113年新北高中教甄聯招-數學詳解

新北市公立高級中等學校113學年度教師聯合甄選

一、填充題：共10題，每題7分

解答:

$$假設邊長為a的正\triangle ABC投影至xy平面後成為\triangle AB'C',如上圖\\ \cases{B投影至B' \Rightarrow \angle BB'A=90^\circ \Rightarrow \overline{BB'} =\sqrt{a^2-4} \\C投影至C' \Rightarrow \angle CC'A=90^\circ \Rightarrow \overline{CC'} =\sqrt{a^2-9}}\\ 又\cases{\angle BB'C=90^\circ \\\angle CC'B=90^\circ } \Rightarrow BCC'B'為一梯形 \Rightarrow 直角\triangle BCD:\overline{BC}^2= \overline{BD}^2+ \overline{CD}^2 \\ \Rightarrow a^2=(\sqrt{a^2-4}-\sqrt{a^2-9})^2+(2\sqrt 3)^2 \Rightarrow 3a^4-50a^2+143=0 \Rightarrow (3a^2-11)(a^2-13)=0 \\ \Rightarrow a=\bbox[red, 2pt]{\sqrt{13}} \quad(a^2-9\gt 0 \Rightarrow a=\sqrt{11\over 3}不合)$$

解答:$$f(x)={x-1\over x+1}=1-{2\over x+1}=1-2(x+1)^{-1} \Rightarrow f^{[n]}(x)=-2\cdot(-1)^nn!(x+1)^{-(n+1)},n\ge 1 \\ \Rightarrow f^{[113]}(2024)= 2\cdot 113!(2025)^{-114} =\bbox[red, 2pt]{2\cdot 113!\over 2025^{-114}}$$

解答:$$若\cases{A=5\\ B=5} \Rightarrow 0.\overline{5AB} =0.\overline{555} =0.\overline5 ={5\over 9},此時m=\bbox[red, 2pt]5最小$$

解答:$$假設a_i=第i個箱子的球數,i=1-20\\ 當a_i=0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,此時\sum a_i=57 且沒有4個箱子的球數相同\\ 因此若n=\bbox[red, 2pt]{56}時,一定有4個箱子的球數相同$$

解答:$$題目有疑義,最大值\bbox[cyan,2pt]{不存在}$$

解答:$$\cases{兩根和=\tan 13^\circ+\tan32^\circ =-1/p\\ 兩根積= \tan 13^\circ\tan32^\circ =q/p} \Rightarrow 1=\tan 45^\circ =\tan(13^\circ+ 32^\circ) ={\tan 13^\circ+\tan32^\circ \over 1-\tan 13^\circ \tan32^\circ} \\ \Rightarrow {-1/p\over 1-q/p} =1 \Rightarrow -{1\over p}=1-{q\over p} \Rightarrow {1\over p}={q-p\over p} \Rightarrow p-q= \bbox[red, 2pt]{-1}$$

解答:$$0\le a,b,c,d\le 7且512a+64b+8c+d =8^3a+8^2b+8c+8^0d \Rightarrow 八進位表示式\\ 第1個數是0,第2個數是1,\dots,第2023個數是2022= 512\times 3+64\times 7+8\times 4+6 =(3746)_8 \\ \Rightarrow a+b+c+d = 3+7+4+6= \bbox[red, 2pt]{20}$$

解答:$$L=\left({(2n)! \over n!n^n} \right)^{1/n} \Rightarrow \ln L={1\over n}\left(\ln (2n)!-\ln n!-n\ln n \right)  ={1\over n}\left( \sum_{k=1}^{2n} \ln k -\sum_{k=1}^{n} \ln k\right)-\ln n \\= {1\over n} \sum_{k=n+1}^{2n} \ln k  -\ln n = {1\over n} \sum_{k=1}^{n}( \ln (n+k)  -\ln n)  = {1\over n} \sum_{k=1}^{n} \ln (1+{k\over n}  )\\ \Rightarrow \lim_{n\to \infty} \ln L=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}{1\over n} \ln (1+{k\over n}  ) =\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \left. \left[ (1+x)\ln(1+x)-x \right] \right|_0^1 =2\ln 2-1 \\ \Rightarrow \lim_{n\to \infty} L=e^{2\ln 2-1} =e^{\ln 4} \cdot e^{-1} = \bbox[red, 2pt]{4\over e}$$

解答:$$E(n):出現連續n次正面的拋擲次數\\已經出現連續n-1次正面的狀態下,若下次出現正面,則E(n)=p(E(n-1)+1);\\ 若下次出現反面,則除了多擲一次外還要從頭來過,即E(n)=p(E(n-1)+1+E(n))\\總而言之E(n)=p(E(n-1)+1)+(1-p)(E(n-1)+1+E(n))\\ E(1)=1+{1\over 2}E(1) \Rightarrow E(1)=2\\ E(2)=E(1)+1+{1\over 2}E(2) \Rightarrow E(2)=6\\ E(3)=E(2)+1+{1\over 2}E(3) \Rightarrow E(3)=\bbox[red, 2pt]{14}$$

解答:$$\left(p^2 +\left(\sqrt{1-p^2} \right)^2 \right) \left(q^2 +\left(\sqrt{1-q^2} \right)^2 \right) \ge \left( pq+ \sqrt{(1-p^2)(1-q^2)}\right)^2 \\ \Rightarrow1 \ge \left( pq+ \sqrt{(1-p^2)(1-q^2)}\right)^2 \ge 0 \Rightarrow 1\ge   pq+ \sqrt{(1-p^2)(1-q^2)} \ge 0\\ \Rightarrow 最大值=\bbox[red, 2pt]1$$

二、計算證明題：共2題，每題15分

解答:$$\begin{array}{r|r|r|r} n& 0 & 1&2& 3& 4& 5&6 & 7^8&9& 10 \\\hline a_n & 1 & 3& 4& 7& 11& 18& 29& 47& 76& 123 \\\hline a_n \mod 5 &1 & 3& 4& 2& 1& 3& 4& 2& 1 & 3 \end{array} \\ \Rightarrow 形成1,3,4,2循環, 因此a_n不可能是5的倍數. \bbox[red, 2pt]{QED}$$

解答:

$$假設\angle B=2\angle C=2\theta及\angle B的角平分線交\overline{AC}於D,如上圖\\ \cases{\angle ABD=\angle C=\theta\\ \angle A=\angle A} \Rightarrow \triangle ABD \sim \triangle ACB \Rightarrow {\overline{AD} \over \overline{AB}} ={\overline{AB} \over \overline{AC}} \Rightarrow {\overline{AD} \over c}={c\over b} \\ \Rightarrow \overline{AD} ={c^2\over b} ={c\over a+c}\cdot b \Rightarrow b^2=c(a+c)\\ 三邊長為三個連續整數:x,x+1,x+2 \\\Rightarrow \cases{\cases{a=x+2\\ b=x+1\\ c=x} \Rightarrow (x+1)^2=x(2x+2) \Rightarrow x=1 \Rightarrow \cases{a=3\\ b=2\\ c=1}無法構成\triangle 三邊長\\ \cases{b=x+2\\ a=x+1\\ c=x} \Rightarrow (x+2)^2 =x(2x+1) \Rightarrow x=4 \Rightarrow \cases{a=5\\ b=6\\c=4}\quad\bigcirc \\ \cases{b=x+2\\ c=x+1\\ a=x} \Rightarrow (x+2)^2=(x+1)(2x+1) \Rightarrow x非整數} \\ \Rightarrow \cos \angle B={4^2+5^2-6^2 \over 2\cdot 4\cdot 5} ={1\over 8} \Rightarrow \sin \angle B={\sqrt{63}\over 8} \Rightarrow {6\over \sqrt{63}/8}=2R \Rightarrow R={8\over \sqrt{7}} \\ \Rightarrow 外接圓面積=\bbox[red, 2pt]{64\pi \over 7} $$

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解題僅供參考，其他歷年試題及詳解