國立嘉義女子高級中學 112 學年度第 1 次教師甄選
一、填充題(計16題,每題5分,共80分,全對才計分):
解答:15,◻◻◻,◻◻◻,◻◻◻,◻◻◻,◻◻◻=k15⇒15×1015<k15<16×1015⇒15+log15<15logk<15+log16⇒16.176<15logk<16.204由於log12=log3+2log2=0.4771+2⋅0.301=1.0791⇒15log12=16.186因此k=12解答:x≥−a2⇒||2x+a|+x−a|=|3x|=5⇒{x=5/3≥−a/2x=−5/3≥−a/2⇒a≥103也就是說,當a≥103時,可得兩根x=±53x≤−a2⇒||2x+a|+x−a|=|−x−2a|=5⇒{−x−2a=5−x−2a=−5若a=103⇒{x=−5−2a=−353x=5−2a=−53因此a=103時,恰有三解,分別是±53,−353
Γ:x272−y2(4√15)2=1⇒c=√49+240=17⇒{左焦點F(−17,0)右焦點F′(17,0)左頂點A(−7,0)右頂點B(7,0)中心O(0,0)假設P(a,b)⇒cos∠FPF′<0⇒(a+17)2+b2+(a−17)2+b2−342<0⇒a2+b2<289=172,又¯OP=√a2+b2∈N且¯OP>¯OB=7⇒¯OP=8,9,…,16,共9點⇒四個象限共36種可能
解答:{aX+bY=AX+Y=I⇒{X=1a−b(A−bI)Y=1a−b(aI−A)⇒XY=1(a−b)2(A−bI)(aI−A)=0⇒(A−bI)(aI−A)=0⇒[2−b41−1−b][a−2−4−1a+1]=[0000]⇒[2a−ab+2b−84a+4b−4a+b−1−a−ab−b−5]=[0000]⇒{2a−ab+2b=8a+b=1a+ab+b=−5⇒(a,b)=(3,−2)((−2,3)不合,違反a>b)⇒ab=3−2=19
解答:穿衣服與穿裙子與其他四項(洗臉,刷牙,戴眼鏡,吃早餐)的順序無關,因此先考慮四項的順序:{洗臉,刷牙,吃早餐,戴眼鏡洗臉,刷牙,戴眼鏡,吃早餐刷牙,洗臉,戴眼鏡,吃早餐刷牙,洗臉,戴眼鏡,吃早餐洗臉,戴眼鏡,刷牙,吃早餐,接著將穿衣服與穿裙子插入五個間隔中因此共有H52×2×5=150種排法
解答:a+b為偶數⇒{a,b皆為偶數⇒剩下8偶10奇a,b皆為奇數⇒剩下8奇10偶 c+d為奇數⇒1奇1偶⇒機率為C81C101C182=8⋅1018⋅17/2=80153
解答:假設{兩面都是人頭的硬幣為A兩面都是字的硬幣為B正常硬幣為C,因此有1個A,1個B及(n−2)個C出現2個人頭及1個字的情形{ACB⇒P(ACB)=3/n(n−1)ACC⇒P(ACC)=6/4n(n−1)CCB⇒P(CCB)=3/4n(n−1)CCC⇒P(CCC)=3/8n(n−1),而翻面後是1個人頭2個字的情形只有兩種{ACBCCC⇒機率為3+38(n−3)(n−4)3+94(n−3)+38(n−3)(n−4)=47⇒n2−15n+44=0⇒(n−11)(n−4)=0⇒n=11(4不是正奇數)
解答:α2+4β2+5γ2=2γ(α+4β)⇒α2−2αγ+γ2=−4(β2−2βγ+γ2)⇒(α−γ)2=−4(β−γ)2⇒α−γ=±2i(β−γ)⇒|α−γ|=2|β−γ|⇒¯AC⊥¯BC且¯AC=2¯BC⇒¯BC=42=2⇒¯AB2=¯AC2+¯BC2=42+22=20⇒¯AC=2√5
解答:\int_0^1(tf(t))dt 是一個常數,假設為C,則f(x)=4x^2-3ax+4C\\ \Rightarrow \int_0^1tf(t)dt =\int_0^14t^3-3at^2+4Ct\,dt =\left. \left[ t^4-at^3+2Ct^2\right]\right|_0^1 =1-a+2C =C\\ \Rightarrow C=a-1 \Rightarrow f(x)=4x^2-3ax+4a-4\\ g(x)=x^2+4x+a-\int_0^x(t+1)g'(t)\,dt \Rightarrow g'(x)=2x+4-(x+1)g'(x) \Rightarrow g'(x)={2x+4\over x+2}=2\\ \Rightarrow \int_0^x(t+1)g'(t)\,dt =\int_0^x(t+1)2\,dt =x^2+2x \Rightarrow g(x)=x^2+4x+a-(x^2+2x) \\ \Rightarrow g(x)=2x+a \Rightarrow f(x)-xg(x)=4x^2-3ax+4a-4-(2x^2+ax)=2x^2-4ax+4a-4\\ \Rightarrow f(x)-xg(x)=0的兩根\alpha,\beta滿足\cases{\alpha+\beta =2a\\ \alpha\beta=2a-2} \\ 因此{1\over \beta-\alpha} \int_\alpha^\beta (3x^2-2ax+a^2)dx={1\over \beta-\alpha}\left( (\beta^3-\alpha^3)-a(\beta^2-\alpha^2)+a^2(\beta-\alpha)\right) \\=(\beta^2+\alpha\beta+ \alpha^2)-a(\beta+ \alpha)+a^2 =4a^2-(2a-2)-2a^2+a^2=3a^2-2a+2\\ =3(a-{1\over 3})^2+{5\over 3} \Rightarrow 最小值=\bbox[red,2pt]{5\over 3}
解答:
解答:{aX+bY=AX+Y=I⇒{X=1a−b(A−bI)Y=1a−b(aI−A)⇒XY=1(a−b)2(A−bI)(aI−A)=0⇒(A−bI)(aI−A)=0⇒[2−b41−1−b][a−2−4−1a+1]=[0000]⇒[2a−ab+2b−84a+4b−4a+b−1−a−ab−b−5]=[0000]⇒{2a−ab+2b=8a+b=1a+ab+b=−5⇒(a,b)=(3,−2)((−2,3)不合,違反a>b)⇒ab=3−2=19
5. 小美每天早上起床後必先完成洗臉、刷牙、穿衣服、穿裙子、戴隱形眼鏡和吃早餐等六件事情,其中洗臉後才能戴隱形眼鏡,刷牙和洗臉後才會吃早餐,例如:洗臉→穿衣服→穿裙子→刷牙→戴隱形眼鏡→吃早餐。請問小美完成這六件事情,依前後順序的不同,共有__________種方法。
6. 由正整數 1 至 20 等 20 個數字中,甲任意取出兩個相異數 a 與 b 之後,再由乙任意取出另兩個相異數 c 與 d 。若每一個數字被取出的機會均等,則在已知 a+b 為偶數的條件下, c+d 為奇數的機率為__________。
7. 設 n 為正奇數,黑箱中有 n 枚硬幣,其中 1 枚兩面都是人頭(Head),1 枚兩面都是字(Tail),其餘的硬幣都是一面人頭和一面字。已知每個硬幣被取出的機會均等,每個硬幣兩面放在手心後朝上的機會也是均等的;將手伸入箱中握住三枚硬幣,取出後將手打開,在此三枚硬幣朝上的面是 2 個人頭和 1 個字的條件下,若此三硬幣的另一面是 1 個人頭和 2 個字的機率為 47,則正奇數 n= _____。
解答:α2+4β2+5γ2=2γ(α+4β)⇒α2−2αγ+γ2=−4(β2−2βγ+γ2)⇒(α−γ)2=−4(β−γ)2⇒α−γ=±2i(β−γ)⇒|α−γ|=2|β−γ|⇒¯AC⊥¯BC且¯AC=2¯BC⇒¯BC=42=2⇒¯AB2=¯AC2+¯BC2=42+22=20⇒¯AC=2√5
解答:取g(x)=f(x+1)⇒{g(0)=f(1)=2g(4)=f(5)=8g(8)=f(9)=11⇒令g(x)=ax(x−4)(x−8)+bx(x−8)+cx+2⇒{g(4)=8=−16b+4c+2g(8)=11=8c+2⇒{b=−3/32c=9/8⇒g(x)=ax(x−4)(x−8)−332x(x−8)+98x+2=ax3−(12a+332)x2+(32a+158)x+2⇒∫91f(x)dx=∫80g(x)dx=[14ax4−(4a+132)x3+(16a+1516x2+2x)]|80=60
解答:f(x)=4x3−12x2+8x+20−∫x1f(t)dt⇒f′(x)=12x2−24x+8−f(x)⇒f′(x)+f(x)=12x2−24x+8⇒f(x)為2次多項式⇒f(x)=ax2+bx+c⇒f′(x)=2ax+b⇒f(x)+f′(x)=ax2+(2a+b)x+b+c⇒{a=122a+b=−24b+c=8⇒{a=12b=−48c=56⇒f(x)=12x2−48x+56
解答:f(x)=4x3−12x2+8x+20−∫x1f(t)dt⇒f′(x)=12x2−24x+8−f(x)⇒f′(x)+f(x)=12x2−24x+8⇒f(x)為2次多項式⇒f(x)=ax2+bx+c⇒f′(x)=2ax+b⇒f(x)+f′(x)=ax2+(2a+b)x+b+c⇒{a=122a+b=−24b+c=8⇒{a=12b=−48c=56⇒f(x)=12x2−48x+56
解答:
假設\cases{\overline{GH} \bot \overline{BC}\\ \overline{BC}=a} ,並取s=(\overline{GB}+ \overline{GC}+\overline{BC}) \div 2= 5+{a\over 2} \\ \Rightarrow \triangle GBC面積=\sqrt{s(s-7)(s-3)(s-a)} ={1\over 2}\cdot a\cdot \overline{GH} \Rightarrow a^4-100a^2+1600=0 \\ \Rightarrow (a^2-80)(a^2-20) \Rightarrow a=4\sqrt 5或2\sqrt 5(負值不合)\\ \text{Cases I }a=4\sqrt 5:\cos \angle GPB=-\cos \angle GPC \Rightarrow 20+\overline{GP}^2-49 =-(20+ \overline{GP}^2-9)\\ \qquad \Rightarrow \overline{GP}=3 \Rightarrow \overline{GA}=6\\ \text{Cases I }a=2\sqrt 5: 5+\overline{GP}^2-49=-(5+\overline{GP}^2-9) \Rightarrow \overline{GP}=2\sqrt 6 \Rightarrow \overline{GA}=4\sqrt 6\\ 因此\overline{GA} =\bbox[red,2pt]{6或4\sqrt 6}
解答:
假設P,Q,R,S為切點,圓心為O,圓半徑=r,如上圖, 因此假設\cases{\overline{AP}= \overline{AS} =a \\\overline{BR}= \overline{BS} =b \\\overline{CQ}= \overline{CR} =c \\\overline{DP}= \overline{DQ} =d }\\ \cases{\triangle ODP: r=\sqrt 3d\\ \triangle CDT: 2r=(c+d)\sqrt 3/2} \Rightarrow c=3d\\ \cases{\triangle APO: \overline{AO}^2= a^2+r^2\\ \triangle OBR:\overline{BO}^2= r^2+b^2} 又\overline{AD}\parallel \overline{BC} \Rightarrow \angle A+\angle B=180^\circ \Rightarrow \angle BAO+ \angle ABO=90^\circ \\\Rightarrow \angle AOB=90^\circ \Rightarrow \overline{AB}^2= \overline{AO}^2+\overline{OB}^2 \Rightarrow (a+b)^2 =a^2+r^2+b^2+r^2 \\\Rightarrow r^2=ab= 3d^2 \Rightarrow a={3d^2\over b},因此我們有\cases{a+d=5\\ b+c=10\\ c=3d \\ a=3d^2/b} \Rightarrow d=2 \Rightarrow r=\sqrt 3d=2\sqrt 3\\ \Rightarrow 梯形面積={5+10\over 2}\cdot 2r=\bbox[red, 2pt]{30\sqrt 3}
\Gamma:(x-4\sqrt 2)^2+(y-4\sqrt 2)^2=4^2 \Rightarrow \cases{圓心C(4 \sqrt 2,4\sqrt 2)\\ 圓徑r=4} \Rightarrow \overline{OC}=8\\ \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OM}= \vec 0 \Rightarrow 取M,使得\overline{OM}最大,也就是M=\overleftrightarrow{OC} \cap \Gamma 且離原點O最遠的交點\\ \Rightarrow M(6\sqrt 2,6\sqrt 2) \Rightarrow P(-6\sqrt 2,-6\sqrt 2)\\ 又\overrightarrow{MC}= -2\overrightarrow{MQ} \Rightarrow Q(7\sqrt 2,7\sqrt 2) \Rightarrow \overline{PQ}=\bbox[red, 2pt]{26}
解答:
解答:
假設A以\overline{BD}為轉軸摺起的點為A' \Rightarrow \angle A'CD=90^\circ \Rightarrow \overline{A'C}=\sqrt{10^2-5^2} =5\sqrt 3 \\ \Rightarrow \triangle A'CD面積={1\over 2}\times 5\times 5\sqrt 3={25\over 2}\sqrt 3\\ 假設B至平面\triangle A'CD的距離=h \Rightarrow 四面體A'BCD體積={1\over 3}\times {25\over 2}\sqrt 3\times h=20\\ \Rightarrow h={120\over 25\sqrt 3}=\bbox[red, 2pt]{{8\over 5}\sqrt 3}
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解題僅供參考,其他教甄試題及詳解
您好,想請問填充6的分母為何是C18取2
回覆刪除a+b為偶數的條件下, 剩下18個數了,.....
刪除好的,謝謝您
刪除您好,請問填充7的P(ACC),和P(CCB)是怎麼計算的呢?
回覆刪除為何它們的機率並不相等呢?
謝謝您
我有弄清楚了,謝謝您。
刪除不過P(CCB)好像應為3(n-3)/4n(n-1);
P(CCC)為3(n-3)(n-4)/8n(n-1);
P(ACC)為3(n-3)/2n(n-1)
請參考看看~
我再算算看
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