113 學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統 一 入 學 測 驗-數學(C)
解答:5(2x+1)(x−2)=A2x+1+Bx−2⇒A(x−2)+B(2x+1)=5⇒(A+2B)x−2A+B=5⇒{A+2B=0−2A+B=5⇒{A=−2B=1⇒3A+2B=−6+2=−4,故選(D)解答:
θ=35∘+90∘=125∘,故選(C)
解答:sinθ=sin2024∘=sin(360∘×5+224∘)=sin224∘⇒θ=224∘,故選(C)
解答:直線L與圓C相切⇒圓心至L的距離=半徑圓心(3,−4)至L的距離=|3−5+4|√12+12=2√2=√2,故選(A)
解答:[1−14233]R1+R2→R2→[1−14327],故選(C)
解答:{sinθtanθ=sinθ⋅sinθcosθ=sin2θcosθ<0⇒cosθ<0cosθcotθ=cosθ⋅cosθsinθ=cos2θsinθ>0⇒sinθ>0⇒θ在第二象限,故選(B)
解答:相鄰的香瓜與木瓜與三種水果排列數=4!×2=48除了香瓜與木瓜外,剩下四種水果取3種,有C43=4種取法因此共有48×4=192種排列法,故選(C)
解答:a2+b2≥√a2b⇒a2b≤(a2+b2)2=(10−b+b2)2=52=25,故選(D)
解答:{y1=2x1+5x2y2=3x1+8x2⇒[2538][x1x2]=[y1y2]⇒A=[2538]⇒A−1=12⋅8−3⋅5[8−5−32]=[8−5−32]⇒a+b+c+d=8−5−3+2=2,故選(A)
解答:(A)×:f(5)=10+4=14>13(B)×:f(5)=20−4=16>13(D)×:f(2)=4−3=1<4,故選(C)
解答:f(x)=ax4+bx2−2x+c⇒f′(x)=4ax3+2bx−2=8x3−6x+d⇒{4a=82b=−6d=−2⇒{a=2b=−3d=−2⇒f(x)=2x4−3x2−2x+c⇒f(1)=−3+c=5⇒c=8⇒a+b+c+d=2−3+8−2=5,故選(D)
解答:1√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1⇒(1√2+1−1)[(1√2+1)2+1√2+1+1]=(√2−1−1)[(√2−1)2+√2−1+1]=(√2−2)(3−√2)=(√2−2)(−3√2+3)=−8+5√2,故選(D)
解答:
解答:sinθ=sin2024∘=sin(360∘×5+224∘)=sin224∘⇒θ=224∘,故選(C)
解答:直線L與圓C相切⇒圓心至L的距離=半徑圓心(3,−4)至L的距離=|3−5+4|√12+12=2√2=√2,故選(A)
解答:[1−14233]R1+R2→R2→[1−14327],故選(C)
解答:{sinθtanθ=sinθ⋅sinθcosθ=sin2θcosθ<0⇒cosθ<0cosθcotθ=cosθ⋅cosθsinθ=cos2θsinθ>0⇒sinθ>0⇒θ在第二象限,故選(B)
解答:相鄰的香瓜與木瓜與三種水果排列數=4!×2=48除了香瓜與木瓜外,剩下四種水果取3種,有C43=4種取法因此共有48×4=192種排列法,故選(C)
解答:a2+b2≥√a2b⇒a2b≤(a2+b2)2=(10−b+b2)2=52=25,故選(D)
解答:{y1=2x1+5x2y2=3x1+8x2⇒[2538][x1x2]=[y1y2]⇒A=[2538]⇒A−1=12⋅8−3⋅5[8−5−32]=[8−5−32]⇒a+b+c+d=8−5−3+2=2,故選(A)
解答:(A)×:f(5)=10+4=14>13(B)×:f(5)=20−4=16>13(D)×:f(2)=4−3=1<4,故選(C)
解答:f(x)=ax4+bx2−2x+c⇒f′(x)=4ax3+2bx−2=8x3−6x+d⇒{4a=82b=−6d=−2⇒{a=2b=−3d=−2⇒f(x)=2x4−3x2−2x+c⇒f(1)=−3+c=5⇒c=8⇒a+b+c+d=2−3+8−2=5,故選(D)
解答:1√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1⇒(1√2+1−1)[(1√2+1)2+1√2+1+1]=(√2−1−1)[(√2−1)2+√2−1+1]=(√2−2)(3−√2)=(√2−2)(−3√2+3)=−8+5√2,故選(D)
解答:
y=ax2⇒x2=4⋅14ay⇒c=14a⇒¯F1F2=4c=1a=8⇒a=18⇒c=2⇒△VF1F2=12⋅c⋅¯F1F2=8,故選(A)
解答:∫20f(x)dx=∫10(√x+1)dx+∫21(x2+x)dx=[23x3/2+x]|10+[13x3+12x2]|21=53+(143−56)=336=112,故選(B)
解答:lim
解答:\cases{\log x=-2.24\\ \log y=9.28} \Rightarrow \cases{x=10^{-2.24} \\ y=10^{9.28}} \Rightarrow x^2 y=10^{-2.24\cdot 2+8.28} =10^{4.8} \\ \Rightarrow 10^4\lt x^2y \lt 10^5, 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答:, 故選\bbox[red, 2pt]{()}
解答:當x=0時,y=0,即f(0)=0, 只有(D)符合此條件, 故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
解答:\cos \theta-{\sqrt 3\over 2}i = \overline{-{1\over 2}+(\sin \theta )i} =-{1\over 2}-(\sin \theta )i \Rightarrow \cases{\cos \theta =-1/2\\ \sin \theta =\sqrt 3/2} \\ \Rightarrow \sin(2\theta)= 2\sin \theta \cos \theta =-{\sqrt 3\over 2}, 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答:∫20f(x)dx=∫10(√x+1)dx+∫21(x2+x)dx=[23x3/2+x]|10+[13x3+12x2]|21=53+(143−56)=336=112,故選(B)
解答:lim
解答:\cases{\log x=-2.24\\ \log y=9.28} \Rightarrow \cases{x=10^{-2.24} \\ y=10^{9.28}} \Rightarrow x^2 y=10^{-2.24\cdot 2+8.28} =10^{4.8} \\ \Rightarrow 10^4\lt x^2y \lt 10^5, 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答:, 故選\bbox[red, 2pt]{()}
解答:當x=0時,y=0,即f(0)=0, 只有(D)符合此條件, 故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
解答:\cos \theta-{\sqrt 3\over 2}i = \overline{-{1\over 2}+(\sin \theta )i} =-{1\over 2}-(\sin \theta )i \Rightarrow \cases{\cos \theta =-1/2\\ \sin \theta =\sqrt 3/2} \\ \Rightarrow \sin(2\theta)= 2\sin \theta \cos \theta =-{\sqrt 3\over 2}, 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答:\cases{A(0,6,-1) \\ B(3,3,-1)\\ C(4,1,1)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AC} =(4,-5,2)\\ \overrightarrow{BC} =(1,-2,2) } \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} =18 \\ |\overrightarrow{BC}|^2= 9} \\\Rightarrow \left({\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} \over |\overrightarrow{BC}|^2} \right) \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BC} =(2,-4,4), 故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答:a_n代表n層金字所需的火柴棒數量 \Rightarrow \cases{a_1=3\\ a_2=9\\ a_3=18} \\ 最底層(第1層)有n個三角形、第2層有n-1個三角形、第3層有n-2個三角形,\dots\\ 因此a_n=3\times(n+(n-1)+\cdots +1)=3\cdot {n(n+1)\over 2} \Rightarrow a_{50}= 3\cdot {50\cdot 51\over 2}=3825, 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答:
解答:a_n代表n層金字所需的火柴棒數量 \Rightarrow \cases{a_1=3\\ a_2=9\\ a_3=18} \\ 最底層(第1層)有n個三角形、第2層有n-1個三角形、第3層有n-2個三角形,\dots\\ 因此a_n=3\times(n+(n-1)+\cdots +1)=3\cdot {n(n+1)\over 2} \Rightarrow a_{50}= 3\cdot {50\cdot 51\over 2}=3825, 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答:
\cases{A(-3,4)\\ B(-1,2)\\ C(3,6)} \Rightarrow \cases{L_1= \overleftrightarrow{AB}: x+y-1=0\\ L_2=\overleftrightarrow{AC}: x-3y+15=0\\ L_3= \overleftrightarrow{BC}: x-y+3=0} \\ 原點三直線的下方\Rightarrow 所圍區域\cases{x+y-1\ge 0\\ x-3y+15\ge 0\\ x-y+3\le 0}, 故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答:\cases{T_A=4T_B \\ h_B=100} \Rightarrow T_B=0.085\cdot 100^{3/4} \Rightarrow T_A=4T_B=0.34\cdot 100^{3/4} = 0.085h_A^{3/4} \\ \Rightarrow h_A^{3/4}=4\cdot 100^{3/4} \Rightarrow h_A=4^{4/3} \cdot 100 \approx 1.26^4\cdot 100=252, 故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答:(B)\times: 極限不存在\\(C)\times: \cases{\lim_{x\to 1^+} {|x-1|\over x-1} =1 \\\lim_{x\to 1^-} {|x-1|\over x-1} =-1} \Rightarrow 極限不存在 \\(D)\times: 極限存在且連續\\, 故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答:B(3,2,4)對稱xy平面的對稱點B'(3,2,-4) \Rightarrow P=\overline{AB'} \cap xy平面 =(2,{5\over 2},0), 故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答:\cases{t=-1 \Rightarrow \overrightarrow{OP}=(-3,2)-(2,1)=(-5,1) \Rightarrow P_1(-5,1) \\ t=1 \Rightarrow \overrightarrow{OP}=(-3,2)+ (2,1)=(-1,3) \Rightarrow P_2=(-1,3)} \\ \Rightarrow \overline{P_1P_2}= \sqrt{20} =2\sqrt 5, 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答:\cases{T_A=4T_B \\ h_B=100} \Rightarrow T_B=0.085\cdot 100^{3/4} \Rightarrow T_A=4T_B=0.34\cdot 100^{3/4} = 0.085h_A^{3/4} \\ \Rightarrow h_A^{3/4}=4\cdot 100^{3/4} \Rightarrow h_A=4^{4/3} \cdot 100 \approx 1.26^4\cdot 100=252, 故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答:(B)\times: 極限不存在\\(C)\times: \cases{\lim_{x\to 1^+} {|x-1|\over x-1} =1 \\\lim_{x\to 1^-} {|x-1|\over x-1} =-1} \Rightarrow 極限不存在 \\(D)\times: 極限存在且連續\\, 故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答:B(3,2,4)對稱xy平面的對稱點B'(3,2,-4) \Rightarrow P=\overline{AB'} \cap xy平面 =(2,{5\over 2},0), 故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答:\cases{t=-1 \Rightarrow \overrightarrow{OP}=(-3,2)-(2,1)=(-5,1) \Rightarrow P_1(-5,1) \\ t=1 \Rightarrow \overrightarrow{OP}=(-3,2)+ (2,1)=(-1,3) \Rightarrow P_2=(-1,3)} \\ \Rightarrow \overline{P_1P_2}= \sqrt{20} =2\sqrt 5, 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
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解題僅供參考,統測歷年試題及詳解
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