國立臺灣師範大學113學年度碩士班招生考試
程目: 工程數學
適用系所: 機電工程學系
解答:xy′=y2+y⇒1y2+ydy=1xdx⇒lnyy+1=lnx+c1⇒y=c2x1−c2x⇒y(2)=2c21−2c2=4⇒c2=25⇒y=(2/5)x1−(2/5)x⇒y=2x5−2x

解答:(x2D2+2xD−6I)y=x2y″+2xy′−6y=0y=xm⇒{y′=mxm−1y″=m(m−1)xm−2⇒(m2−m+2m−6)xm=(m2+m−6)xm=0⇒(m+3)(m−2)xm=0⇒m=2,−3⇒y=c1x2+c2x−3⇒y′=2c1x−3c2x−4⇒{y(1)=c1+c2=0.5y′(1)=2c1−3c2=1.5⇒{c1=0.6c2=−0.1⇒y=0.6x2−0.1x−3

解答:{y′1=−2y1+3y2y′2=4y1−y2⇒y′=[−234−1][y1y2]≡AyA=[−234−1]=[3/4−111][200−5][4/74/7−4/73/7]⇒eAt=[3/4−111][e2t00e−5t][4/74/7−4/73/7]=[47e−5t+37e2t−37e−5t+37e2t−47e−5t+47e2t37e−5t+47e2t]⇒y=eAt[c1c2]⇒[43]=e0[c1c2]=[c1c2]⇒y=[47e−5t+37e2t−37e−5t+37e2t−47e−5t+47e2t37e−5t+47e2t][43]⇒y=[y1y2]=[e−5t+3e2t−e−5t+4e2t]
解答:(a)f=x4+y2+z⇒∇f=(fx,fy,fz)=(4x3,2y,1)⇒∇f(4,−1,3)=(256,−2,1)(b)∇2f=∂∂xfx+∂∂yfy+∂∂zfz=12x2+2+0=12x2+2(c)→v⋅∇f=((x+y)2,z2,2yz)⋅(4x3,2y,1)=4x3(x+y)2+2yz2+2yz(d)curl →v=|→i→j→k∂∂x∂∂y∂∂z(x+y)2z22yz|=−2(x+y)→k(e){∇f(3,0,2)=(108,0,1)→v(3,0,2)=(9,4,0)⇒Dvf(3,0,2)=(108,0,1)⋅(9,4,0)|(9,4,0)|=972√97

解答:(a)f(−x)=−f(x)⇒f(x) is odd⇒an=0bn=1π(∫0−π−sin(nx)dx+∫π0sin(nx)dx)=1π([1ncos(nx)]|0−π+[−1ncos(nx)]|π0)=1π⋅2n(1−(−1)n)=2nπ(1−(−1)n)⇒f(x)=∞∑n=12nπ(1−(−1)n)sin(nx)(b)f(x)=4πsinx+43πsin(3x)+45πsin(5x)+⋯⇒f(π2)=1=4π−43π+45π−⋯=4π(1−13+15−17+⋯)⇒1−13+15−17+⋯=π4
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