國立臺北科技大學 112學年度碩士班招生考試
系所組別 :1301、 1302、 1303車輛工程系碩士班
第一節 工程數學 試題
解答:y2=uy1=ue−x⇒y′2=u′e−x−ue−x⇒y″2=u″e−x−2u′e−x+ue−x⇒y‴2=u‴e−x−3u″e−x+3u′e−x−ue−x代回原式y‴−2y″−y′+2y=0⇒(u‴e−x−3u″e−x+3u′e−x−ue−x)−2(u″e−x−2u′e−x+ue−x)−(u′e−x−ue−x)+2ue−x=0⇒u‴e−x−5u″e−x+6u′e−x=0⇒e−x(v″−5v′+6v)=0(取v=u′)⇒v″−5v′+6v=0⇒v=c1e3x+c2e2x⇒u=c13e3x+c22e2x+c3⇒y2=c13e2x+c22ex+c3e−x⇒其解的另外基底為ex及e2x
解答:A=[01−3/4−2]⇒det
解答:y''+9y=10e^{-t} \Rightarrow L\{y'' \}+9L\{y\}=10L\{e^{-t}\}\\ \Rightarrow s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+9Y(s) =10\cdot {1\over s+1} \Rightarrow Y(s)={10\over (s+1)(s^2+9)}\\ \Rightarrow y(t)=L^{-1}\{ Y(s)\}= L^{-1}\left\{{10\over (s+1)(s^2+9)}\right\} = L^{-1}\left\{{1\over s+1 } +{1\over 3}\cdot {3\over s^2+3^2}-{s\over s^2+3^2}\right\} \\=e^{-t}+{1\over 3}\sin(3t)-\cos(3t) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=e^{-t}+{1\over 3}\sin(3t)-\cos(3t)}
解答:\mathbf{(a)}\;A=\begin{bmatrix} 0& 1& 0\\ -1& 0 & 4\\0 & 4 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{-R_2\to R_2,-4R_1+R_3\to R_3}\begin{bmatrix} 0& 1& 0\\ 1& 0 & -4\\0 & 0 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1& 0 & -4\\0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \Rightarrow rref(A)=\begin{bmatrix} 1& 0 & -4\\0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow rank(A)= \bbox[red,2pt]2\\ \mathbf{(b)}\; rref(A)=\begin{bmatrix} 1& 0 & -4\\0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{RS(A)=\{(1,0,-4),(0,1,0)\}\\[1ex] CS(A)=\left\{\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}\right\}}}\\ \mathbf{(c)}\; \det(A)=0+0+0-0-0-0=\bbox[red,2pt]0 \\\mathbf{(d)}\;\det(A)=0 \Rightarrow 反矩\bbox[red,2pt]{不存在}
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解題僅供參考
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