臺北市立中崙高級中學 114 學年度第二次教師甄選
一、填充題 (每 格 7 分 ， 共 77 分 )
解答:
$$假設P,Q為切點點, 即\cases{\overline{AP} \bot \overline{OP} \\ \overline{BQ} \bot \overline{OQ}} \Rightarrow \cases{\overline{AP}=\sqrt{16-12}=2 \\ \overline{BQ}=\sqrt{28-12}=4 \\ \stackrel{\Large \frown}{PQ} ={1\over 4}\cdot 2\pi \cdot 2\sqrt 3=\sqrt 3 \pi} \\ \Rightarrow 最短路徑=\overline{AP} +\stackrel{\Large \frown}{PQ}+ \overline{QB} =2+\sqrt 3\pi +4= \bbox[red, 2pt]{6+\sqrt 3\pi}$$
解答:$$2025!整除(n!)! \Rightarrow (n!)! \ge 2025! \Rightarrow n! \ge 2025 \\ \cases{6!=720 \\7!=5040} \Rightarrow n= \bbox[red, 2pt]7$$
解答:$$假設大正立方體的中心O(0,0,0), 對角線長=\sqrt{1^2+ 1^2+ 1^2} =\sqrt 3 \Rightarrow 外接球半徑R={\sqrt 3\over 2}\\ 假設小正立方體邊長為a, 由於大正立方體的頂面在平面z={1\over 2}上，\\因此小正立方體與球面的接觸點為({1\over 2}a, {1\over 2}a, {1\over 2}+a) \Rightarrow \left( {a\over 2} \right)^2 +\left( {a\over 2} \right)^2 +\left( {1\over 2}+a \right)^2 =R^2 \\ \Rightarrow 3a^2+2a-1=0 \Rightarrow (3a-1)(a+1) =0 \Rightarrow a= \bbox[red, 2pt]{1\over 3}$$
解答:
$$依題意可假設\cases{A(0,0)\\ B(12,0) \\C(12,12)\\ D(0,12) \\P(12,7)} 並假設\cases{Q\in \overline{DP}且D為切點\\ 圓半徑a} \Rightarrow \cases{圓心O(12-a, a) \\ L=\overleftrightarrow{DP}: 5x+12y=144} \\ \Rightarrow \overline{OQ} =d(O,L) =a \Rightarrow {|60-5a+12a-144| \over 13} =a \Rightarrow (7a-84)^2=169a^2 \\ \Rightarrow 15a^2+147-882=0 \Rightarrow (5a-21)(3a+42) \Rightarrow a= \bbox[red, 2pt]{ 21\over 5}$$
解答:$$假設\cases{20號卡牌的位置為P_{20} \\25號卡牌的位置為P_{25}} \Rightarrow X=|P_{20}-P{25}|-1 \\取變數I_k =\begin{cases} 1& 卡牌k夾在20號與25號之間\\ 0 & 其它位置\end{cases} \Rightarrow X= \sum_{k\ne20,25}I_k \Rightarrow E[X] = E \left[ \sum_{k\ne20,25}I_k \right] =\sum_{k\ne20,25}E[I_k] \\考慮20,25,k三者的排列數為3!=6, 其中(20,k,25)及(25,k,20)代表X\gt 0,即P(I_k=1)={2\over 6 } \\ \Rightarrow E[I_k]={2\over 6}={1\over 3} \Rightarrow E[X]=48\times {1\over 3}= \bbox[red, 2pt]{16}$$
解答:$${4\over 3}\pi\cdot 20^3-\pi\int_5^{20} (500-y^2)\,dy ={32000\over 3}\pi-3375\pi= \bbox[red, 2pt]{{21875 \over 3}\pi}$$
解答:$$\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AO} ={1\over 3} \left( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} \right) \cdot \overrightarrow{AO} ={1\over 3} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} +{1\over 3} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AO} ={1\over 3}\cdot {1\over 2}\overline{AB}^2+ {1\over 3}\cdot {1\over 2} \overline{AC}^2 \\={1\over 6}(20^2+25^2) = \bbox[red, 2pt]{1025\over 6}$$
解答:
$$\cases{\angle PBA=\theta \\\overline{PA}=a}\Rightarrow \angle PBC=90^\circ-\theta \Rightarrow \cases{\cos\theta=(a^2+1-7)/2a =(a^2-6)/2a\\ \cos(90^\circ-\theta)=\sin \theta =(a^2-8)/2a} \\ \Rightarrow \cos^2\theta +\sin^2\theta={(a^2-6)^2+(a^2-8)^2\over 4a^2} =1 \Rightarrow a^4-16a^2+50=0 \\ \Rightarrow 面積=a^2={16+\sqrt{56} \over 2} = \bbox[red, 2pt]{8+\sqrt{14}}$$
解答:
$$假設\cases{C\in L_1:3x-2y+2=0\\ B\in L_2:3x+5y=12\\ P=\overline{AB}中點\\ Q=\overline{AC}中點} \Rightarrow \cases{B(s,(12-3s)/5)\\ C(t,(3t+2)/2} \Rightarrow \cases{P=((s-4)/2,(22-3s)/10) \in L_1\\Q=((t-4)/2, (3t+6)/4) \in L_2} \\ \Rightarrow \cases{3(s-4)/2-(22-3s)/5+2=0\\ 3(t-4)/2+5(3t+6)/4 =12} \Rightarrow \cases{s=4\\ t=2} \Rightarrow \cases{B(4,0) \\C(2,4)} \Rightarrow 另二點坐標: \bbox[red, 2pt]{(4,0),(2,4)}$$
解答:
$$C,D在x=y^2上 \Rightarrow \cases{C(c^2,c) \\D(d^2,d)},又L:y=x+4 \Rightarrow L斜率=1\\ \Rightarrow \cases{ \overleftrightarrow{CD}斜率=1\\ A的y坐標=C的y坐標\\ D的x坐標=(A的x坐標+C的x坐標)/2} \Rightarrow \cases{\displaystyle {c-d\over c^2-d^2}=1 \Rightarrow c+d=1\\ A(2d^2-c^2,c) \in L \Rightarrow c=2d^2-c^2+4} \\ \Rightarrow c=2(1-c)^2-c^2+4 \Rightarrow c^2-5c+6=0 \Rightarrow (c-3)(c-2)=0 \Rightarrow \cases{c=2 \Rightarrow d=-1\\ c=3 \Rightarrow d=-2} \\ \Rightarrow \cases{ \cases{D(1,-1)\\ C(4,2)} \Rightarrow \overline{DC}=3\sqrt 2 \Rightarrow 面積=\overline{CD}^2=18\\ \cases{D(4,-2) \\C(9,3)} \Rightarrow \overline{DC}=5\sqrt 2 \Rightarrow 面積=\overline{CD}^2=50} \Rightarrow 面積=\bbox[red, 2pt]{18或50}$$
解答:$$\overline{PA}^2 = \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PA} = (\overrightarrow{PO} +\overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{PO} +\overrightarrow{OA}) =2+ 2\overrightarrow{PO} \cdot \overrightarrow{OA} \\ \Rightarrow \overline{PA}^2+ \overline{PB}^2+\cdots +\overline{PG}^2 =14 +2 \overrightarrow{PO} \cdot(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}+ \cdots+ \overrightarrow{OG}) =14+2 \overrightarrow{PO} \cdot 0 =\bbox[red, 2pt]{14}$$
二、綜合題(23 分 )
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