國立 臺北科技 大學 111學 年度碩士班招 生考試
系所組別 :3120土木工程系土木與防災碩士班乙組
第二節 工程數學 試題
解答：$$\mathbf{1.}\;(1+x^2)y'+2xy=0 \Rightarrow (1+x^2)y'=-2xy \Rightarrow {1\over y}dy = -{2x\over 1+x^2}dx \\ \quad \Rightarrow \ln y = -\ln(1+x^2)+c_1 \Rightarrow y={c_2\over 1+x^2} \Rightarrow y(0)=c_2=5 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y={5\over 1+x^2}} \\\textbf{2.}\;u=x-y+2 \Rightarrow u'=1-y' \Rightarrow 原式y'=y-x-1+(x-y+2)^{-1} \\ \Rightarrow 1-u'=1-u+{1\over u} \Rightarrow u'=u-{1\over u} ={u^2-1\over u} \Rightarrow {u\over u^2-1}du =dx \\ \Rightarrow {1\over 2}\ln(u^2-1) =x+c_1 \Rightarrow \ln(u^2-1)= 2x+c_2 \Rightarrow u^2-1=c_3e^{2x} \Rightarrow u^2=c_3e^{2x}+1 \\ \Rightarrow (x-y+2)^2= c_3e^{2x}+1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=x+2 \pm \sqrt{c_3e^{2x}+1}}\\ \textbf{3.}\; y''-3y'+2y=0 \Rightarrow y_h= c_1e^{2x}+ c_2e^x \\ y_p=Ae^{3x}+Bx+C \Rightarrow y_p'=3Ae^{3x}+B \Rightarrow y_p'' = 9Ae^{3x} \\ \Rightarrow y_p''-3y_p'+2y_p = 2Ae^{3x}+ 2Bx+ 2C-3B= e^{3x}+4x \Rightarrow \cases{2A=1\\ 2B=4\\ 2C-3B= 0} \\ \Rightarrow \cases{A=1/2\\ B=2\\ C=3} \Rightarrow y_p = {1\over 2}e^{3x}+2x+3 \Rightarrow y=y_h+y_p \\\Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y= c_1e^{2x}+ c_2e^x+ {1\over 2}e^{3x}+2x+3} \\\textbf{4.}\;y^{[4]}-7y''-18y=0 \Rightarrow \lambda^4-7\lambda^2-18=0 \Rightarrow (\lambda^2-9)(\lambda^2+2)=0 \\\quad \Rightarrow \lambda=\pm 3,\pm\sqrt{2}i \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=c_1e^{3x}+ c_2e^{-3x} +c_4\cos(\sqrt 2x)+ c_4\sin(\sqrt 2x)}$$
解答：$$A=\begin{bmatrix}2& -2& 3\\ 0 & 3& -2\\ 0& -1& 2 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A-\lambda I)=-(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-4) =0 \Rightarrow \lambda=1,2,4 \\ \lambda_1=1 \Rightarrow (A-\lambda_1 I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}1 & -2& 3\\ 0 & 2& -2\\ 0& -1& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=0 \Rightarrow \cases{x_1=-x_3\\ x_2=x_3} \\ \qquad \Rightarrow v=x_3\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}, 取v_1= \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}\\ \lambda_2=2 \Rightarrow \Rightarrow (A-\lambda_2 I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}0 & -2& 3\\ 0 & 1& -2\\ 0& -1& 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=0 \Rightarrow x_2=x_3=0\\ \qquad \Rightarrow v=x_1 \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}, 取v_2= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \\ \lambda_3=4 \Rightarrow (A-\lambda_3 I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}-2 & -2& 3\\ 0 & -1& -2\\ 0& -1& -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=0 \Rightarrow \cases{2x_1=7x_3 \\x_2+2x_3=0} \\ \qquad \Rightarrow v=x_3 \begin{bmatrix} 7/2\\ -2\\ 1 \end{bmatrix}, 取v_3=\begin{bmatrix} 7/2\\ -2\\ 1 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \text{eigenvalues: }\bbox[red, 2pt]{1,2,4}\text{ and eigenvectors: }\bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 7/2\\ -2\\ 1 \end{bmatrix}}$$
解答：$$L\{ y''\}+9L\{y\}=L\{\cos(2t) \} \Rightarrow s^2Y(s)-s-y'(0)+9Y(s)= {s\over s^2+2^2} \\ \Rightarrow Y(s)={s\over (s^2+4)(s^2+9)} +{s+y'(0) \over s^2+9} ={1\over 5}\cdot {s\over s^2+4}-{1\over 5}\cdot {s\over s^2+9}+ {s\over s^2+9} +{y'(0)\over s^2+9} \\\Rightarrow y(t)=L^{-1}\{Y(s)\} ={1\over 5} \cos(2t)-{1\over 5}\cos(3t)+ \cos(3t)+{y'(0)\over 3}\sin(3t) \\ ={1\over 5}\cos(2t)+{4\over 5}\cos(3t)+ A\sin(3t) \Rightarrow y(\pi/2)=-{1\over 5}+0-A=-1 \Rightarrow A={4\over 5} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y(t)={1\over 5}\cos(2t)+{4\over 5}\cos(3t)+ +{4\over 5}\sin(3t)}$$
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