112年公務人員高等考試三級考試試題
類 科:電力工程、電子工程、電信工程
科 目:工程數學
甲、申論題部分:(50分)
解答:逆時針單位圓c可用z=cosθ+isinθ=eiθ來表示⇒dz=ieiθdθ⇒∮cˉzdz=∫2π0e−iθ⋅ieiθdθ=∫2π0idθ=2πi
解答:{E1:2x−y+2z=1E2:x−y=2⇒{→n1=(2,−1,2)→n2=(1,−1,0)⇒cosθ=→n1⋅→n2‖→n1‖⋅‖→n2‖=2+1+0√9⋅√2=1√2⇒θ=45∘
解答:A=[200102003]⇒det(A−λI)=−λ3+5λ2−6λ=−λ(λ−2)(λ−3)=0⇒λ=0,2,3λ1=0⇒(A−λ1I)v=[200102003][x1x2x3]=0⇒{x1=0x3=0⇒v=[0k0],k∈R,取v1=[010]λ2=2⇒(A−λ2I)v=[0001−22001][x1x2x3]=0⇒{x1=2x2x3=0⇒v=[2kk0],k∈R,取v2=[210]λ3=3⇒(A−λ3I)v=[−1001−32000][x1x2x3]=0⇒{x1=03x2=2x3⇒v=[02k/3k],k∈R,取v3=[02/31]因此特徵值為0,2,3,相對應的特徵向量為[010],[210],[02/31]
乙、測驗題部分:(50分)
解答:先求齊次解,y″−y′−12y=0⇒λ2−λ−12=0⇒(λ−4)(λ+3)=0⇒λ=4,−3⇒yh=c1e4x+c2e−3x又sinhx=12(ex−e−x)⇒sinh2x=14(e2x−2+e−2x)⇒2sinh2x=12(e2x+e−2x)−1取yp=Ae2x+Be−2x+C⇒y′p=2Ae2x−2Be−2x⇒y″p=4Ae2x+4Be−2x⇒y″p−y′p−12y=−10Ae2x−6Be−2x−12C=12(e2x+e−2x)−1⇒{−10A=1/2−6B=1/2−12C=−1⇒{A=−1/20B=−1/12C=1/12⇒yp=−120e2x−112e−2x+112⇒y=yh+yp=c1e4x+c2e−3x−120e2x−112e−2x+112,故選(B)解答:假設y=−16cos(2x)ln|sec(2x)+tan(2x)|⇒y″=13(2cos(2x)ln|sec(2x)+tan(2x)|+2tan(2x))⇒3y″+12y=2tan(2x),故選(D)
解答:L{sin(ωt)}=ωs2+ω2⇒L{e−2tsin(ωt)}=ω(s+2)2+ω2⇒L{te−2tsin(ωt)}=−ddsω(s+2)2+ω2=2(s+2)ω((s+2)2+ω2)2,故選(A)
解答:[101100−1110102−11001]R1+R2→R2,−2R1+R3→R3→[1011000121100−1−1−201]R2+R3→R3→[101100012110001−111]−R3+R1→R1,−2R3+R2→R2→[1002−1−10103−1−2001−111]⇒A−1=[2−1−13−1−2−111],故選(B)
解答:a0=12∫10xdx=14an=∫10xcos(nπx)dx=1n2π2((−1)n−1)⇒{a1=−2/π2a2=0a3=−2/9π2,故選(C)
解答:無限多解⇒|41T2−1141−2467|=20(T2−11)+40=0⇒T2=9⇒T=±3又無限多解⇒rank(C)<3⇒rank(C)最大值為2,故選(D)
解答:{→H=(2,8t,t2)→G=(−3t,2et,lnt)⇒→H×→G=(8tlnt−2t2et,−3t3−2lnt,4et+24t2)⇒ddt[→H×→G]=(8lnt+8−4tet−2t2et,−9t2−1t,4et+48t),故選(A)
解答:→F=(x(t),y(t),z(t))⇒→F′=(x′(t),y′(t),z′(t))=(etcost−etsint,etsint+etcost,et)⇒單位切線向量=→F′‖→F′‖=(x′(t),y′(t),z′(t))=1√3et(etcost−etsint,etsint+etcost,et)=1√3(cost−sint,cost+sint,1)=1√3(cost−sint)ˆi+1√3(cost+sint)ˆj+1√3ˆk,故選(B)
解答:(A)◯:∇φ=(∂∂xφ,∂∂yφ,∂∂zφ)=(y3z2,3xy2z2,2xy3z)(B)◯:∇φ(−1,−1,2)=(−4,−12,4)(C)◯:(−4,−12,4)‖(−4,−12,4)‖=±(−4,−12,4)4√11=±1√11(−1,−3,1)(D)×:應該是k(−1,−3,1)≠(8,24,−24),故選(D)
解答:計算的結果有差,再想想,故選(B)
解答:顯然f(z)=|z|在z=0不可微,故選(A)
解答:det(AB)=det(A)det(B)=24×24=576,故選(B)
解答:(1+i)2=2i⇒(1+i)12=(2i)6=−26=−64,故選(A)
解答:f(t)=L−1{s−1(s+3)(s2+2s+2)}=L−1{4s+15(s2+2s+2)−45(s+3)}=L−1{45⋅s+1(s+1)2+1−351(s+1)2+1−45(s+3)}=45e−tcos(t)−35e−tsin(t)−45e−3t,故選(A)
解答:det(A)=−30⇒det(B)=det(A−1)=−130⇒det(B2)=det(B)×det(B)=1/(−30)2=1/900,故選(A)
解答:特徵向量v需滿足Av=λv,其中λ為特徵值[5412][41]=[246]=6[41]⇒特徵值λ1=6[5412][1−1]=[1−1]=1[1−1]⇒特徵值λ2=1⇒對角化矩陣=[λ100λ2]=[6001],故選(A)
解答:exy′=2(x+1)y2⇒1y2dy=2(x+1)exdx⇒−1y=−2xex−4ex+c1=−2x+4+c2exex⇒y=ex2x+4+c2ex⇒y(0)=14+c2=16⇒c2=2⇒y=ex2x+4+2ex⇒y=1(2x+4)e−x+2,故選(A)
解答:L−1{s−1s2(s+1)}=L−1{2s−1s2−2s+1}=2−t−2e−t,故選(B)
解答:L{cosh(at)cos(at)}=L{eat+e−at2⋅cos(at)}=12L{eatcos(at)}+12L{e−atcos(at)}=12s−a(s−a)2+a2+12s+a(s+a)2+a2=12⋅(s−a)((s+a)2+a2)+(s+a)((s−a)2+a2)(s−a)2+a2)((s+a)2+a2)=s3s4+4a4,故選(D)
解答:f(t)=sin(8t)t為偶函數⇒∫∞−∞f(t)e−j5tdt=∫∞−∞f(t)(cos(5t)−isin(5t))dt=∫∞−∞f(t)cos(5t)dt=∫∞−∞sin(8t)tcos(5t)dt =12∫∞−∞1t(sin(13t)+sin(3t))dt=∫∞0(sin(13t)t+sin(3t)t)dt=π2+π2=π,故選(D)
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