114年新北國中教甄聯招-資優數學詳解

 新北市立國民中學 114 學年度教師聯合甄選

科目：資優數學科
選擇題： 共 50 題，總分 100 分。第 1~50 題，每題 2 分

解答:$$假設\cases{\overline{AC} =a \\\overline{CD} =b \\\overline{DB} =c } \Rightarrow \overline{AC}+ \overline{AD}+ \overline{AB}+  \overline{CD}+ \overline{CB}+  \overline{DB} =29 \\ \Rightarrow a+(a+b)+(a+b+c) +b+(b+c)+c=29 \Rightarrow 3a+ 4b+3c=29 \\ \Rightarrow \cases{b=1 \Rightarrow 3(a+c)=25 無解\\ b=2 \Rightarrow 3(a+c)=21 \Rightarrow a+c=7 \Rightarrow a+b+c=9\\ b=3 \Rightarrow 3(a+c)=17無解\\b =4 \Rightarrow 3(a+c)=13無解\\ b=5 \Rightarrow 3(a+c)=9 \Rightarrow a+c=3 \Rightarrow a+b+c=8\\ b=6 \Rightarrow3(a+c)=5 無解\\ b=7 \Rightarrow 3(a+c)=1無解}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$3^a=5^b \Rightarrow a=\log_3 5^b =b\log_3 5 \Rightarrow {1\over a}+{1\over b}={1\over b\log_3 5}+{1\over b} ={1+\log_3 5\over b\log_3 5} =2 \\ \Rightarrow b={1+\log_3 5\over 2\log_3 5} ={\log_3 15\over \log_3 25} ={\log_5 15\over \log_5 25} =\log_5 \sqrt{15} \Rightarrow c=5^b=\sqrt{15}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$A+26=27+B= 28+C=19+A+B+C \Rightarrow \cases{A-B=1\\ B-C=1\\ A-C=2\\ B+C=7\\ A+C=8\\ A+B=9} \Rightarrow \cases{A=5\\ B=4\\ C=3} \\ \Rightarrow A^2+B^2+C^2=25+16+9=50，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$先求除數之間的差值, 再求這些差值的公因數(就是題目的最大的數)\\ \cases{2587-1905=682 =2\times 11\times 31 \\ 3951-2587 =1364 =2^2\times 11\times 31\\ 7020-3951=3069 =3^2\times 11\times 31\\ 8725-7020=1705 =5\times 11\times 31} \Rightarrow 公因數11\times 31=341 \\ \Rightarrow 1905=341\times 5+200 \Rightarrow 餘數200，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$假設\cases{A(0,0,0) \\ B(2,0,2) \\C(0,2,2) \\D(2,2,0)} \Rightarrow \cases{M=(B+C)/2=(1,1,2) \\N=(D+A)/2 =(1,1,0)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AM} =(1,1,2) \\ \overrightarrow{BN}=(-1,1,-2)} \\ \Rightarrow \cos \theta= {(1,1,2) \cdot (-1,1,-2) \over |(1,1,2)||(-1,1-2)|} ={-4\over 6} \Rightarrow 銳角的餘弦值={2\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$$假設\cases{B(0,0) \\ C(2,0)} \Rightarrow \cases{A(-1,\sqrt 3) \\D(3,\sqrt 3)} \Rightarrow 拋物線\Gamma:y=a(x-1)^2+b 通過A, B \Rightarrow \cases{a+b=0\\ 4a+b=\sqrt 3} \\ \Rightarrow \cases{a= \sqrt 3/3\\ b=-\sqrt 3/3} \Rightarrow \Gamma:(x-1)^2=\sqrt 3(y+{\sqrt 3/3}) \Rightarrow c={\sqrt 3\over 4} \Rightarrow 焦點至準線距離=2c={\sqrt 3\over 2}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{長蠟燭花了23:30-17:30=6小時燒完\\ 短蠟燭花了23:00-19:00= 4小時燒完} \\\Rightarrow 在21:30時\cases{長蠟燭距離燒完還有2小時 \Rightarrow {剩餘\over 原長度}={2\over 6} ={1\over 3}\\ 短蠟燭距離燒完還有1.5小時 \Rightarrow {剩餘\over 原長度}={1.5\over 4} ={3\over 8}} \\ \Rightarrow 長蠟燭原長\times {1\over 3} =短蠟燭原長\times {3\over 8} \Rightarrow (x+3)\times {1\over 3} =x\times {3\over 8} \Rightarrow x=24 \\\Rightarrow 長蠟燭原長度=24+3=27，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$$\cases{\overline{BA}=1\\ \overline{BC}=1} \Rightarrow 以B為圓心, 半徑為1的圓\Gamma \Rightarrow A,C均在\Gamma上\\ 又\angle CDA=130^\circ = 優弧 \stackrel{\Large \frown}{AC} \Rightarrow D在劣弧\stackrel{\Large \frown}{AC}上 \Rightarrow D也在\Gamma 上\Rightarrow \overline{BD}=半徑=1，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$(\sin \theta-\cos \theta)^2={({1\over 2})}^2 \Rightarrow 1-2\sin \theta\cos \theta={1\over 4} \Rightarrow 2\sin \theta\cos \theta={3\over 4}\\ \Rightarrow (\sin \theta+\cos \theta)^2=1+2\sin \theta \cos \theta= 1+{3\over 4} ={7\over 4} \Rightarrow \sin \theta+\cos \theta ={\sqrt 7\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$x^2+y^2=1 \Rightarrow \cases{x= \cos \theta\\ y=\sin \theta}\\算幾不等式:{x\over 1-x^2}+{y\over 1-y^2} \ge 2\sqrt{{x\over 1-x^2}\cdot{y\over 1-y^2}} = 2\sqrt{xy\over 1-(x^2+y^2)+x^2y^2} \\=2\sqrt{1\over xy} =2\sqrt{2\over \sin 2\theta} \Rightarrow 最小值2\sqrt 2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$假設七位數字由左至右分別為d_1, d_2,\dots,d_7, 並假設\cases{A=d_1+ d_3+ d_5 +d_7\\ B=d_2+d_4+d_6} \\ 符合11的倍數\Rightarrow A-B= 11k, k\in \mathbb Z, 又A+B= 1+2+ \cdots+7=28 \\即\cases{A+B=28\\ A-B=11k}  \Rightarrow 2B=28-11k為偶數\Rightarrow k為偶數 \\ \Rightarrow \cases{k=0 \Rightarrow B=14\\ k=2 \Rightarrow B=d_2+d_4+d_6=3 \Rightarrow 不可能\\ k=-2 \Rightarrow B=d_2+d_4+d_6=25 \Rightarrow 不可能(最大的三個數字相加7+6+5=18 )} \\ \Rightarrow 唯一解  B=14 \Rightarrow B= \{1,6,7\}, \{2,5,7\},  \{3,4,7\},  \{3,5,6\} \\ \Rightarrow 每一組的七位數字排列數=3!\times 4!=144 \Rightarrow 共4組,總共有144\times 4=576，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$$\cos \angle OAC= {3^2+5^2-7^2\over 2\cdot 3\cdot 5} =-{1\over 2} \Rightarrow \cos (\theta_1+\theta_2) ={1\over 2} \Rightarrow \angle BOA={\pi\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$總共六支隊伍, 假設隊名為A,B,C,D,E,F, 也就是每隊要比五場; \\依題意A,B,C,D,E分別比了5,4,3,2,1場\\A比了5場: A跟每一隊都比過了，包含F \\E只比了一場, 顯然是跟A比過, F與E沒比過\\ B比了4場,有一隊沒有跟B比過,顯然就是E, 因此F與B已經比過了\\ D比了2場, 顯然是A與B, 因此F與D沒比過\\ C比了3場,顯然A與B已經與C比過了; 不可能是E (E只與A比過),也不可能是D(D只與A,B比過)\\ \qquad 因此C與F比過\\ 由以上可知:F與A,B,C比過了,共比了3場，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$開關被按奇數次牢房就會打開，1-2025中因數是奇數的就是完全平方數\\ \Rightarrow 1-1025完全平方數:1^2,2^2,\dots,45^2 \Rightarrow 共45個，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:

$$假設小圓錐的高x=\overline{PQ} \Rightarrow {a\over b}={x\over x+h} \Rightarrow x={ah\over b-a} \\ \Rightarrow \cases{大圓錐體積={1\over 3}b^2\pi(x+h) = {1\over 3}b^2\pi\cdot \displaystyle {bh\over b-a} ={b^3h\pi\over 3(b-a)} \\ 小圓錐體積={1\over 3}a^2\pi x= {1\over 3}a^2\pi \cdot \displaystyle {ah\over b-a}={a^3h\pi\over 3(b-a)} } \\ \Rightarrow 圓錐台體積=大圓錐-小圓錐={(b^3-a^3)h\pi\over 3(b-a)} ={(a^2+ab+b^2)h\pi \over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$假設xyz=k \gt 0\Rightarrow \cases{x^3=k-5\\ y^3=k+2\\ z^3=k+21} \Rightarrow x^3y^3z^3 =k^3=(k-5)(k+2)(k+21) \\ \Rightarrow 18k^2-73k-210=0 \Rightarrow (18k+35)(k-6)=0 \Rightarrow k=6 \\ \Rightarrow \cases{x^3=6-5=1 \\ y^3=6+2=8\\ z^3=6+21=27} \Rightarrow \cases{x=1\\ y=2\\ z=3} \Rightarrow x+y+z=6，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:

$$\triangle BCD為等腰\triangle,取E=\overline{CD}中點 \Rightarrow \overline{BE} \bot \overline{CD}, 假設\overline{BE}=h \\ 假設\overline{CE}=a \Rightarrow \overline{DE}=a \Rightarrow \overline{DA}=2a \Rightarrow \overline{AC}=4a \\\Rightarrow ABC面積= {1\over 2} \cdot\overline{AC}\cdot \overline{AB} \sin \angle A  ={1\over 2}\cdot 4a\cdot 3\cdot \sin \angle A=6a\sin \angle A=3 \Rightarrow \sin \angle A={1\over 2a} \\ 又\cos \angle A={\overline{AE} \over \overline{AB}}={3a\over 3}=a \Rightarrow \sin 2\angle A= 2\sin \angle A\cos \angle A=2\cdot a\cdot {1\over 2a}=1 \\ \Rightarrow 2\angle A={\pi\over 2} \Rightarrow \angle A={\pi\over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$假設五張撲克牌的點數由小到大分別為 a\le b\le c\le d\le e。\\ 五個數任取兩個相加, 每個數字都加了4次, 因此0+2+4+\cdots+13+15=4(a+b+c+d+e) \\ \Rightarrow a+b+c+ d+e =72/4=18\\ 又\cases{最小的兩數a+b=0\\ 最大的兩數d+e=15} \Rightarrow c=(a+b+c +d+e)-(a+b)-(d+e) \\ \Rightarrow c=18-0-15=3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$T_n 等於第n-2項的卡塔蘭數\text{(Catalan numbers)}: C_k={1\over k+1} {2k\choose k} \\ \Rightarrow T_6=C_4={1\over 5}{8\choose 4}={1\over 5} \times 70=14，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$對角線之和=55+2(45+36+28+21+15+10+6+3+1) =385，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$取u=x-1 \Rightarrow x=u+1代入原式\Rightarrow 2u \sin(\pi(u+1))+1=0 \Rightarrow 2u\sin(\pi u)-1=0\\ 原x\in [-2,4] \Rightarrow u\in [-3,3], 又f(u)=2u\sin(\pi u)-1 \Rightarrow f(-u) = 2(-u)\sin (-\pi u)-1  \\=2u\sin(\pi u)-1 =f(u) \Rightarrow f(u)為偶函數 \Rightarrow f(u)=0所有解的和=0\\ 考慮\cases{u\in (0,1] \Rightarrow f(u)=0有2個解\\ u\in (1,2] \Rightarrow f(u)=0無解\\ u\in (2,3]\Rightarrow f(u)=0有2個解} \Rightarrow u\in (0,3]有4個解\Rightarrow u\in [-3,0)也有4個解\\ \Rightarrow f(u)=0在區間[-3,3]有8個解 \Rightarrow 假設這8個解為u_1,\dots,u_8 \Rightarrow x_i=u_i+1, i=1,2,\dots,8 \\ \Rightarrow \sum_{i=1}^8 x_i= \sum_{i=1}^8(u_i+1) =\sum_{i=1}^8 u_i+8 =0+8=8，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$(A)x=1+{1\over 2+{1\over 2+{1\over \cdots}}} =1+{1\over 1+(1+{1\over 2+{1\over \cdots}})} =1+{1\over 1+x}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$2^n+256=2^n +2^8 = k^2 \Rightarrow  k^2-2^8=2^n \Rightarrow (k-2^4)(k+2^4) =(k-16)(k+16)=2^n \\ \Rightarrow \cases{k-16=2^a\\ k+16=2^b}, 其中\cases{a+b=n\\ a\lt b} \Rightarrow (k+16)-(k-16)=32=2^b-2^a=2^a(2^{b-a}-1) \\ 由於\cases{32是偶數\\ 2^a是偶數\\ 2^{b-a}-1是奇數}\Rightarrow 32的奇數因數只有1 \Rightarrow \cases{2^a=32\\ 2^{b-a}-1=1} \Rightarrow \cases{a=5\\ b=6} \\ \Rightarrow 只有一組解n=5+6=11，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$5個頂點，各頂點有3個顏色可用，共3^5=243種塗法\\ 環狀著色問題, n=5,k=3代入公式(k-1)^n+(-1)^n(k-1) =30 \\ \Rightarrow 機率{30\over 243}={10\over 81} \Rightarrow a+b=91，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$甲+(甲+乙) +(甲+乙)+\cdots +(甲+乙)+1=1999\\ \Rightarrow \cases{甲=2\\ 甲+乙=4}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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