114年高雄聯合轉學考-升高三-數學B詳解

 高雄區公立高中 114 學年度聯合招考轉學生《升高三數學B》

一、 單選題(60 分)：

解答:$$\cases{\tan 3\pi/4 \lt 0\\ \cos 2\pi/3 \lt 0} \Rightarrow P在第三象限，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$假設圓半徑r\Rightarrow 4=r^2\pi\cdot {2\over 2\pi} \Rightarrow r=2   \Rightarrow 扇形周長=弧長+2r=2\cdot 2+2\cdot 2=8，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$$左半部:-\pi\le x\le 0 \Rightarrow \cases{ \sin x\le 0\\ -x/4+1 \gt 0} \Rightarrow 無交點\\ 右半部:0\le x\le \pi \Rightarrow \cases{ 0\le \sin x\le 1\\ (4-\pi)/4\le -x/4+1\le 1} \Rightarrow 有交點\\ 假設\cases{y_1=f(x)=\sin x\\ y_2=g(x)=-x/4+1} \Rightarrow \cases{g(0)\gt f(0)\\ g(\pi/2)\lt f(\pi/2)\\ g(\pi) \gt f(\pi)} \Rightarrow 在右半部有兩個交點，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{a=\sqrt[5]{81} =3^{4/5} \\b =\sqrt[4]{27} =3^{3/4} \\ c=\sqrt[3]9 =3^{2/3} \\d=\sqrt 3=3^{1/2}} \Rightarrow a\gt b\gt c\gt d，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{\log 8=3\log 2\\ \log 9=2\log 3\\ \log 49=2\log 7\\ \log 5=1-\log 2} \Rightarrow 3\log{5\over 3}-\log{7\over 8}+{3\over 2}\log 9+{1\over 2}\log 49 \\=3(1-\log 2-\log 3)-(\log 7-3\log 2)+{3\over 2}\cdot 2\log 3+{1\over 2}\cdot 2\log 7=3，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{\log x=1.2 \\ \log y=3.6 \\\log 3=0.4771} \Rightarrow \cases{x=10^{1.2} \\ y=10^{3.6} \\ 3=10^{0.4771}}\\ 假設\log(2x^3+y)=k \Rightarrow 2x^3+y=10^k \Rightarrow 10^k=2\cdot 10^{3.6}+10^{3.6} =3\cdot 10^{3.6} =10^{0.4771} \cdot 10^{3.6} \\ =10^{4.0771} \Rightarrow k=4.0771，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$-5=-{5\over 2}\log {x\over a} \Rightarrow \log {x\over a}=2 \Rightarrow {x\over a}=10^2=100 \Rightarrow x=100a，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{\vec a=(1,3) \\\vec b=(2,1)} \Rightarrow t\vec a+\vec b=(t+2,3t+1) \Rightarrow |t\vec a+\vec b|^2=(t+2)^2+(3t+1)^2 =10t^2+10t+5 \\=10(t+{1\over 2})^2+{5\over 2} \ge {5\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$${7\over 12}\pi -{\pi\over 2}={1\over 12}\pi =15^\circ \Rightarrow 從南緯15度在同經線上往北飛，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$A= \begin{bmatrix} 1& 1\\ 1&-1\end{bmatrix} \Rightarrow A^2= \begin{bmatrix}2& 0\\0& 2 \end{bmatrix} =2I \Rightarrow A^5+2A=A(A^4+ 2I) =A(4I+2I) =A\cdot 6I =6A \\ \Rightarrow a+b+c+d =6(1+1+1-1)=12，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$出現點數和為8的情形:\cases{(1,1,6):排列數3\\ (1,2,5):排列數6\\ (1,3,4):排列數6\\(2,2,4) :排列數3\\(2,3,3):排列數3 } \Rightarrow \cases{全部合計:21\\ 出現4合計:9}\Rightarrow 機率為{9\over 21}={3\over 7}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$${出現「折扣」與「周年慶」的垃圾郵件\over 出現「折扣」與「周年慶」的所有郵件} ={60\%\times 10\% \over 60\%\times 10\%+ 40\% \times 0.1\%} ={150\over 151}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$平行於軸線的截痕，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$令 A=\begin{bmatrix}a& b\\ 0&1 \end{bmatrix},在直線6x-5y+1=0任取兩點\cases{P(-1,-1) \\ Q(4,5)} \\ \Rightarrow \cases{AP=P'=(-a-b,-1) \\ AQ =Q'=(4a+5b, 5)} \Rightarrow P',Q'皆在2x+y=1上\Rightarrow \cases{-2a-2b-1=1\\ 8a+10b+5=5} \\\Rightarrow a+b=-1，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{\vec a=(-1,0)\\ \vec b=(3,4) \\ \vec c=(4,6)} \Rightarrow \cases{\vec a+s\vec b =(-1+3s,4s) \\ \vec a+t\vec b=(-1+3t,4t)} \Rightarrow \cases{(\vec a+s\vec b) \parallel \vec c \Rightarrow {-1+3s\over 4} ={4s\over 6} \\ (\vec a+t\vec b) \bot \vec c \Rightarrow 4(-1+3t)+24t=0} \\ \Rightarrow \cases{s=3\\ t=1/9} \Rightarrow s+t={28\over 9}，故\bbox[red, 2pt]{(無解)}, 公布的答案是\bbox[cyan, 2pt]{(A)}$$

解答:$$(A)\times: 2x=2\pi \Rightarrow x=\pi \Rightarrow 週期是\pi\\ (B)\bigcirc: 平移不改變週期 \\(C)\times: \cases{\sin x+1振幅為1\\ {1\over 2}\sin(x+\pi)振幅為{1\over 2}} \Rightarrow 振幅不同\\ (D)\bigcirc: \cases{最大值=2+1=3\\ 最小值=-2+1=-1} \\(E) \times: 向左移{\pi\over 3} 應該是\sin(x+{\pi\over 3})\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BD)}$$

解答:$$(A)\bigcirc: \cases{A(7/2,7/2) \\B(1,0) \\C(0,7/5) \\O(0,0)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{OC}=(0,7/5) \\ {2\over 5}\overrightarrow{OA}=(7/5,7/5) \\ {7\over 5}\overrightarrow{OB}= (7/5,0)} \Rightarrow \overrightarrow{OC}={2\over 5} \overrightarrow{OA}-{7\over 5} \overrightarrow{OB}, 但A,B,C不在一直線上\\(C)\bigcirc: 若\cases{A(0,0)\\ B(2,0) \\ C(0,1)} \Rightarrow \overline{AC}=1={1\over 2} \overline{AB}, 但\overline{AC} \bot \overline{AB} \\(E) \bigcirc: \cases{A(3,0)\\ B(0,3) \\ C(1,4) \\O(0,0)} \Rightarrow \cases{{2\over 3} \overrightarrow{OA}=(2,0) \\ {4\over 3} \overrightarrow{OB}=(0,4) \\ \overrightarrow{AC}= (-2,4)} \Rightarrow {2\over 3} \overrightarrow{OA}- {4\over 3} \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{AC}=0, 但A,B,C不在一直線上\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ACE)}$$

解答:$$(A) \times: f(1/10) =\log {1\over 10}=-1 \lt 0 \Rightarrow 圖形在x軸下方 \\(B)\bigcirc: \log x=-\log x \Rightarrow 2\log x= \log x^2 =0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=1\\ (C) \bigcirc: g(x)=-\log x =-{\ln x\over \log e} \Rightarrow g'(x)=-{1\over x\log e} \lt 0 \Rightarrow 嚴格遞減 \\ (D)\times: g(x)是嚴格遞減 \Rightarrow g(\sqrt 3)\lt g(\sqrt 2) \\(E)\bigcirc: f(x)=-g(x) \Rightarrow 對稱x軸\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BCE)}$$

解答:$$(A)\times: 底數需為正數，-2不合\\ (B)\times: 4\log 3=\log 3^4=\log 81 \ne \log 12\\ (C) \bigcirc: \cases{\log a=1.2\\ \log b=2.4} \Rightarrow \cases{a=10^{1.2} \\ b=10^{2.4}} \Rightarrow a^2=10^{2.4}=b\\ (D) \bigcirc: \cases{\log_2 3=a\\ log_3 5=b} \Rightarrow \cases{a=\log 3/\log 2\\ b=\log 5/\log 3} \Rightarrow ab={\log 5\over \log 2} =\log_2 5 \Rightarrow \log_5 2={1\over ab} \\(E) \times: {2b\over a+1} ={2\log 5/\log 3\over \log 3/\log 2+1}={2\log 5/\log 3\over (\log 3+\log 2)/\log 2 } ={2\log 5/\log 3\over \log 6/\log 2 } \ne \log_6 5\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CD)}$$

解答:$$(B)\times: \cases{\vec a=(1,0) \\ \vec b=(0,2)}\; 滿足\vec a\bot \vec b, 但(\vec a+\vec b)\cdot (\vec a-\vec b) =(1,2)\cdot (1,-2)=-3\ne 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ACDE)}$$

解答:

$$(A)\times: L_1與L_2可能是歪斜線\\ (B)\times:應有無限多直線,而非僅有一條\\ (D)\times:可能三平面交於一點的兩兩互垂的情形,如圖\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CE)}$$

解答:$$(B)\times: 若AB\ne BA \Rightarrow (A+B)(A-B)\ne A^2-B^2\\(C)\times: A= \begin{bmatrix} -1&1\\-1&1\end{bmatrix} \Rightarrow A^2= 0, 但A\ne 0\\(D)\times: \cases{A= \begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix} \\ B= \begin{bmatrix} 1&0 \\1&0 \end{bmatrix} \\ C=\begin{bmatrix} 1&0\\1& 1 \end{bmatrix}} \Rightarrow AB =AC= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0& 0\end{bmatrix},但B\ne C\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AE)}$$

解答:$$(A) \bigcirc: A \begin{bmatrix}2\\ 3 \end{bmatrix} =A (\begin{bmatrix}1\\ 1 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix}) =A \begin{bmatrix}1\\ 1 \end{bmatrix} +A\begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\2\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 7\\4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12\\ 6\end{bmatrix} \\(B)\bigcirc: A \begin{bmatrix}1& 1\\ 1& 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}A \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} \quad A \begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5& 7\\ 2& 4 \end{bmatrix} \\(C)\times: A \begin{bmatrix}1& 1\\1& 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5& 7\\ 2& 4 \end{bmatrix} \Rightarrow A=\begin{bmatrix}5& 7\\ 2& 4 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}1& 1\\1& 2 \end{bmatrix} ^{-1} \ne \begin{bmatrix}1& 1\\1& 2 \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix}5& 7\\ 2& 4 \end{bmatrix} \\ (D) \times:A \begin{bmatrix}1& 1\\1& 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5& 7\\ 2& 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) \det \left( \begin{bmatrix}1& 1\\1& 2 \end{bmatrix} \right) =\det \left(\begin{bmatrix}5& 7\\ 2& 4 \end{bmatrix} \right) \\\quad \Rightarrow \det (A)\cdot 1=6 \Rightarrow \det(A)=6 \ne 4\\ (E) \bigcirc: \cases{A \begin{bmatrix}1\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5\\2\end{bmatrix}\\ A\begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 7\\4\end{bmatrix}} \Rightarrow \cases{\begin{bmatrix}1&1 \end{bmatrix}A \begin{bmatrix}1\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5\\2\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}1&1 \end{bmatrix} A\begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7\\4\end{bmatrix}} \Rightarrow \cases{a+b+c+d=7\\ a+b+2(c+d)=11} \\\quad \Rightarrow \cases{a+b=3\\ c+d=4} \Rightarrow \cases{ \begin{bmatrix} 1& 1\end{bmatrix}A= \begin{bmatrix}a+b & c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3& 4\end{bmatrix}}，故選\bbox[red, 2pt]{(ABE)}$$

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解題僅供參考，其他轉學考試題及詳解