北市高級中等學校 114 學年度聯合轉學考招生考試
升高二數學科試題（ 普高）
一、 單選題： (共 70 分)
解答：$$\cases{\sqrt{27} =\sqrt{3^3} =3^{3/2} \Rightarrow (\sqrt{27})^{-2/3} =3^{-1} \\ \sqrt[5]{1024} =\sqrt[5]{2^{10}} =2^2 \Rightarrow (\sqrt[5]{1024})^{0.5} =2^1} \Rightarrow (\sqrt{27})^{-2/3} \times (\sqrt[5]{1024})^{0.5} =3^{-1}\cdot 2={2\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答：$$坡度6.1\% \Rightarrow \tan \theta=0.061 \Rightarrow 上升高度=100\tan \theta=6.1公尺\approx 2層樓高，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答：$$各科z分數:\cases{國文:(86-76)/6=5/3\\ 英文:(55-45)/5=2\\ 數學:(77-67)/8=5/4} \Rightarrow 英文的z分數最高，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答：$$整體而言，取到芝麻湯圓的機率為{6\over 10}, 因此期望值=4\times {6\over 10}={12\over 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答：$$y={\sqrt 3x+5\sqrt 7\over x+5} =\sqrt 3+{5(\sqrt 7-\sqrt 3)\over x+5} \Rightarrow x越小,y越大，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答：$$\log a=3.46 \Rightarrow a是四位數，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答：$$x^2+y^2-4x-6y-87=0 \Rightarrow (x^2-4x+4)+(y^2-6y+9)=87+13 \\ \Rightarrow (x-2)^2+(y-3)^2=10^2 \Rightarrow \cases{圓心O(2,3)\\ 圓半徑r=10} \Rightarrow \overline{OQ} = 5 \lt r \Rightarrow Q在圓內 \\ \Rightarrow \cases{\overline{PQ}最小為10-5=5\\ \overline{PQ}最大值為10+5=15} \Rightarrow \cases{\overline{PQ} =6,7,\cdots,14,各有2個,共18個\\ \overline{PQ}=5,15,各1個,共2個} \Rightarrow 合計20個，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答：$$a_1=-1 \Rightarrow a_2={1\over 2-a_1}={1\over 3} \Rightarrow a_3={1\over 2-a_2} ={3\over 5} \Rightarrow a_4 ={5\over 7} \Rightarrow \cdots \Rightarrow a_n={2n-3\over 2n-1}, n\ge 2 \\ \Rightarrow 1-a_n={2\over 2n-1}\lt {1\over 20} \Rightarrow n\ge 21，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答：$$假設第0年的營業額為a \Rightarrow 第 1年的營業額為a(1+20\%) \Rightarrow 第 2年的營業額為a(1+20\%) (1+40\%) \\\Rightarrow 第 3年的營業額為a(1+20\%)(1+ 40\%) (1+50\%)\\ \Rightarrow 這三年營業額平均{\color{blue}成長}率 \sqrt[3]{a(1+20\%)(1+ 40\%) (1+50\%)\over a}-1\\=\sqrt[3]{(1+20\%)(1+ 40\%) (1+50\%) }-1，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$
解答：$$C^n_{9} =C^n_{19} \Rightarrow n=9+19=28，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答：$$f(1)=3+3^2+3^3+ \cdots+3^{100} \Rightarrow 3f(1)=3^2+3^3+3^4+\cdots+3^{101} \\ \Rightarrow f(1)-3f(1)=3-3^{101} \Rightarrow f(1)={3^{101}-3\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答：$$(A)\times:a_1+a_{19} =a_1+a_1+18d =2a_1+18d=0 \Rightarrow a_1+9d=0 \Rightarrow a_1\lt 0 \quad (d\gt0) \\(B)\bigcirc: a_{11}=a_1+10d =(a_1+9d)+d =0+d \gt 0 \\(C)\times: a_{10}=a_1+9d=0 \\ (D)\times: a_9+a_{10} +a_{11} =a_9+a_{11} =a_1+8d+a_1+10d=2a_1+18d=0\\ (E)\times: a_3+a_{15}=a_1+2d+ a_1+14d=2a_1+16d =a_1+8d=(a_1+9d)-d=-d\lt 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答：$$\cases{a=\sin 23^\circ \\ b=\sin 123^\circ=\sin(180^\circ-57^\circ) =\sin 57^\circ \\ c=\sin 223^\circ \lt0 (223^\circ 在第三象限) \\d=\sin 323^\circ\lt 0(323^\circ 在第四象限) \\e=\sin(-423^\circ) =-\sin(423^\circ) =-\sin(360^\circ+63^\circ) =-\sin 63^\circ \lt 0} \Rightarrow b最大，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答：
$$假設\cases{圓心O\\ 圓半徑r\\ 正九邊形邊長\overline{AB}=20 \\M=\overline{AB}中點} \Rightarrow \cases{\angle AOM=20^\circ\\ \overline{AM}=10 \\ r=\overline{OM}} \Rightarrow \tan 20^\circ={\overline{AM} \over r} ={10\over r} \\ \Rightarrow r={10\over \tan 20^\circ}，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$
二、多重選擇題： (共 30 分)
解答：$$f(x)=2x^3-5x^2+ax+b =(x^2-3x+2) (2x+p)=(x-2)(x-1)(2x+p)\\ \cases{f(1) =0 \\f(2)=0} \Rightarrow \cases{a+b=3 \\2a+b=4} \Rightarrow \cases{a=1\\ b=2} \\(A)\times: a=1 為奇數\\ (B)\bigcirc: b=2為偶數\\ (C) \times : a+b=3為奇數\\ (D)\bigcirc: f(x)=2x^3-5x^2+x+2 = (x-1)(x-2)(2x+1) \Rightarrow 2x+1是因式 \\(E)\times:f(x)的因式為x-1,x-2,2x+1，沒有x+1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BD)}$$
解答：$$(A)\bigcirc:整體而言，氣溫越高銷量越多，因此為正相關\\ (B)\bigcirc: 氣溫排序第10、第11約為22.5, 23，因此中位數介於20與25之間\\ (C)\times: 銷量平均值約45，最大與最小值約為57與29，因此標準差不可能大於30 \\(D) \times: 相關係數小於0.01表示兩者近乎無相關，與(A)違背\\ (E)\bigcirc: 正相關斜率為正值\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABE)}$$
解答：$$(A)\times:假設每次抽獎中獎機率為p \Rightarrow (1-p)^2={4\over 9} \Rightarrow 1-p={2\over 3} \Rightarrow p={1\over 3} \ne{2\over 3} \\(B) \bigcirc:\cases{第1次中第2次沒中:(1/3)(2/3)=2/9\\ 第1次沒中第2次中:(2/3)(1/3)=2/9} \Rightarrow 合計{4\over 9} \\(C)\bigcirc: 兩次都沒中機率=({2\over 3})^2 ={4\over 9} \Rightarrow 至少中1次機率=1-{4\over 9}={5\over 9} \\(D)\bigcirc: 依題意所示\\ (E)\times: 共有2^4=16種\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BCD)}$$
解答：$$ax+by+c=0 \Rightarrow \cases{x截距=-c/a \gt 0\\ y截距=-c/b \lt 0} \Rightarrow 直線經過第一、三、四象限\\又\cases{ac\lt 0\\ bc\gt 0} \Rightarrow c\ne 0 \Rightarrow 不經過原點(0,0)，故選\bbox[red, 2pt]{(ACD)}$$
解答：$$(A)\bigcirc: \tan \theta={y\over -12} ={1\over 3} \Rightarrow y=-4\\ (B)\times: P(-12,-4) \Rightarrow \overline{OP} =\sqrt{12^2+4^2} =\sqrt{160} =4\sqrt{10} \ne 2\sqrt{10} \\(C)\bigcirc: \cos \theta={-12\over 4\sqrt{10}} =-{3\over \sqrt{10}} \\(D) \times: \sin(180^\circ+\theta) =-\sin \theta=-\left(-{4\over 4\sqrt{10}} \right) ={1\over \sqrt{10}} \\(E)\bigcirc: \cos(90^\circ+\theta)=-\sin \theta={1\over \sqrt{10}}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ACE)}$$
====================== END ==========================解題僅供參考，其他轉學考試題及詳解
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