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2023年11月25日 星期六

112年高考三級-工程數學詳解

112年公務人員高等考試三級考試試題

類 科:電力工程、電子工程、電信工程
科 目:工程數學

甲、申論題部分:(50分)

解答:u(y)=yuy=yuu=yyuu=u2yu=u1udu=1ydylnu=lny+c1=ln(c2y)u=c2yy=c2yy=c3ec2xy=AeBx,A,B
解答:cz=cosθ+isinθ=eiθdz=ieiθdθcˉzdz=2π0eiθieiθdθ=2π0idθ=2πi
解答:{E1:2xy+2z=1E2:xy=2{n1=(2,1,2)n2=(1,1,0)cosθ=n1n2n1n2=2+1+092=12θ=45
解答:A=[200102003]det(AλI)=λ3+5λ26λ=λ(λ2)(λ3)=0λ=0,2,3λ1=0(Aλ1I)v=[200102003][x1x2x3]=0{x1=0x3=0v=[0k0],kR,v1=[010]λ2=2(Aλ2I)v=[000122001][x1x2x3]=0{x1=2x2x3=0v=[2kk0],kR,v2=[210]λ3=3(Aλ3I)v=[100132000][x1x2x3]=0{x1=03x2=2x3v=[02k/3k],kR,v3=[02/31]0,2,3,[010],[210],[02/31]

乙、測驗題部分:(50分)

解答:,yy12y=0λ2λ12=0(λ4)(λ+3)=0λ=4,3yh=c1e4x+c2e3xsinhx=12(exex)sinh2x=14(e2x2+e2x)2sinh2x=12(e2x+e2x)1yp=Ae2x+Be2x+Cyp=2Ae2x2Be2xyp=4Ae2x+4Be2xypyp12y=10Ae2x6Be2x12C=12(e2x+e2x)1{10A=1/26B=1/212C=1{A=1/20B=1/12C=1/12yp=120e2x112e2x+112y=yh+yp=c1e4x+c2e3x120e2x112e2x+112,(B)
解答:y=16cos(2x)ln|sec(2x)+tan(2x)|y=13(2cos(2x)ln|sec(2x)+tan(2x)|+2tan(2x))3y+12y=2tan(2x),(D)
解答:L{sin(ωt)}=ωs2+ω2L{e2tsin(ωt)}=ω(s+2)2+ω2L{te2tsin(ωt)}=ddsω(s+2)2+ω2=2(s+2)ω((s+2)2+ω2)2,(A)
解答:[101100111010211001]R1+R2R2,2R1+R3R3[101100012110011201]R2+R3R3[101100012110001111]R3+R1R1,2R3+R2R2[100211010312001111]A1=[211312111],(B)
解答:a0=1210xdx=14an=10xcos(nπx)dx=1n2π2((1)n1){a1=2/π2a2=0a3=2/9π2,(C)
解答:|41T211412467|=20(T211)+40=0T2=9T=±3rank(C)<3rank(C)2,(D)
解答:{H=(2,8t,t2)G=(3t,2et,lnt)H×G=(8tlnt2t2et,3t32lnt,4et+24t2)ddt[H×G]=(8lnt+84tet2t2et,9t21t,4et+48t),(A)
解答:F=(x(t),y(t),z(t))F=(x(t),y(t),z(t))=(etcostetsint,etsint+etcost,et)=FF=(x(t),y(t),z(t))=13et(etcostetsint,etsint+etcost,et)=13(costsint,cost+sint,1)=13(costsint)ˆi+13(cost+sint)ˆj+13ˆk,(B)
解答:(A):φ=(xφ,yφ,zφ)=(y3z2,3xy2z2,2xy3z)(B):φ(1,1,2)=(4,12,4)(C):(4,12,4)(4,12,4)=±(4,12,4)411=±111(1,3,1)(D)×:k(1,3,1)(8,24,24),(D)
解答:,,(B)
解答:f(z)=|z|z=0,(A)
解答:det(AB)=det(A)det(B)=24×24=576,(B)
解答:(1+i)2=2i(1+i)12=(2i)6=26=64,(A)
解答:f(t)=L1{s1(s+3)(s2+2s+2)}=L1{4s+15(s2+2s+2)45(s+3)}=L1{45s+1(s+1)2+1351(s+1)2+145(s+3)}=45etcos(t)35etsin(t)45e3t,(A)
解答:det(A)=30det(B)=det(A1)=130det(B2)=det(B)×det(B)=1/(30)2=1/900,(A)
解答:v滿Av=λv,λ[5412][41]=[246]=6[41]λ1=6[5412][11]=[11]=1[11]λ2=1=[λ100λ2]=[6001],(A)
解答:exy=2(x+1)y21y2dy=2(x+1)exdx1y=2xex4ex+c1=2x+4+c2exexy=ex2x+4+c2exy(0)=14+c2=16c2=2y=ex2x+4+2exy=1(2x+4)ex+2,(A)
解答:L1{s1s2(s+1)}=L1{2s1s22s+1}=2t2et,(B)
解答:L{cosh(at)cos(at)}=L{eat+eat2cos(at)}=12L{eatcos(at)}+12L{eatcos(at)}=12sa(sa)2+a2+12s+a(s+a)2+a2=12(sa)((s+a)2+a2)+(s+a)((sa)2+a2)(sa)2+a2)((s+a)2+a2)=s3s4+4a4,(D)
解答:f(t)=sin(8t)tf(t)ej5tdt=f(t)(cos(5t)isin(5t))dt=f(t)cos(5t)dt=sin(8t)tcos(5t)dt =121t(sin(13t)+sin(3t))dt=0(sin(13t)t+sin(3t)t)dt=π2+π2=π,(D)

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