新竹中學 113 學年度教師第一次教師甄試數學科題目卷
一、填空題: 12 格,每格 6 分
解答:x23−y22=1⇒{a=√3b=√2⇒c=√5⇒{F1(√5,0)F2(−√5,0)又23x−yy′=0⇒y′=2x3y⇒y|′(3,−2)=6−6=−1⇒切線方程式:y+2=−(x−3)⇒x+y=1⇒Q(1,0)⇒{F1(√5,0)P(3,−2)Q(1,0)A(3,)∠APF1=θ1∠F1PQ=θ2⇒△PAQ為等腰直角△⇒{tanθ1=(3−√5)/2tan∠APQ=tan(θ1+θ2)=1⇒tanθ2+3−√521−tanθ2⋅3−√52=1⇒tanθ2=−1+√55−√5=√55
解答:a+c=2b⇒sinA+sinC=2sinB⇒2sinA+C2cosA−C2=4sinB2cosB2⇒2sin(π2−B2)cosA−C2=4sinB2cosB2⇒cosA−C2=2sinB2⇒cosπ6=√32=2sinB2⇒sinB2=√34⇒cosB=1−2sin2B2=58
解答:△OPR面積=7⇒→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=14→OB=x→OP+y→OR⇒{x=→OB與→OR所張出的平行四邊形面積→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=1414=1y=→OB與→OP所張出的平行四邊形面積→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=2814=2⇒(x,y)=(1,2)
解答:{5=1+4=2+3=3+2=4+1⇒擲出點數和為5的機率p=436=197=1+6=2+5+3+4=4+3=5+2=6+1⇒擲出點數和為7的機率q=636=16⇒不是5也不是7的機率r=1−19−16=1318點數和為5比點數和為7先出現的情形:1.只擲1次:第1次擲就出現5,機率=p2.擲2次:第1次不是5也不是7,但第2次一定是5,機率=rp3.擲3次:第1次及第2次都不是5也不是7,但第3次一定是5,機率=r2p4.擲n次:第1次到及第n-1次都不是5也不是7,但第n次一定是5,機率=rn−1p機率總和=p+pr+pr2+⋯+prn−1+⋯=p11−r=19⋅185=25
解答:
解答:a+c=2b⇒sinA+sinC=2sinB⇒2sinA+C2cosA−C2=4sinB2cosB2⇒2sin(π2−B2)cosA−C2=4sinB2cosB2⇒cosA−C2=2sinB2⇒cosπ6=√32=2sinB2⇒sinB2=√34⇒cosB=1−2sin2B2=58
解答:△OPR面積=7⇒→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=14→OB=x→OP+y→OR⇒{x=→OB與→OR所張出的平行四邊形面積→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=1414=1y=→OB與→OP所張出的平行四邊形面積→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=2814=2⇒(x,y)=(1,2)
解答:{5=1+4=2+3=3+2=4+1⇒擲出點數和為5的機率p=436=197=1+6=2+5+3+4=4+3=5+2=6+1⇒擲出點數和為7的機率q=636=16⇒不是5也不是7的機率r=1−19−16=1318點數和為5比點數和為7先出現的情形:1.只擲1次:第1次擲就出現5,機率=p2.擲2次:第1次不是5也不是7,但第2次一定是5,機率=rp3.擲3次:第1次及第2次都不是5也不是7,但第3次一定是5,機率=r2p4.擲n次:第1次到及第n-1次都不是5也不是7,但第n次一定是5,機率=rn−1p機率總和=p+pr+pr2+⋯+prn−1+⋯=p11−r=19⋅185=25
解答:
假設正方形邊長為a⇒{cos∠PBA=a2+34acos∠PBC=a2−54a∠PBC+∠PBC=90∘⇒cos2∠PBA+cos2∠PBC=1⇒(a2+34a)2+(a2−54a)2=1⇒2a4−4a2+34=16a2⇒a4−10a2+17=0⇒面積=a2=5+2√2
解答:f′(x)=−3√2x−1+2√4−3x2√4−3x⋅√2x−1=0⇒2√4−3x=3√2x−1⇒x=56⇒{f(56)=5√66f(12)=√52f(43)=√53⇒f(5/6)>f(1/2)>f(4/3)⇒(α,M)=(56,5√66)
解答:a2+b2要最大⇒y=x2−ax+b圖形在x軸最寬⇒x2−ax+b=(x+1)(x−2)=x2−x−2⇒a2+b2=1+4=5⇒M=5a2+b2要最小,先假設β=1⇒x2−ax+b=(x−α)(x−1)=x2−(α+1)x+αa2+b2=(α+1)2+α2=2α2+2α+1⇒α=−12⇒a2+b2=12再假設α=0⇒x2−ax+b=x(x−β)=x2−βx⇒a2+b2=β2最小值=1<12因此m=12⇒(M,m)=(5,12)
解答:錯誤公式:∑(xi+μx)(yi+μy)∑(xi+μx)2=∑(xiyi+μxyi+xiμy+μxμy)∑(x2i+2μxxi+μ2x)=∑(xiyi+2yi+8xi+16)∑(x2i+4xi+4)=∑xiyi+2∑yi+8∑xi+∑16∑x2i+4∑xi+∑4=∑xiyi+2(5⋅8)+8(5⋅2)+16⋅530+4(5⋅2)+4⋅5=∑xiyi+24090=103⇒∑xiyi=60正確公式:∑(xi−μx)(yi−μy)∑(xi−μx)2=∑(xiyi−μxyi−xiμy+μxμy)∑(x2i−2μxxi+μ2x)=60−80−80+8030−40+20=−2⇒迴歸直線:y−μy=−2(x−μx)⇒y−8=−2(x−2)
解答:{A(2,3,6)B(6,2,3)C(3,6,2)將原點平移至A→{A(0,0,0)B(4,−1,−3)C(1,3,−4)⇒{平面E=△ABC:x+y+z=0G=△ABC重心=(5/3,2/3,−7/3)直線L通過G且方向向量=(1,1,1)⇒L:(t+53,t+23,t−73),t∈RD在L上⇒D((s+53,s+23,s−73),s∈R{→AB=(4,−1,−3)→CD=(s+23,s−73,s+53)⇒→u=→AB×→CD=(2s−263,−7s−263,5s−263)⇒→AC=(1,3,−4)在→u上的投影=13√10⇒→AC⋅→u|→u|=−39s√78s2+6763=13√10⇒2028s2=1142443⇒{s=133s=−133⇒{D=(6,5,2)D=(−83,−113,−203)平移回去→{D=(6,5,2)+(2,3,6)=(8,8,8)D=(−83,−113,−203)+(2,3,6)=(−23,−23,−23)⇒D=(8,8,8),(−23,−23,−23)
解答:
解答:a2+b2要最大⇒y=x2−ax+b圖形在x軸最寬⇒x2−ax+b=(x+1)(x−2)=x2−x−2⇒a2+b2=1+4=5⇒M=5a2+b2要最小,先假設β=1⇒x2−ax+b=(x−α)(x−1)=x2−(α+1)x+αa2+b2=(α+1)2+α2=2α2+2α+1⇒α=−12⇒a2+b2=12再假設α=0⇒x2−ax+b=x(x−β)=x2−βx⇒a2+b2=β2最小值=1<12因此m=12⇒(M,m)=(5,12)
解答:錯誤公式:∑(xi+μx)(yi+μy)∑(xi+μx)2=∑(xiyi+μxyi+xiμy+μxμy)∑(x2i+2μxxi+μ2x)=∑(xiyi+2yi+8xi+16)∑(x2i+4xi+4)=∑xiyi+2∑yi+8∑xi+∑16∑x2i+4∑xi+∑4=∑xiyi+2(5⋅8)+8(5⋅2)+16⋅530+4(5⋅2)+4⋅5=∑xiyi+24090=103⇒∑xiyi=60正確公式:∑(xi−μx)(yi−μy)∑(xi−μx)2=∑(xiyi−μxyi−xiμy+μxμy)∑(x2i−2μxxi+μ2x)=60−80−80+8030−40+20=−2⇒迴歸直線:y−μy=−2(x−μx)⇒y−8=−2(x−2)
解答:{A(2,3,6)B(6,2,3)C(3,6,2)將原點平移至A→{A(0,0,0)B(4,−1,−3)C(1,3,−4)⇒{平面E=△ABC:x+y+z=0G=△ABC重心=(5/3,2/3,−7/3)直線L通過G且方向向量=(1,1,1)⇒L:(t+53,t+23,t−73),t∈RD在L上⇒D((s+53,s+23,s−73),s∈R{→AB=(4,−1,−3)→CD=(s+23,s−73,s+53)⇒→u=→AB×→CD=(2s−263,−7s−263,5s−263)⇒→AC=(1,3,−4)在→u上的投影=13√10⇒→AC⋅→u|→u|=−39s√78s2+6763=13√10⇒2028s2=1142443⇒{s=133s=−133⇒{D=(6,5,2)D=(−83,−113,−203)平移回去→{D=(6,5,2)+(2,3,6)=(8,8,8)D=(−83,−113,−203)+(2,3,6)=(−23,−23,−23)⇒D=(8,8,8),(−23,−23,−23)
解答:
A,B為切點⇒∠CAP=∠CBP=90∘⇒{外接圓圓心Q(6,4)為¯CP的中點¯CP為外接圓直徑假設C(a,b)⇒Q=(P+C)÷2⇒P(12−a,8−b)⇒{切線L1=↔AP:y=23(x−12+a)+8−b切線L2=↔BP:y=32(x−12+a)+8−b⇒{L1:2x−3y+2a−3b=0L2:3x−2y+3a−2b−20=0⇒{d(C,L1)=4√13d(C,L2)=4√13⇒{|4a−6b|√13=4√13|6a−4b−20|√13=4√13有四種可能,挑a,b<0⇒{4a−6b=526a−4b−20=−52⇒{a=−20b=−22⇒C(−20,−22)
解答:{1∘=π180∑nk=1k(k+1)(k+2)=14n(n+1)(n+2)(n+3)∑nk=1k(k+1)(k+2)(k+3)=15n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)⇒lim
解答: \cases{ab-{11\over 6}b=-1 \Rightarrow a={11\over 6}-{1\over b}\\ bc-{9\over 4}c=-1 \Rightarrow b={9c-4\over 4c}} \Rightarrow a={11\over 6}-{4c\over 9c-4} \\ ac-{8\over 3}a=-1 \Rightarrow a(c-{8\over 3})=-1 \Rightarrow \left({11\over 6}-{4c\over 9c-4} \right) \left(c-{8\over 3} \right)=-1 \\ \Rightarrow {75c-44\over 54c-24} \times {3c-8\over 3}=-1 \Rightarrow (75c-44)(3c-8)=-3(54c-24) \\ \Rightarrow 45c^2-114c+56=0 \Rightarrow (3c-2)(15c-28)=0 \Rightarrow c=\bbox[red, 2pt]{{2\over 3},{28\over 15}}
解答:$$自已看吧\to 參考資料$$
解答:{1∘=π180∑nk=1k(k+1)(k+2)=14n(n+1)(n+2)(n+3)∑nk=1k(k+1)(k+2)(k+3)=15n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)⇒lim
解答:\begin{bmatrix}\cos a^\circ & \sin a^\circ\\ \sin a^\circ & -\cos a^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos (a+1)^\circ & \sin (a+1)^\circ\\ \sin (a+1)^\circ & -\cos (a+1)^\circ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos 1^\circ & \sin 1^\circ \\-\sin 1^\circ & \cos 1^\circ \end{bmatrix} \\ \Rightarrow B=\begin{bmatrix}\cos 1^\circ & \sin 1^\circ \\-\sin 1^\circ & \cos 1^\circ \end{bmatrix}^{30}= \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix}^{15} = \begin{bmatrix}\cos 4^\circ & \sin 4^\circ \\-\sin 4^\circ & \cos 4^\circ \end{bmatrix}^{7} \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\cos 8^\circ & \sin 8^\circ \\-\sin 8^\circ & \cos 8^\circ \end{bmatrix}^3 \begin{bmatrix}\cos 4^\circ & \sin 4^\circ \\-\sin 4^\circ & \cos 4^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\cos 16^\circ & \sin 16^\circ \\-\sin 16^\circ & \cos 16^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 8^\circ & \sin 8^\circ \\-\sin 8^\circ & \cos 8^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 4^\circ & \sin 4^\circ \\-\sin 4^\circ & \cos 4^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\cos 24^\circ & \sin 24^\circ \\-\sin 24^\circ & \cos 24^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 6^\circ & \sin 6^\circ \\-\sin 6^\circ & \cos 6^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos 30^\circ & \sin 30^\circ \\-\sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\sqrt 3/2 & 1/2 \\-1/2 & \sqrt 3/2 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow BA= \begin{bmatrix}\sqrt 3/2 & 1/2 \\-1/2 & \sqrt 3/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sqrt 3/2 & \sqrt 3 \\ 1/2 & -3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & -2\sqrt 3 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \begin{bmatrix}x' \\y' \end{bmatrix}= BA \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x \\ -2\sqrt 3y \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{x=x' \\ y=y'/-2\sqrt 3} \Rightarrow x'^2+({y'\over -2\sqrt 3})^2=1 \\ \Rightarrow x'^2+{y'^2\over 12}=1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\Gamma_2: x^2+{y^2\over 12}=1}
二、 計算證明題: 3 題(28 分)
解答:\textbf{(1)}\; a_n=3a_{n-1}+ 1 = 3(3a_{n-2}+1)+1=3^2a_{n-2}+3+1 =\cdots \\\qquad =3^{n-1}a_1+3^{n-2}+ 3^{n-3}+ \cdots + 1 =3^{n-1}+3^{n-2}+ 3^{n-3}+ \cdots + 1 \\ \qquad={3^n-1\over 2} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{a_n={3^n-1\over 2},n\in \mathbb N }解答: \cases{ab-{11\over 6}b=-1 \Rightarrow a={11\over 6}-{1\over b}\\ bc-{9\over 4}c=-1 \Rightarrow b={9c-4\over 4c}} \Rightarrow a={11\over 6}-{4c\over 9c-4} \\ ac-{8\over 3}a=-1 \Rightarrow a(c-{8\over 3})=-1 \Rightarrow \left({11\over 6}-{4c\over 9c-4} \right) \left(c-{8\over 3} \right)=-1 \\ \Rightarrow {75c-44\over 54c-24} \times {3c-8\over 3}=-1 \Rightarrow (75c-44)(3c-8)=-3(54c-24) \\ \Rightarrow 45c^2-114c+56=0 \Rightarrow (3c-2)(15c-28)=0 \Rightarrow c=\bbox[red, 2pt]{{2\over 3},{28\over 15}}
解答:$$自已看吧\to 參考資料$$
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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
老師好,請問計算第1題的第2小題證明需要使用夾擠嗎?
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