113年國中教育會考-數學詳解

113年國中教育會考數學科試題本

第一部分：選擇題 (1 ～ 25 題)

解答：$${3\over 7}-(-{1\over 4})={3\over 7}+ {1\over 4} ={12\over 28}+{7\over 28}= {19\over 28}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：

$$組合後的三角柱如上圖，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$y=-3x\Rightarrow  5x-3(-3x)=28 \Rightarrow 5x+9x=14x=28 \Rightarrow x=2 \Rightarrow y=-3\cdot 2=-6\\ \Rightarrow \cases{x=a=2\\ y=b=-6} \Rightarrow a+b=2-6=-4，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$(B)與(C)的x軸太短，無法顯示x=5；而(A)的y軸下方也太短，無法顯示y=-5，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$第一層有便利貼a_1=1+3+5=9張\\\Rightarrow 第二層有便利貼a_2=(1+2)+(3+2)+(5+2) =15張 \\ \Rightarrow 第3層有便利貼a_3=(1+2+2)+(3+2+2)+(5+2+2) =21張 \\ \Rightarrow (a_2-a_1)=(a_3-a_2)=6 \Rightarrow 每一層便利貼張數成等差數列:a_1=9,公差d=6\\ \Rightarrow a_1+ a_2+\cdots +a_{10}={(2a_1+9d)\times 10\over 2} =(18+54)\times 5=360，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$30次抽球共抽出\cases{白球26次\\ 紅球4次}，因此\cases{白球不變,仍為50個\\紅球剩下10-4=6個}\\ \Rightarrow 抽中紅球的機率={6\over 50+6} ={6\over 56} ={3\over 28}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$圖(六)上半部是A,下半部是B,而B是A的上下翻轉,因此圖(六)是線對稱,對稱軸就是水平線;\\ 圖(五)由四個相同的A組成,而A本身沒有線對稱,因此圖(五)沒有線對稱，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{a=3.2\times 10^{-5} \\ b=7.5\times 10^{-5} \\ c =6.3 \times 10^{-6}=0.63\times 10^{-5} } \Rightarrow b\gt a\gt c，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$乳癌五年存活率\cases{一期:100\% \\二期:98\% \\三期:88\% \\四期:55\% } \Rightarrow 均高於50\% \Rightarrow 甲正確\\ \cases{胃癌三期五年存活率55\%,四期存活率14\% \\ 肝癌三期五年存活率22\%,四期存活率15\% \\ 大腸癌三期五年存活率83\%,四期存活率29\% \\ 乳癌三期五年存活率88\%,四期存活率55\%  } \Rightarrow 相差最多的是大腸癌\Rightarrow 乙錯誤\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$5x(5x-2)-4(5x-2)^2 =(5x-2)(5x-4(5x-2))= (5x-2)(5x-20x+8) \\ =(5x-2)(-15x+8)，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$${9\over 4-\sqrt 7} ={9(4+\sqrt 7)\over (4-\sqrt 7)(4+\sqrt 7)} = {36+9\sqrt 7\over 16-7} = {36+9\sqrt 7\over 9} =4+\sqrt 7 \Rightarrow \cases{a=4\\ b=1} \\ \Rightarrow a+b=4+1=5，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{甲:y=(x+20)^2+60 \ge 60 \Rightarrow  當x=-20時,有最小值60\\ 乙:y=-(x-30)^2+60 \le 60 \Rightarrow 當x=30時,有最大值60}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$${1920\over 1080} ={16\over 9} ={1600\over 900}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$x(0.17-0.04)\cdot 20\ge 800 \Rightarrow 0.13x \ge 40 \Rightarrow x\ge {40 \over 0.13} =307.69 \Rightarrow x=308，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$${10\over a}是最簡分數 \Rightarrow a不是2的倍數也不是5的倍數\\通分後分母相同\Rightarrow 5a=3b \Rightarrow 5a是3的倍數\Rightarrow a是3的倍數\\故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$每十年上升0.08^\circ \Rightarrow 平均每年上升0.008^\circ \Rightarrow 2020年後第x年的溫度=14.88^\circ+0.008x，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$\angle A=180^\circ-55^\circ-65^\circ =60^\circ \Rightarrow \angle C\gt \angle A\gt \angle B \Rightarrow \overline{AB}\gt \overline{BC} \gt \overline{AC} \\\Rightarrow \cases{\overline{AB} \gt 圓B半徑\overline{BC} \\ \overline{AC} \lt 圓C半徑\overline{BC}} \Rightarrow \cases{A在圓B外\\ A在圓C內}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：

$$ABCD全等HEFG \Rightarrow \cases{\overline{HG}= \overline{AD} =5 \\ \overline{EH}= \overline{AB}=7\\ \angle C= \angle F},又EFGH為平行四邊形\Rightarrow \cases{\overline{EF}=\overline{GH}=5 \\ \overline{FG}= \overline{EH}=7} \\ \Rightarrow \overline{CG}= \overline{FG}-\overline{CF} =7-3=4\\ 再加上\angle C= \angle F \Rightarrow \overline{EC}=\overline{EF}=5 \Rightarrow ECGH周長=7+5+4+5= 21，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{P在A的左側 \Rightarrow p\lt -2\\ p、q互為倒數 \Rightarrow pq=1\Rightarrow q=1/p} \Rightarrow p\lt 0且\overline{QO}= |q|\lt 1 \Rightarrow Q在\overline{AO}上且\overline{AQ}\gt \overline{QO}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：

$$假設\cases{\angle 5=\angle EGF\\ \angle 6=\angle BEG\\ \angle 7=\angle CFG},則\cases{\triangle EFG \Rightarrow \angle 1+ \angle 2+\angle 5=180^\circ\\ A,G,D在一直線 \Rightarrow \angle 3+\angle 4+\angle 5=180^\circ} \Rightarrow \angle 1+\angle 2=\angle 3+\angle 4\\ \cases{四邊形ABFG \Rightarrow 100^\circ +85^\circ +\angle 2 +\angle 5+\angle 3=360^\circ \\ 四邊形CDGE \Rightarrow 105^\circ +70^\circ +\angle 1+\angle 5+\angle 4=360^\circ} \\ \Rightarrow \cases{\angle 2+\angle 3+\angle 5=175^\circ \\ \angle 1+\angle 4+\angle 5=185^\circ } \Rightarrow \angle 1+\angle 4\gt \angle 2+\angle 3，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$B為\overline{AC}中點\Rightarrow B為圓心,因此\stackrel{\huge\frown}{CE}=58^\circ 代表\angle EBC =58^\circ \Rightarrow \stackrel{\huge\frown}{ED}=58^\circ \times 2=116^\circ \\ \Rightarrow \stackrel{\huge\frown}{BE}=180^\circ-116^\circ =64^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$\triangle ABC 面積=5+4+3=12,G為重心\Rightarrow \triangle GBC=\triangle GCA={12\over 3}=4=\triangle DBC\\ 由於\triangle GBC與\triangle DBC有相同底邊且面積相同,因此重心G至底邊距離=D至底邊距離\\ \Rightarrow \overline{DG}與底邊\overline{BC}平行，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：

$$等腰梯形\Rightarrow \cases{\overline{BE}=\overline{EF} =\overline{CE} =2\\ \angle B=\angle F} \Rightarrow \triangle EBC\sim \triangle DEF \Rightarrow {\overline{DF}\over \overline{EF}} ={\overline{CE}\over \overline{BC}} \\ \Rightarrow {4\over 2}={2\over \overline{BC}} \Rightarrow \overline{BC}=1 \Rightarrow \overline{AC}=4-1=3 \Rightarrow \overline{BC}:\overline{AC}=1:3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$假設身高=a公尺 ,算法1=算法2 \Rightarrow a^2\times 22=(100a-70)\times 0.6=60a-42 \\ \Rightarrow 22a^2-60a+42=0 \Rightarrow 11a^2-30a+21=0 \Rightarrow 判別式30^2-4\times 11\times 21=-24\lt 0\\ \Rightarrow 無實根 \Rightarrow 甲錯誤\\ 算法2=算法3 \Rightarrow 60a-42=(100a-158)\times 0.5+52=50a-27 \\ \Rightarrow 10a=15 \Rightarrow a=1.5 \Rightarrow 只要女生身高1.5公尺算法2與算法3的結果相同 \Rightarrow 乙正確，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$依算法2:實際體重介於70\times 90\%與70 \times 110\%之間,即63與77之間\\算法3的理想體重= (100\times 1.8-170)\times 0.6+62=6+62=68\\ \Rightarrow \cases{正常範圍:0.9\times 68至1.1\times 68=61.2至74.8\\ 過重範圍:1.1\times 68至1.2\times 68=74.8至81.6}\\ 實際體重介於63至77之間可能被歸類為正常或過重，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

第二部分：非選擇題 (1 ～ 2 題 )

解答：$$\textbf{(1)}\; \cases{蔬菜水果合計占一半 \Rightarrow 蔬菜+水果=蛋白質+穀類 \\ 蔬菜穀類一樣多} \Rightarrow 水果=蛋白質\\,即\bbox[red, 2pt]{水果和蛋白質份量相等}\\\textbf{(2)}\; 10a=8b \Rightarrow \cases{a=4\\ b=5} \Rightarrow 蔬菜份量與水果份量相同,皆等於40，不符蔬菜要比水果多\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{不可能}同時為正整數 $$

解答：$$\textbf{(1)}\; \overline{EF}=大圓半徑-小圓半徑=80-20=60 \Rightarrow \overline{GF}={1\over 2}\overline{EF}=  \bbox[red, 2pt]{30}$$

$$\textbf{(2)}\; \overline{DG} =\overline{GC} =\overline{AP}=\overline{BP} \Rightarrow \overline{CD}= \overline{AP}+\overline{PB} \gt \overline{AB} \\三角形兩邊之和大於第三邊, 因此\bbox[red, 2pt]{\overline{CD}較大}$$

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解題僅供參考，會考歷年試題及詳解