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2024年5月9日 星期四

113年新北高中教甄聯招-數學詳解

新北市公立高級中等學校113學年度教師聯合甄選

一、填充題:共10題,每題7分

解答:



aABCxyABC,{BBBBA=90¯BB=a24CCCCA=90¯CC=a29{BBC=90CCB=90BCCBBCD:¯BC2=¯BD2+¯CD2a2=(a24a29)2+(23)23a450a2+143=0(3a211)(a213)=0a=13(a29>0a=113)

解答:f(x)=x1x+1=12x+1=12(x+1)1f[n](x)=2(1)nn!(x+1)(n+1),n1f[113](2024)=2113!(2025)114=2113!2025114

解答:{A=5B=50.¯5AB=0.¯555=0.¯5=59,m=5

解答:ai=i,i=120ai=0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,ai=574n=56,4

解答:,


解答:{=tan13+tan32=1/p=tan13tan32=q/p1=tan45=tan(13+32)=tan13+tan321tan13tan321/p1q/p=11p=1qp1p=qpppq=1


解答:0a,b,c,d7512a+64b+8c+d=83a+82b+8c+80d10,21,,20232022=512×3+64×7+8×4+6=(3746)8a+b+c+d=3+7+4+6=20
解答:L=((2n)!n!nn)1/nlnL=1n(ln(2n)!lnn!nlnn)=1n(2nk=1lnknk=1lnk)lnn=1n2nk=n+1lnklnn=1nnk=1(ln(n+k)lnn)=1nnk=1ln(1+kn)lim
解答:E(n):出現連續n次正面的拋擲次數\\已經出現連續n-1次正面的狀態下,若下次出現正面,則E(n)=p(E(n-1)+1);\\ 若下次出現反面,則除了多擲一次外還要從頭來過,即E(n)=p(E(n-1)+1+E(n))\\總而言之E(n)=p(E(n-1)+1)+(1-p)(E(n-1)+1+E(n))\\ E(1)=1+{1\over 2}E(1) \Rightarrow E(1)=2\\ E(2)=E(1)+1+{1\over 2}E(2) \Rightarrow E(2)=6\\ E(3)=E(2)+1+{1\over 2}E(3) \Rightarrow E(3)=\bbox[red, 2pt]{14}
解答:\left(p^2 +\left(\sqrt{1-p^2} \right)^2 \right) \left(q^2 +\left(\sqrt{1-q^2} \right)^2 \right) \ge \left( pq+ \sqrt{(1-p^2)(1-q^2)}\right)^2 \\ \Rightarrow1 \ge \left( pq+ \sqrt{(1-p^2)(1-q^2)}\right)^2 \ge 0 \Rightarrow 1\ge   pq+ \sqrt{(1-p^2)(1-q^2)} \ge 0\\ \Rightarrow 最大值=\bbox[red, 2pt]1


二、計算證明題:共2題,每題15分



解答:\begin{array}{r|r|r|r} n& 0 & 1&2& 3& 4& 5&6 & 7^8&9& 10 \\\hline a_n & 1 & 3& 4& 7& 11& 18& 29& 47& 76& 123 \\\hline a_n \mod 5 &1 & 3& 4& 2& 1& 3& 4& 2& 1 & 3 \end{array} \\ \Rightarrow 形成1,3,4,2循環, 因此a_n不可能是5的倍數. \bbox[red, 2pt]{QED}

解答:
假設\angle B=2\angle C=2\theta及\angle B的角平分線交\overline{AC}於D,如上圖\\ \cases{\angle ABD=\angle C=\theta\\ \angle A=\angle A} \Rightarrow \triangle ABD \sim \triangle ACB \Rightarrow {\overline{AD} \over \overline{AB}} ={\overline{AB} \over \overline{AC}} \Rightarrow {\overline{AD} \over c}={c\over b} \\ \Rightarrow \overline{AD} ={c^2\over b} ={c\over a+c}\cdot b \Rightarrow b^2=c(a+c)\\ 三邊長為三個連續整數:x,x+1,x+2 \\\Rightarrow \cases{\cases{a=x+2\\ b=x+1\\ c=x} \Rightarrow (x+1)^2=x(2x+2) \Rightarrow x=1 \Rightarrow \cases{a=3\\ b=2\\ c=1}無法構成\triangle 三邊長\\ \cases{b=x+2\\ a=x+1\\ c=x} \Rightarrow (x+2)^2 =x(2x+1) \Rightarrow x=4 \Rightarrow \cases{a=5\\ b=6\\c=4}\quad\bigcirc \\ \cases{b=x+2\\ c=x+1\\ a=x} \Rightarrow (x+2)^2=(x+1)(2x+1) \Rightarrow x非整數} \\ \Rightarrow \cos \angle B={4^2+5^2-6^2 \over 2\cdot 4\cdot 5} ={1\over 8} \Rightarrow \sin \angle B={\sqrt{63}\over 8} \Rightarrow {6\over \sqrt{63}/8}=2R \Rightarrow R={8\over \sqrt{7}} \\ \Rightarrow 外接圓面積=\bbox[red, 2pt]{64\pi \over 7} 

================ END =================

解題僅供參考,其他歷年試題及詳解




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