朱式幸福: 113年永慶高中特招-數學詳解

嘉義區嘉義縣立永慶高級中學113學年度高級中等學校特色招生考試

解答:$${\sqrt 2+1\over \sqrt 2 -1}-{\sqrt 2-1\over \sqrt 2+1} ={ (\sqrt 2+1)^2\over (\sqrt 2-1)(\sqrt 2+1)}-{(\sqrt 2-1)^2\over (\sqrt 2+1)(\sqrt 2-1)}\\ =3+2\sqrt 2-(3-2\sqrt 2)=4\sqrt 2 =4\times 1.4=5.6，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$正六邊形的內角為120^\circ, 外角60^\circ, 內角是外角的兩倍，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=64\\ \Rightarrow \begin{array}{cc|cc}x+y & x-y & x& y\\ \hline 64 & 1 &65/2 & 63/2& 不是正整數 \\ 32& 2& 17& 15 \\ 16& 4 & 10& 6\\ 8 & 8& 8 & 0& 不是正整數\end{array} \\ \Rightarrow x+y=16或32，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\begin{bmatrix}1 & 2 \\3& 4 \end{bmatrix} \xrightarrow{R} \begin{bmatrix}3 & 1 \\4& 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{U} \begin{bmatrix}4 & 2 \\3& 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{L} \begin{bmatrix}2 & 1 \\4& 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{R} \begin{bmatrix}4 & 2 \\3& 1\end{bmatrix} ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$假設\cases{A=ax+b\\ B=cx+d},其中x為攝氏度數,因此\cases{20=b\\ 140=100a+b\\ -15=d\\ 165=100c+d} \Rightarrow \cases{A={6\over 5}x+20\\ B={9\over 5}-15}\\ \Rightarrow A=B \Rightarrow {6\over 5}x+20={9\over 5}-15 \Rightarrow x={175\over 3} \Rightarrow A=B=90，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$50\times 75\%=37.5，由(70,35)及(80,45)可知Q_3介於70至80之間，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:

$$需要斜率為正的直線才能將㘣點與叉點分開，只有3x－2y＝6如上圖剛好正確區分兩群\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$直線L=\overleftrightarrow{OA}:x=3y \Rightarrow h=B至L距離={21\over \sqrt{10}}\\ \Rightarrow \triangle OAB面積={1\over 2}\cdot h\cdot \overline{OA} ={1\over 2}\cdot {21\over \sqrt{10}} \cdot 2\sqrt{10} =21，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\begin{array}{l}0.34375& \times 2 &=&\fbox{0}.6875\\ 0.6875 & \times 2& = &\fbox{1}.375 \\ 0.375 & \times 2& = & \fbox{0}.75 \\ 0.75& \times 2 & = & \fbox{1}.5 \\ 0.5& \times 2& = & \fbox{1}\end{array} \\ \Rightarrow (0.34375)_{10}=(0.01011)_2，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$$\cases{矩形A面積=2\times 5=10 \Rightarrow 六個矩形面積=60\\ 六個扇形B剛好是一個圓,面積=25\pi} \Rightarrow 合計60+25\pi，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$假設三角形另外兩邊邊長為x、11-x\Rightarrow x^2+(11-x)^2=9^2 \Rightarrow x^2-11x+20=0 \\ \Rightarrow 兩根之積=20 \Rightarrow 三角形面積={1\over 2}\cdot 20=10，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\angle C=90^\circ \Rightarrow 外接圓圓心=(A+B)\div 2=(3,4)，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$${67\over 29}=2+{9\over 29} =2+{1\over {29\over 9}} =2+{1\over 3+{2\over 9}} =2+{1\over 3+{1\over {9\over 2} }} =2+{1\over 3+{1\over 4+{1\over 2} }}\\ \Rightarrow {67\over 30}=[2;3,4,2]，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$假設\cases{阿爾法金a克\\ 貝塔銀600-a克} \Rightarrow 共減輕了{a\over 50}\times 4+{600-a\over 30}\times 3=55 \Rightarrow a=250 \\ \Rightarrow \cases{阿爾法金250克\\ 貝塔銀350克}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$假設A袋有\cases{500元a張\\ 1000元10-a張},B袋有\cases{500元b張\\ 1000元10-b張}\\ \Rightarrow 兩袋合計500(a+b)+1000(20-(a+b))=17000 \Rightarrow a+b=6 \Rightarrow b=6-a\\ \Rightarrow B袋有\cases{500元6-a張\\ 1000元4+a張} \Rightarrow A袋500元鈔票數量比B袋1000元鈔票少4張，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$假設A(a,a^2) \Rightarrow B(a+4,a^2-4) \Rightarrow a^2-4=(a+4)^2 \Rightarrow a=-{5\over 2}\\ \Rightarrow A的y坐標=(-{5\over 2})^2 ={25 \over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{A(0,0,0)\\ B(2\sqrt 2,0, 2\sqrt 2)\\ C(0,2\sqrt 2, 2\sqrt 2)\\ D(2\sqrt 2,2\sqrt 2,0)} \Rightarrow \cases{P=(A+B)\div 2=(\sqrt 2,0,\sqrt 2)\\ Q=(B+C)\div 2=(\sqrt 2,\sqrt 2,2\sqrt 2)\\ R=(C+D)\div 2=(\sqrt 2,2\sqrt 2,\sqrt 2)\\ S=(D+A)\div 2= (\sqrt 2,\sqrt 2,0)} \\ \Rightarrow PQRS為一正方形,且邊長為2,因此面積=4，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\triangle DEA三內角為30^\circ-60^\circ-90^\circ 且\overline{AE}=1 \Rightarrow \overline{AD}=\sqrt 3\\\triangle EFB三內角為30^\circ-60^\circ-90^\circ 且\overline{BF}=1 \Rightarrow \overline{BE}=\sqrt 3 \\ 因此{\overline{CD} \over \overline{CF}} ={\overline{AE}+\overline{BE} \over \overline{AD}-\overline{BF}} ={\sqrt 3+1\over \sqrt 3-1} =\sqrt 3+2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$假設有n人\Rightarrow 0.8n \ge 100\times 0.7 \Rightarrow n\ge 87.5 \Rightarrow n=88，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$小永有4種選擇,接下來有三種選擇,第3次一定傳回小永,因此有4\times 3=12 種，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{2^n的個位數字:2,4,8,6,2,4,8,6,\dots \Rightarrow 循環數4\\3^n的個位數字:3,9,7,1,3,9,7,1,\dots \Rightarrow 循環數4 \\4^n的個位數字:4,6,4,6,\dots \Rightarrow 循環數2},n=1,2,3,\dots \\ \Rightarrow \cases{2022^{2022} =2022^{4\cdot 505+2} \Rightarrow 個位數字4\\ 2023^{2023}=2023^{4\cdot 505+3} \Rightarrow 個位數字7 \\ 2024^{2024}=2024^{2\cdot 1012} \Rightarrow 個位數字6} \Rightarrow A的個位數字=4+7+6=17 \Rightarrow 個位數字是7\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$若甲說:歷史書在藝術區是正確的 \Rightarrow 丁說:文學書在藝術區矛盾\\ 因此甲說:科學書在文學區才是正確的 \Rightarrow 丙說:藝術書在歷史區是正確的\\ \Rightarrow 乙說:文學書在科學區是正確的 \Rightarrow 丁說:歷史書在數學區是是確的，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$