→∞lnnen==limn→∞ddnlnnddnen=limn→∞1/nen=limn→∞1nen=0解答: f(x)=3√x+|x|={3√2xx≥00otherwise⇒f′(x)={23(2x)−2/3x≥00otherwise⇒f′(4)=23⋅8−2/3=23⋅14=16
解答: f(x)=ln(1−xe−x)⇒f′(x)=−e−x+xe−x1−xe−x⇒f′(0)=−1
解答: u=4−3x⇒du=−3dx⇒∫21(4−3x)8dx=−13∫−21u8du=−13[19u9]|−21=51327=19
解答: u=2x2+5⇒du=4xdx⇒∫√10√23x√2x2+5dx=∫25934⋅1√udu=[32√u]|259=32(5−3)=3
解答: ∫10ln(1+x)dx=[(1+x)ln(1+x)−x]|10=2ln2−1
解答: ∞∑n=12n+13n−1=∞∑n=16⋅(23)n=6⋅2/31−2/3=12二、計算題(共20分,沒有列出詳細計算過程者不予計分)
解答: f(x)=x2e−x⇒f′(x)=2xe−x−x2e−x⇒f″
解答: f''(x)=0 \Rightarrow e^{-x}(x^2-4x+2)=0 \Rightarrow x^2-4x+2=0 \Rightarrow x=2\pm \sqrt 2\\ 由於\begin{cases}f''(x)\gt 0& x\in(-\infty,2-\sqrt 2)\\ f''(x)\lt 0& x\in (2-\sqrt 2,2+\sqrt 2) \\ f''(x)\gt & x\in (2+\sqrt 2,\infty)\end{cases},\\因此反曲點為\bbox[red, 2pt]{(2-\sqrt 2,f(2-\sqrt 2)),(2+\sqrt 2,f(2+\sqrt 2))}
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