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2024年5月15日 星期三

113年新竹高中教甄-數學詳解

新竹中學 113 學年度教師第一次教師甄試數學科題目卷

一、填空題: 12 格,每格 6 分

解答

x23y22=1{a=3b=2c=5{F1(5,0)F2(5,0)23xyy=0y=2x3yy|(3,2)=66=1y+2=(x3)x+y=1Q(1,0){F1(5,0)P(3,2)Q(1,0)A(3,)APF1=θ1F1PQ=θ2PAQ{tanθ1=(35)/2tanAPQ=tan(θ1+θ2)=1tanθ2+3521tanθ2352=1tanθ2=1+555=55
解答a+c=2bsinA+sinC=2sinB2sinA+C2cosAC2=4sinB2cosB22sin(π2B2)cosAC2=4sinB2cosB2cosAC2=2sinB2cosπ6=32=2sinB2sinB2=34cosB=12sin2B2=58

解答OPR=7OPOR=14OB=xOP+yOR{x=OBOROPOR=1414=1y=OBOPOPOR=2814=2(x,y)=(1,2)
解答{5=1+4=2+3=3+2=4+15p=436=197=1+6=2+5+3+4=4+3=5+2=6+17q=636=1657r=11916=1318571.115=p2.215725=rp3.3125735=r2p4.n1n157n5=rn1p=p+pr+pr2++prn1+=p11r=19185=25
解答
a{cosPBA=a2+34acosPBC=a254aPBC+PBC=90cos2PBA+cos2PBC=1(a2+34a)2+(a254a)2=12a44a2+34=16a2a410a2+17=0=a2=5+22
解答f(x)=32x1+243x243x2x1=0243x=32x1x=56{f(56)=566f(12)=52f(43)=53f(5/6)>f(1/2)>f(4/3)(α,M)=(56,566)
解答a2+b2y=x2ax+bxx2ax+b=(x+1)(x2)=x2x2a2+b2=1+4=5M=5a2+b2β=1x2ax+b=(xα)(x1)=x2(α+1)x+αa2+b2=(α+1)2+α2=2α2+2α+1α=12a2+b2=12α=0x2ax+b=x(xβ)=x2βxa2+b2=β21<12m=12(M,m)=(5,12)
解答(xi+μx)(yi+μy)(xi+μx)2=(xiyi+μxyi+xiμy+μxμy)(x2i+2μxxi+μ2x)=(xiyi+2yi+8xi+16)(x2i+4xi+4)=xiyi+2yi+8xi+16x2i+4xi+4=xiyi+2(58)+8(52)+16530+4(52)+45=xiyi+24090=103xiyi=60(xiμx)(yiμy)(xiμx)2=(xiyiμxyixiμy+μxμy)(x2i2μxxi+μ2x)=608080+803040+20=2yμy=2(xμx)y8=2(x2)
解答\cases{A(2,3,6)\\ B(6,2,3)\\ C(3,6,2)} \xrightarrow{將原點平移至A} \cases{A(0,0,0)\\ B(4,-1,-3)\\ C(1,3,-4)} \Rightarrow \cases{平面E=\triangle ABC:x+y+z=0\\ G=\triangle ABC重心=(5/3,2/3,-7/3)}\\ 直線L通過G且方向向量=(1,1,1) \Rightarrow L:(t+{5\over 3},t+{2\over 3},t-{7\over 3}),t\in \mathbb R\\ D在L上\Rightarrow D((s+{5\over 3},s+{2\over 3},s-{7\over 3}),s\in \mathbb R \\ \cases{\overrightarrow{AB}=(4,-1,-3)\\ \overrightarrow{CD}= (s+{2\over 3}, s-{7\over 3},s+{5\over 3})} \Rightarrow \vec u= \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} = \left(2s-{26\over 3}, -7s-{26\over 3},5s-{26\over 3}  \right) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} =(1,3,-4)在 \vec u上的投影={13\over \sqrt{10}} \Rightarrow {\overrightarrow{AC} \cdot \vec u\over |\vec u|} ={-39s \over \sqrt{78s^2+{676\over 3}}} ={13 \over \sqrt{10}} \\ \Rightarrow 2028s^2= {114244\over 3} \Rightarrow \cases{s={13\over 3}\\ s=-{13\over 3}} \Rightarrow \cases{D=(6,5,2)\\ D=(-{8\over 3},-{11\over 3}, -{20\over 3})} \\\xrightarrow {平移回去} \cases{D=(6,5,2)+(2, 3,6)=(8,8,8) \\ D=(-{8\over 3},-{11\over 3}, -{20\over 3}) +(2,3,6) =(-{2\over 3},-{2\over 3} ,-{2\over 3})} \Rightarrow D=\bbox[red, 2pt]{(8,8,8),(-{2\over 3},-{2\over 3} ,-{2\over 3})}
解答


A,B為切點 \Rightarrow \angle CAP=\angle CBP=90^\circ \Rightarrow \cases{外接圓圓心Q(6,4)為\overline{CP}的中點 \\ \overline{CP}為外接圓直徑}\\ 假設C(a,b) \Rightarrow Q=(P+C)\div 2 \Rightarrow P(12-a,8-b)\\ \Rightarrow \cases{切線L_1=\overleftrightarrow{AP}: y={2\over 3}(x-12+a)+8-b \\ 切線L_2=\overleftrightarrow{BP}: y={3\over 2}(x-12+a)+8-b}\Rightarrow \cases{L_1:2x-3y+2a-3b=0\\ L_2:3x-2y+3a-2b-20=0}\\ \Rightarrow \cases{d(C,L_1)=4\sqrt{13} \\ d(C,L_2)=4\sqrt{13}}  \Rightarrow \cases{\cfrac{|4a-6b|}{\sqrt{13}} =4\sqrt{13} \\ \cfrac{|6a-4b-20| }{\sqrt{13}} = 4\sqrt{13}} 有四種可能,挑a,b\lt 0\\ \Rightarrow \cases{4a-6b=52\\ 6a-4b-20=-52} \Rightarrow \cases{a=-20\\ b=-22} \Rightarrow C\bbox[red, 2pt]{(-20,-22)}
解答\cases{1^\circ={\pi \over 180} \\ \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)={1\over 4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\ \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)(k+3) ={1\over 5}n(n+1)(n+2)(n+3) (n+4)} \\ \Rightarrow \lim_{n\to \infty} a_n=  \lim_{n\to \infty} \sin {\pi\over 180 n} \cdot {4\over 5}(n+4)=  \lim_{n\to \infty} \cfrac{{4\over 5}\sin {\pi\over 180 n}}{ { 1\over n+4}} \\=  \lim_{n\to \infty} \cfrac{\left({4\over 5}\sin {\pi\over 180 n}\right)'}{ ({ 1\over n+4})'} =  \lim_{n\to \infty} \cfrac{{4\over 5} \cdot {-{\pi \over 180n^2}}\cos {\pi\over 180 n}}{ -{ 1\over (n+4)^2}} ={4\over 5} \cdot {\pi \over 180} = \bbox[red, 2pt]{\pi \over 225}
解答\begin{bmatrix}\cos a^\circ & \sin a^\circ\\ \sin a^\circ & -\cos a^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos (a+1)^\circ & \sin (a+1)^\circ\\ \sin (a+1)^\circ & -\cos (a+1)^\circ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos 1^\circ & \sin 1^\circ \\-\sin 1^\circ & \cos 1^\circ \end{bmatrix} \\ \Rightarrow B=\begin{bmatrix}\cos 1^\circ & \sin 1^\circ \\-\sin 1^\circ & \cos 1^\circ \end{bmatrix}^{30}= \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix}^{15} = \begin{bmatrix}\cos 4^\circ & \sin 4^\circ \\-\sin 4^\circ & \cos 4^\circ \end{bmatrix}^{7} \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\cos 8^\circ & \sin 8^\circ \\-\sin 8^\circ & \cos 8^\circ \end{bmatrix}^3 \begin{bmatrix}\cos 4^\circ & \sin 4^\circ \\-\sin 4^\circ & \cos 4^\circ \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\cos 16^\circ & \sin 16^\circ \\-\sin 16^\circ & \cos 16^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 8^\circ & \sin 8^\circ \\-\sin 8^\circ & \cos 8^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 4^\circ & \sin 4^\circ \\-\sin 4^\circ & \cos 4^\circ \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\cos 24^\circ & \sin 24^\circ \\-\sin 24^\circ & \cos 24^\circ \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}\cos 6^\circ & \sin 6^\circ \\-\sin 6^\circ & \cos 6^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos 30^\circ & \sin 30^\circ \\-\sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\sqrt 3/2 & 1/2 \\-1/2 & \sqrt 3/2 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow BA= \begin{bmatrix}\sqrt 3/2 & 1/2 \\-1/2 & \sqrt 3/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sqrt 3/2 & \sqrt 3 \\ 1/2 & -3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & -2\sqrt 3 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \begin{bmatrix}x' \\y' \end{bmatrix}= BA \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x \\ -2\sqrt 3y \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{x=x' \\ y=y'/-2\sqrt 3} \Rightarrow x'^2+({y'\over -2\sqrt 3})^2=1 \\ \Rightarrow x'^2+{y'^2\over 12}=1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\Gamma_2: x^2+{y^2\over 12}=1}

二、 計算證明題: 3 題(28 分)

解答\textbf{(1)}\; a_n=3a_{n-1}+ 1 = 3(3a_{n-2}+1)+1=3^2a_{n-2}+3+1 =\cdots \\\qquad  =3^{n-1}a_1+3^{n-2}+ 3^{n-3}+ \cdots + 1 =3^{n-1}+3^{n-2}+ 3^{n-3}+ \cdots + 1  \\ \qquad={3^n-1\over 2} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{a_n={3^n-1\over 2},n\in \mathbb N }
解答 \cases{ab-{11\over 6}b=-1 \Rightarrow a={11\over 6}-{1\over b}\\ bc-{9\over 4}c=-1 \Rightarrow b={9c-4\over 4c}} \Rightarrow a={11\over 6}-{4c\over 9c-4} \\ ac-{8\over 3}a=-1 \Rightarrow a(c-{8\over 3})=-1 \Rightarrow \left({11\over 6}-{4c\over 9c-4} \right) \left(c-{8\over 3} \right)=-1 \\ \Rightarrow {75c-44\over 54c-24} \times {3c-8\over 3}=-1 \Rightarrow (75c-44)(3c-8)=-3(54c-24) \\ \Rightarrow 45c^2-114c+56=0 \Rightarrow (3c-2)(15c-28)=0 \Rightarrow c=\bbox[red, 2pt]{{2\over 3},{28\over 15}}
解答:$$自已看吧\to 參考資料$$

========================= END ====================

解題僅供參考,其他歷年試題及詳解




1 則留言:

  1. 老師好,請問計算第1題的第2小題證明需要使用夾擠嗎?

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