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2023年10月3日 星期二

112年嘉義女中教甄-數學詳解

國立嘉義女子高級中學 112 學年度第 1 次教師甄選

一、填充題(計16題,每題5分,共80分,全對才計分):

解答15,,,,,=k1515×1015<k15<16×101515+log15<15logk<15+log1616.176<15logk<16.204log12=log3+2log2=0.4771+20.301=1.079115log12=16.186k=12
解答xa2||2x+a|+xa|=|3x|=5{x=5/3a/2x=5/3a/2a103,a103x=±53xa2||2x+a|+xa|=|x2a|=5{x2a=5x2a=5a=103{x=52a=353x=52a=53a=103±53,353
解答

Γ:x272y2(415)2=1c=49+240=17{F(17,0)F(17,0)A(7,0)B(7,0)O(0,0)P(a,b)cosFPF<0(a+17)2+b2+(a17)2+b2342<0a2+b2<289=172,¯OP=a2+b2N¯OP>¯OB=7¯OP=8,9,,16936
解答{aX+bY=AX+Y=I{X=1ab(AbI)Y=1ab(aIA)XY=1(ab)2(AbI)(aIA)=0(AbI)(aIA)=0[2b411b][a241a+1]=[0000][2aab+2b84a+4b4a+b1aabb5]=[0000]{2aab+2b=8a+b=1a+ab+b=5(a,b)=(3,2)((2,3)a>b)ab=32=19
5. 小美每天早上起床後必先完成洗臉、刷牙、穿衣服、穿裙子、戴隱形眼鏡和吃早餐等六件事情,其中洗臉後才能戴隱形眼鏡,刷牙和洗臉後才會吃早餐,例如:洗臉→穿衣服→穿裙子→刷牙→戴隱形眼鏡→吃早餐。請問小美完成這六件事情,依前後順序的不同,共有__________種方法。

解答穿穿():{穿穿H52×2×5=150
6. 由正整數 1 至 20 等 20 個數字中,甲任意取出兩個相異數 a 與 b 之後,再由乙任意取出另兩個相異數 c 與 d 。若每一個數字被取出的機會均等,則在已知 a+b 為偶數的條件下, c+d 為奇數的機率為__________。

解答a+b{a,b810a,b810 c+d11C81C101C182=8101817/2=80153
7. 設 n 為正奇數,黑箱中有 n 枚硬幣,其中 1 枚兩面都是人頭(Head),1 枚兩面都是字(Tail),其餘的硬幣都是一面人頭和一面字。已知每個硬幣被取出的機會均等,每個硬幣兩面放在手心後朝上的機會也是均等的;將手伸入箱中握住三枚硬幣,取出後將手打開,在此三枚硬幣朝上的面是 2 個人頭和 1 個字的條件下,若此三硬幣的另一面是 1 個人頭和 2 個字的機率為 47,則正奇數 n= _____。 

解答{ABC1A,1B(n2)C1{ACBP(ACB)=3/n(n1)ACCP(ACC)=6/4n(n1)CCBP(CCB)=3/4n(n1)CCCP(CCC)=3/8n(n1)12{ACBCCC3+38(n3)(n4)3+94(n3)+38(n3)(n4)=47n215n+44=0(n11)(n4)=0n=11(4)
解答α2+4β2+5γ2=2γ(α+4β)α22αγ+γ2=4(β22βγ+γ2)(αγ)2=4(βγ)2αγ=±2i(βγ)|αγ|=2|βγ|¯AC¯BC¯AC=2¯BC¯BC=42=2¯AB2=¯AC2+¯BC2=42+22=20¯AC=25
解答g(x)=f(x+1){g(0)=f(1)=2g(4)=f(5)=8g(8)=f(9)=11g(x)=ax(x4)(x8)+bx(x8)+cx+2{g(4)=8=16b+4c+2g(8)=11=8c+2{b=3/32c=9/8g(x)=ax(x4)(x8)332x(x8)+98x+2=ax3(12a+332)x2+(32a+158)x+291f(x)dx=80g(x)dx=[14ax4(4a+132)x3+(16a+1516x2+2x)]|80=60
解答f(x)=4x312x2+8x+20x1f(t)dtf(x)=12x224x+8f(x)f(x)+f(x)=12x224x+8f(x)2f(x)=ax2+bx+cf(x)=2ax+bf(x)+f(x)=ax2+(2a+b)x+b+c{a=122a+b=24b+c=8{a=12b=48c=56f(x)=12x248x+56
解答f(x)=a(x1)(x3)=a(x24x+3)f


解答\int_0^1(tf(t))dt 是一個常數,假設為C,則f(x)=4x^2-3ax+4C\\ \Rightarrow \int_0^1tf(t)dt =\int_0^14t^3-3at^2+4Ct\,dt =\left. \left[ t^4-at^3+2Ct^2\right]\right|_0^1 =1-a+2C =C\\ \Rightarrow C=a-1 \Rightarrow f(x)=4x^2-3ax+4a-4\\ g(x)=x^2+4x+a-\int_0^x(t+1)g'(t)\,dt \Rightarrow g'(x)=2x+4-(x+1)g'(x) \Rightarrow g'(x)={2x+4\over x+2}=2\\ \Rightarrow \int_0^x(t+1)g'(t)\,dt =\int_0^x(t+1)2\,dt =x^2+2x \Rightarrow g(x)=x^2+4x+a-(x^2+2x) \\ \Rightarrow g(x)=2x+a \Rightarrow f(x)-xg(x)=4x^2-3ax+4a-4-(2x^2+ax)=2x^2-4ax+4a-4\\ \Rightarrow f(x)-xg(x)=0的兩根\alpha,\beta滿足\cases{\alpha+\beta =2a\\ \alpha\beta=2a-2} \\ 因此{1\over \beta-\alpha} \int_\alpha^\beta (3x^2-2ax+a^2)dx={1\over \beta-\alpha}\left( (\beta^3-\alpha^3)-a(\beta^2-\alpha^2)+a^2(\beta-\alpha)\right) \\=(\beta^2+\alpha\beta+ \alpha^2)-a(\beta+ \alpha)+a^2 =4a^2-(2a-2)-2a^2+a^2=3a^2-2a+2\\ =3(a-{1\over 3})^2+{5\over 3} \Rightarrow 最小值=\bbox[red,2pt]{5\over 3}
解答


假設\cases{\overline{GH} \bot \overline{BC}\\ \overline{BC}=a} ,並取s=(\overline{GB}+ \overline{GC}+\overline{BC}) \div 2= 5+{a\over 2} \\ \Rightarrow \triangle GBC面積=\sqrt{s(s-7)(s-3)(s-a)} ={1\over 2}\cdot a\cdot \overline{GH} \Rightarrow a^4-100a^2+1600=0 \\ \Rightarrow (a^2-80)(a^2-20) \Rightarrow a=4\sqrt 5或2\sqrt 5(負值不合)\\ \text{Cases I }a=4\sqrt 5:\cos \angle GPB=-\cos \angle GPC \Rightarrow 20+\overline{GP}^2-49 =-(20+ \overline{GP}^2-9)\\ \qquad \Rightarrow \overline{GP}=3 \Rightarrow \overline{GA}=6\\  \text{Cases I }a=2\sqrt 5: 5+\overline{GP}^2-49=-(5+\overline{GP}^2-9) \Rightarrow \overline{GP}=2\sqrt 6  \Rightarrow \overline{GA}=4\sqrt 6\\ 因此\overline{GA} =\bbox[red,2pt]{6或4\sqrt 6}


解答

假設P,Q,R,S為切點,圓心為O,圓半徑=r,如上圖, 因此假設\cases{\overline{AP}= \overline{AS} =a \\\overline{BR}= \overline{BS} =b \\\overline{CQ}= \overline{CR} =c \\\overline{DP}= \overline{DQ} =d }\\ \cases{\triangle ODP: r=\sqrt 3d\\ \triangle CDT: 2r=(c+d)\sqrt 3/2} \Rightarrow c=3d\\ \cases{\triangle APO: \overline{AO}^2= a^2+r^2\\ \triangle OBR:\overline{BO}^2= r^2+b^2} 又\overline{AD}\parallel \overline{BC} \Rightarrow \angle A+\angle B=180^\circ \Rightarrow \angle BAO+ \angle ABO=90^\circ \\\Rightarrow \angle AOB=90^\circ \Rightarrow \overline{AB}^2= \overline{AO}^2+\overline{OB}^2 \Rightarrow (a+b)^2 =a^2+r^2+b^2+r^2 \\\Rightarrow r^2=ab= 3d^2 \Rightarrow a={3d^2\over b},因此我們有\cases{a+d=5\\  b+c=10\\ c=3d \\ a=3d^2/b} \Rightarrow d=2 \Rightarrow r=\sqrt 3d=2\sqrt 3\\ \Rightarrow 梯形面積={5+10\over 2}\cdot 2r=\bbox[red, 2pt]{30\sqrt 3}

解答

\Gamma:(x-4\sqrt 2)^2+(y-4\sqrt 2)^2=4^2 \Rightarrow \cases{圓心C(4 \sqrt 2,4\sqrt 2)\\ 圓徑r=4} \Rightarrow \overline{OC}=8\\ \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OM}= \vec 0 \Rightarrow 取M,使得\overline{OM}最大,也就是M=\overleftrightarrow{OC} \cap \Gamma 且離原點O最遠的交點\\ \Rightarrow M(6\sqrt 2,6\sqrt 2) \Rightarrow P(-6\sqrt 2,-6\sqrt 2)\\ 又\overrightarrow{MC}= -2\overrightarrow{MQ} \Rightarrow Q(7\sqrt 2,7\sqrt 2) \Rightarrow \overline{PQ}=\bbox[red, 2pt]{26}
解答
假設A以\overline{BD}為轉軸摺起的點為A' \Rightarrow \angle A'CD=90^\circ \Rightarrow \overline{A'C}=\sqrt{10^2-5^2} =5\sqrt 3 \\ \Rightarrow \triangle A'CD面積={1\over 2}\times 5\times 5\sqrt 3={25\over 2}\sqrt 3\\ 假設B至平面\triangle A'CD的距離=h \Rightarrow 四面體A'BCD體積={1\over 3}\times {25\over 2}\sqrt 3\times h=20\\ \Rightarrow h={120\over 25\sqrt 3}=\bbox[red, 2pt]{{8\over 5}\sqrt 3}

二、計算證明題(計2題,每題10分,共20分):

解答學校提供的解答如後
解答學校提供的解答如後





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解題僅供參考,其他教甄試題及詳解

6 則留言:

  1. 您好,想請問填充6的分母為何是C18取2

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    1. a+b為偶數的條件下, 剩下18個數了,.....

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    2. 好的,謝謝您

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  2. 您好,請問填充7的P(ACC),和P(CCB)是怎麼計算的呢?
    為何它們的機率並不相等呢?
    謝謝您

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    1. 我有弄清楚了,謝謝您。

      不過P(CCB)好像應為3(n-3)/4n(n-1);
      P(CCC)為3(n-3)(n-4)/8n(n-1);
      P(ACC)為3(n-3)/2n(n-1)

      請參考看看~

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