新竹中學 113 學年度教師第一次教師甄試數學科題目卷
一、填空題: 12 格,每格 6 分
解答:x23−y22=1⇒{a=√3b=√2⇒c=√5⇒{F1(√5,0)F2(−√5,0)又23x−yy′=0⇒y′=2x3y⇒y|′(3,−2)=6−6=−1⇒切線方程式:y+2=−(x−3)⇒x+y=1⇒Q(1,0)⇒{F1(√5,0)P(3,−2)Q(1,0)A(3,)∠APF1=θ1∠F1PQ=θ2⇒△PAQ為等腰直角△⇒{tanθ1=(3−√5)/2tan∠APQ=tan(θ1+θ2)=1⇒tanθ2+3−√521−tanθ2⋅3−√52=1⇒tanθ2=−1+√55−√5=√55
解答:a+c=2b⇒sinA+sinC=2sinB⇒2sinA+C2cosA−C2=4sinB2cosB2⇒2sin(π2−B2)cosA−C2=4sinB2cosB2⇒cosA−C2=2sinB2⇒cosπ6=√32=2sinB2⇒sinB2=√34⇒cosB=1−2sin2B2=58
解答:△OPR面積=7⇒→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=14→OB=x→OP+y→OR⇒{x=→OB與→OR所張出的平行四邊形面積→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=1414=1y=→OB與→OP所張出的平行四邊形面積→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=2814=2⇒(x,y)=(1,2)
解答:{5=1+4=2+3=3+2=4+1⇒擲出點數和為5的機率p=436=197=1+6=2+5+3+4=4+3=5+2=6+1⇒擲出點數和為7的機率q=636=16⇒不是5也不是7的機率r=1−19−16=1318點數和為5比點數和為7先出現的情形:1.只擲1次:第1次擲就出現5,機率=p2.擲2次:第1次不是5也不是7,但第2次一定是5,機率=rp3.擲3次:第1次及第2次都不是5也不是7,但第3次一定是5,機率=r2p4.擲n次:第1次到及第n-1次都不是5也不是7,但第n次一定是5,機率=rn−1p機率總和=p+pr+pr2+⋯+prn−1+⋯=p11−r=19⋅185=25
解答:
解答:a+c=2b⇒sinA+sinC=2sinB⇒2sinA+C2cosA−C2=4sinB2cosB2⇒2sin(π2−B2)cosA−C2=4sinB2cosB2⇒cosA−C2=2sinB2⇒cosπ6=√32=2sinB2⇒sinB2=√34⇒cosB=1−2sin2B2=58
解答:△OPR面積=7⇒→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=14→OB=x→OP+y→OR⇒{x=→OB與→OR所張出的平行四邊形面積→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=1414=1y=→OB與→OP所張出的平行四邊形面積→OP與→OR所張出的平行四邊形面積=2814=2⇒(x,y)=(1,2)
解答:{5=1+4=2+3=3+2=4+1⇒擲出點數和為5的機率p=436=197=1+6=2+5+3+4=4+3=5+2=6+1⇒擲出點數和為7的機率q=636=16⇒不是5也不是7的機率r=1−19−16=1318點數和為5比點數和為7先出現的情形:1.只擲1次:第1次擲就出現5,機率=p2.擲2次:第1次不是5也不是7,但第2次一定是5,機率=rp3.擲3次:第1次及第2次都不是5也不是7,但第3次一定是5,機率=r2p4.擲n次:第1次到及第n-1次都不是5也不是7,但第n次一定是5,機率=rn−1p機率總和=p+pr+pr2+⋯+prn−1+⋯=p11−r=19⋅185=25
解答:
假設正方形邊長為a⇒{cos∠PBA=a2+34acos∠PBC=a2−54a∠PBC+∠PBC=90∘⇒cos2∠PBA+cos2∠PBC=1⇒(a2+34a)2+(a2−54a)2=1⇒2a4−4a2+34=16a2⇒a4−10a2+17=0⇒面積=a2=5+2√2
解答:f′(x)=−3√2x−1+2√4−3x2√4−3x⋅√2x−1=0⇒2√4−3x=3√2x−1⇒x=56⇒{f(56)=5√66f(12)=√52f(43)=√53⇒f(5/6)>f(1/2)>f(4/3)⇒(α,M)=(56,5√66)
解答:a2+b2要最大⇒y=x2−ax+b圖形在x軸最寬⇒x2−ax+b=(x+1)(x−2)=x2−x−2⇒a2+b2=1+4=5⇒M=5a2+b2要最小,先假設β=1⇒x2−ax+b=(x−α)(x−1)=x2−(α+1)x+αa2+b2=(α+1)2+α2=2α2+2α+1⇒α=−12⇒a2+b2=12再假設α=0⇒x2−ax+b=x(x−β)=x2−βx⇒a2+b2=β2最小值=1<12因此m=12⇒(M,m)=(5,12)
解答:錯誤公式:∑(xi+μx)(yi+μy)∑(xi+μx)2=∑(xiyi+μxyi+xiμy+μxμy)∑(x2i+2μxxi+μ2x)=∑(xiyi+2yi+8xi+16)∑(x2i+4xi+4)=∑xiyi+2∑yi+8∑xi+∑16∑x2i+4∑xi+∑4=∑xiyi+2(5⋅8)+8(5⋅2)+16⋅530+4(5⋅2)+4⋅5=∑xiyi+24090=103⇒∑xiyi=60正確公式:∑(xi−μx)(yi−μy)∑(xi−μx)2=∑(xiyi−μxyi−xiμy+μxμy)∑(x2i−2μxxi+μ2x)=60−80−80+8030−40+20=−2⇒迴歸直線:y−μy=−2(x−μx)⇒y−8=−2(x−2)
解答:\cases{A(2,3,6)\\ B(6,2,3)\\ C(3,6,2)} \xrightarrow{將原點平移至A} \cases{A(0,0,0)\\ B(4,-1,-3)\\ C(1,3,-4)} \Rightarrow \cases{平面E=\triangle ABC:x+y+z=0\\ G=\triangle ABC重心=(5/3,2/3,-7/3)}\\ 直線L通過G且方向向量=(1,1,1) \Rightarrow L:(t+{5\over 3},t+{2\over 3},t-{7\over 3}),t\in \mathbb R\\ D在L上\Rightarrow D((s+{5\over 3},s+{2\over 3},s-{7\over 3}),s\in \mathbb R \\ \cases{\overrightarrow{AB}=(4,-1,-3)\\ \overrightarrow{CD}= (s+{2\over 3}, s-{7\over 3},s+{5\over 3})} \Rightarrow \vec u= \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} = \left(2s-{26\over 3}, -7s-{26\over 3},5s-{26\over 3} \right) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} =(1,3,-4)在 \vec u上的投影={13\over \sqrt{10}} \Rightarrow {\overrightarrow{AC} \cdot \vec u\over |\vec u|} ={-39s \over \sqrt{78s^2+{676\over 3}}} ={13 \over \sqrt{10}} \\ \Rightarrow 2028s^2= {114244\over 3} \Rightarrow \cases{s={13\over 3}\\ s=-{13\over 3}} \Rightarrow \cases{D=(6,5,2)\\ D=(-{8\over 3},-{11\over 3}, -{20\over 3})} \\\xrightarrow {平移回去} \cases{D=(6,5,2)+(2, 3,6)=(8,8,8) \\ D=(-{8\over 3},-{11\over 3}, -{20\over 3}) +(2,3,6) =(-{2\over 3},-{2\over 3} ,-{2\over 3})} \Rightarrow D=\bbox[red, 2pt]{(8,8,8),(-{2\over 3},-{2\over 3} ,-{2\over 3})}
解答:
解答:a2+b2要最大⇒y=x2−ax+b圖形在x軸最寬⇒x2−ax+b=(x+1)(x−2)=x2−x−2⇒a2+b2=1+4=5⇒M=5a2+b2要最小,先假設β=1⇒x2−ax+b=(x−α)(x−1)=x2−(α+1)x+αa2+b2=(α+1)2+α2=2α2+2α+1⇒α=−12⇒a2+b2=12再假設α=0⇒x2−ax+b=x(x−β)=x2−βx⇒a2+b2=β2最小值=1<12因此m=12⇒(M,m)=(5,12)
解答:錯誤公式:∑(xi+μx)(yi+μy)∑(xi+μx)2=∑(xiyi+μxyi+xiμy+μxμy)∑(x2i+2μxxi+μ2x)=∑(xiyi+2yi+8xi+16)∑(x2i+4xi+4)=∑xiyi+2∑yi+8∑xi+∑16∑x2i+4∑xi+∑4=∑xiyi+2(5⋅8)+8(5⋅2)+16⋅530+4(5⋅2)+4⋅5=∑xiyi+24090=103⇒∑xiyi=60正確公式:∑(xi−μx)(yi−μy)∑(xi−μx)2=∑(xiyi−μxyi−xiμy+μxμy)∑(x2i−2μxxi+μ2x)=60−80−80+8030−40+20=−2⇒迴歸直線:y−μy=−2(x−μx)⇒y−8=−2(x−2)
解答:\cases{A(2,3,6)\\ B(6,2,3)\\ C(3,6,2)} \xrightarrow{將原點平移至A} \cases{A(0,0,0)\\ B(4,-1,-3)\\ C(1,3,-4)} \Rightarrow \cases{平面E=\triangle ABC:x+y+z=0\\ G=\triangle ABC重心=(5/3,2/3,-7/3)}\\ 直線L通過G且方向向量=(1,1,1) \Rightarrow L:(t+{5\over 3},t+{2\over 3},t-{7\over 3}),t\in \mathbb R\\ D在L上\Rightarrow D((s+{5\over 3},s+{2\over 3},s-{7\over 3}),s\in \mathbb R \\ \cases{\overrightarrow{AB}=(4,-1,-3)\\ \overrightarrow{CD}= (s+{2\over 3}, s-{7\over 3},s+{5\over 3})} \Rightarrow \vec u= \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} = \left(2s-{26\over 3}, -7s-{26\over 3},5s-{26\over 3} \right) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} =(1,3,-4)在 \vec u上的投影={13\over \sqrt{10}} \Rightarrow {\overrightarrow{AC} \cdot \vec u\over |\vec u|} ={-39s \over \sqrt{78s^2+{676\over 3}}} ={13 \over \sqrt{10}} \\ \Rightarrow 2028s^2= {114244\over 3} \Rightarrow \cases{s={13\over 3}\\ s=-{13\over 3}} \Rightarrow \cases{D=(6,5,2)\\ D=(-{8\over 3},-{11\over 3}, -{20\over 3})} \\\xrightarrow {平移回去} \cases{D=(6,5,2)+(2, 3,6)=(8,8,8) \\ D=(-{8\over 3},-{11\over 3}, -{20\over 3}) +(2,3,6) =(-{2\over 3},-{2\over 3} ,-{2\over 3})} \Rightarrow D=\bbox[red, 2pt]{(8,8,8),(-{2\over 3},-{2\over 3} ,-{2\over 3})}
解答:
A,B為切點 \Rightarrow \angle CAP=\angle CBP=90^\circ \Rightarrow \cases{外接圓圓心Q(6,4)為\overline{CP}的中點 \\ \overline{CP}為外接圓直徑}\\ 假設C(a,b) \Rightarrow Q=(P+C)\div 2 \Rightarrow P(12-a,8-b)\\ \Rightarrow \cases{切線L_1=\overleftrightarrow{AP}: y={2\over 3}(x-12+a)+8-b \\ 切線L_2=\overleftrightarrow{BP}: y={3\over 2}(x-12+a)+8-b}\Rightarrow \cases{L_1:2x-3y+2a-3b=0\\ L_2:3x-2y+3a-2b-20=0}\\ \Rightarrow \cases{d(C,L_1)=4\sqrt{13} \\ d(C,L_2)=4\sqrt{13}} \Rightarrow \cases{\cfrac{|4a-6b|}{\sqrt{13}} =4\sqrt{13} \\ \cfrac{|6a-4b-20| }{\sqrt{13}} = 4\sqrt{13}} 有四種可能,挑a,b\lt 0\\ \Rightarrow \cases{4a-6b=52\\ 6a-4b-20=-52} \Rightarrow \cases{a=-20\\ b=-22} \Rightarrow C\bbox[red, 2pt]{(-20,-22)}
解答:\cases{1^\circ={\pi \over 180} \\ \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)={1\over 4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\ \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)(k+3) ={1\over 5}n(n+1)(n+2)(n+3) (n+4)} \\ \Rightarrow \lim_{n\to \infty} a_n= \lim_{n\to \infty} \sin {\pi\over 180 n} \cdot {4\over 5}(n+4)= \lim_{n\to \infty} \cfrac{{4\over 5}\sin {\pi\over 180 n}}{ { 1\over n+4}} \\= \lim_{n\to \infty} \cfrac{\left({4\over 5}\sin {\pi\over 180 n}\right)'}{ ({ 1\over n+4})'} = \lim_{n\to \infty} \cfrac{{4\over 5} \cdot {-{\pi \over 180n^2}}\cos {\pi\over 180 n}}{ -{ 1\over (n+4)^2}} ={4\over 5} \cdot {\pi \over 180} = \bbox[red, 2pt]{\pi \over 225}
解答: \cases{ab-{11\over 6}b=-1 \Rightarrow a={11\over 6}-{1\over b}\\ bc-{9\over 4}c=-1 \Rightarrow b={9c-4\over 4c}} \Rightarrow a={11\over 6}-{4c\over 9c-4} \\ ac-{8\over 3}a=-1 \Rightarrow a(c-{8\over 3})=-1 \Rightarrow \left({11\over 6}-{4c\over 9c-4} \right) \left(c-{8\over 3} \right)=-1 \\ \Rightarrow {75c-44\over 54c-24} \times {3c-8\over 3}=-1 \Rightarrow (75c-44)(3c-8)=-3(54c-24) \\ \Rightarrow 45c^2-114c+56=0 \Rightarrow (3c-2)(15c-28)=0 \Rightarrow c=\bbox[red, 2pt]{{2\over 3},{28\over 15}}
解答:$$自已看吧\to 參考資料$$
解答:\cases{1^\circ={\pi \over 180} \\ \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)={1\over 4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\ \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)(k+3) ={1\over 5}n(n+1)(n+2)(n+3) (n+4)} \\ \Rightarrow \lim_{n\to \infty} a_n= \lim_{n\to \infty} \sin {\pi\over 180 n} \cdot {4\over 5}(n+4)= \lim_{n\to \infty} \cfrac{{4\over 5}\sin {\pi\over 180 n}}{ { 1\over n+4}} \\= \lim_{n\to \infty} \cfrac{\left({4\over 5}\sin {\pi\over 180 n}\right)'}{ ({ 1\over n+4})'} = \lim_{n\to \infty} \cfrac{{4\over 5} \cdot {-{\pi \over 180n^2}}\cos {\pi\over 180 n}}{ -{ 1\over (n+4)^2}} ={4\over 5} \cdot {\pi \over 180} = \bbox[red, 2pt]{\pi \over 225}
解答:\begin{bmatrix}\cos a^\circ & \sin a^\circ\\ \sin a^\circ & -\cos a^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos (a+1)^\circ & \sin (a+1)^\circ\\ \sin (a+1)^\circ & -\cos (a+1)^\circ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos 1^\circ & \sin 1^\circ \\-\sin 1^\circ & \cos 1^\circ \end{bmatrix} \\ \Rightarrow B=\begin{bmatrix}\cos 1^\circ & \sin 1^\circ \\-\sin 1^\circ & \cos 1^\circ \end{bmatrix}^{30}= \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix}^{15} = \begin{bmatrix}\cos 4^\circ & \sin 4^\circ \\-\sin 4^\circ & \cos 4^\circ \end{bmatrix}^{7} \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\cos 8^\circ & \sin 8^\circ \\-\sin 8^\circ & \cos 8^\circ \end{bmatrix}^3 \begin{bmatrix}\cos 4^\circ & \sin 4^\circ \\-\sin 4^\circ & \cos 4^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\cos 16^\circ & \sin 16^\circ \\-\sin 16^\circ & \cos 16^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 8^\circ & \sin 8^\circ \\-\sin 8^\circ & \cos 8^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 4^\circ & \sin 4^\circ \\-\sin 4^\circ & \cos 4^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 2^\circ & \sin 2^\circ \\-\sin 2^\circ & \cos 2^\circ \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\cos 24^\circ & \sin 24^\circ \\-\sin 24^\circ & \cos 24^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos 6^\circ & \sin 6^\circ \\-\sin 6^\circ & \cos 6^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos 30^\circ & \sin 30^\circ \\-\sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\sqrt 3/2 & 1/2 \\-1/2 & \sqrt 3/2 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow BA= \begin{bmatrix}\sqrt 3/2 & 1/2 \\-1/2 & \sqrt 3/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sqrt 3/2 & \sqrt 3 \\ 1/2 & -3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & -2\sqrt 3 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \begin{bmatrix}x' \\y' \end{bmatrix}= BA \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x \\ -2\sqrt 3y \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{x=x' \\ y=y'/-2\sqrt 3} \Rightarrow x'^2+({y'\over -2\sqrt 3})^2=1 \\ \Rightarrow x'^2+{y'^2\over 12}=1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\Gamma_2: x^2+{y^2\over 12}=1}
二、 計算證明題: 3 題(28 分)
解答:\textbf{(1)}\; a_n=3a_{n-1}+ 1 = 3(3a_{n-2}+1)+1=3^2a_{n-2}+3+1 =\cdots \\\qquad =3^{n-1}a_1+3^{n-2}+ 3^{n-3}+ \cdots + 1 =3^{n-1}+3^{n-2}+ 3^{n-3}+ \cdots + 1 \\ \qquad={3^n-1\over 2} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{a_n={3^n-1\over 2},n\in \mathbb N }解答: \cases{ab-{11\over 6}b=-1 \Rightarrow a={11\over 6}-{1\over b}\\ bc-{9\over 4}c=-1 \Rightarrow b={9c-4\over 4c}} \Rightarrow a={11\over 6}-{4c\over 9c-4} \\ ac-{8\over 3}a=-1 \Rightarrow a(c-{8\over 3})=-1 \Rightarrow \left({11\over 6}-{4c\over 9c-4} \right) \left(c-{8\over 3} \right)=-1 \\ \Rightarrow {75c-44\over 54c-24} \times {3c-8\over 3}=-1 \Rightarrow (75c-44)(3c-8)=-3(54c-24) \\ \Rightarrow 45c^2-114c+56=0 \Rightarrow (3c-2)(15c-28)=0 \Rightarrow c=\bbox[red, 2pt]{{2\over 3},{28\over 15}}
解答:$$自已看吧\to 參考資料$$
========================= END ====================
解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
老師好,請問計算第1題的第2小題證明需要使用夾擠嗎?
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