115年全國高中教甄聯招-數學詳解

 教育部受託辦理115學年度公立高級中等學校教師甄選

第一部分：選擇題（ 共 40 分）

一、單選題（ 每題 2 分， 共 22 分）

解答:$$n=(2+1) (2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) (2^{16}+1){\color{blue}(2^{32}+1)}(2^{64}+1) (2^{128}+1) \\=(2-1) (2+1) (2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) (2^{16}+1){\color{blue}(2^{32}+1)}(2^{64}+1) (2^{128}+1) \\=(2^2-1) (2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) (2^{16}+1){\color{blue}(2^{32}+1)}(2^{64}+1) (2^{128}+1) \\= (2^4-1)(2^4+1)(2^8+1) (2^{16}+1){\color{blue}(2^{32}+1)}(2^{64}+1) (2^{128}+1) \\ = \cdots=(2^{128}-1) (2^{128}+1) =2^{256}-1 \\ \Rightarrow \log n= \log (2^{256}-1) \approx \log 2^{256} =256\cdot \log 2=256\cdot 0.301=77.056 \Rightarrow 78位數，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}\\ {題目漏了(2^{32}+1)}, 最後\bbox[cyan,2pt]{送分}$$

解答:$$\cases{|\vec a| =|\vec b|=1\\ \vec a,\vec b夾角120^\circ} \Rightarrow \vec a\cdot \vec b=1\cdot 1\cdot \cos 120^\circ=-{1\over 2} \\ \cases{(A) |\vec a+\vec b|= \sqrt{|\vec a|^2+ 2\vec a\cdot \vec b+ |\vec b|^2} =\sqrt{1-1+1} =1 \\(B) |\vec a-\vec b| = \sqrt{|\vec a|^2- 2\vec a\cdot \vec b+ |\vec b|^2} =\sqrt{1+ 1+1}=\sqrt 3 \\ (C) |\vec a|=1\\ (D) \sqrt 2|\vec b|=\sqrt 2}  \Rightarrow \sqrt 3最大，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$${x^2\over 25}+{y^2\over 9}=1 \Rightarrow \cases{a=5\\b=3} \Rightarrow c=4 \Rightarrow \cases{A(-4,0)為左焦點\\ C(4,0)為右焦點} \Rightarrow {\sin A+\sin C\over \sin B} ={\overline{BC}+ \overline{AB} \over \overline{AC}} ={2a\over 2c} \\={10\over 8}={5\over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$顯然L:2x+3y=7通過A(2,1)，由於數字範圍小，直接人工計算比較快\\ \cases{x=3 \Rightarrow y=1/3非整數\\ x=4 \Rightarrow y=-1/3非整數\\ x=5\Rightarrow y=-1\\ x=6,7\Rightarrow y非整數 \\x=8 \Rightarrow y=-3\Rightarrow x^2+y^2 \not \lt 73} \Rightarrow \cases{x=2 \Rightarrow y= 1\\x=1,0 \Rightarrow y非整數\\ x=-1 \Rightarrow y=3\\ x=-2,-3 \Rightarrow y非整數\\ x=-4 \Rightarrow y=5\\ x=-5,-6\Rightarrow y非整數\\ x=-7\Rightarrow y=7\Rightarrow x^2+y^2\not \lt 73} \\ 因此共有四個格子點:(5,1),(2,1),(-1,3), (-4,5)，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$12=2^2\times 3\Rightarrow 12^{20} =2^{40} \times 3^{20} \Rightarrow n!至少要40個質因數2及20個質因數3 \\ 利用\text{Legendre's formula }計算n!中含有的質因數個數\\ n=45 \Rightarrow 質因數3的個數= \left \lfloor {45\over 3}\right \rfloor + \left \lfloor {45\over 9}\right \rfloor + \left \lfloor {45\over 27}\right \rfloor =21 \gt 20 \\ \qquad \Rightarrow 質因數2的個數=\left \lfloor {45\over 2}\right \rfloor + \left \lfloor {45\over 4}\right \rfloor + \left \lfloor {45\over 8}\right \rfloor + \left \lfloor {45\over 16}\right \rfloor + \left \lfloor {45\over 32}\right \rfloor =41\gt 40\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$36條直線將平面分割成36\times 2=72個相鄰夾角，平均角度為{360^\circ\over 72}=5^\circ\\ \Rightarrow 至少有一個角\theta\le 5^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$四種顏色的球每一種最多都只取出 9 顆，共9\times 4=36顆，只要再取一顆球，同色球必達10顆\\因此k=36+1=37，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$n-1\le \log n^n \lt n \Rightarrow {n-1\over n}\le \log n\lt 1 \Rightarrow 1-{1\over n}\le \log n\lt 1 \\ \Rightarrow \cases{n=1 \Rightarrow 0\le 0\lt 1成立\\ n=2-7 \Rightarrow 1-{1\over n}\not \le \log n\\ n=8 \Rightarrow  1-{1\over 8}=0.875 \le \log 8=0.903\lt 1成立\\ n=9 \Rightarrow 1-{1\over 9}=0.889\le \log 9=0.9542\lt 1成立 \\ n\ge 10 \Rightarrow \log n\not \lt 1} \Rightarrow n=1,8,9，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\lim_{n\to \infty} (\sqrt{n^2+n}-n) =\lim_{n\to \infty} {(\sqrt{n^2+n}-n) (\sqrt{n^2+n}+n) \over \sqrt{n^2+n}+n}= \lim_{n\to \infty} {n \over \sqrt{n^2+n}+n} \\= \lim_{n\to \infty} {1 \over \sqrt{1+1/n}+1} ={1\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$S_n=\sum_{n=1}^n {k\over 2^k} ={1\over 2}+{2\over 2^2}+{3\over 2^3}+ \cdots +{n\over 2^n} \Rightarrow {1\over 2}S_n ={1\over 2^2}+{2\over 2^3}+{3\over 2^4}+ \cdots +{n\over 2^{n+1}} \\ \Rightarrow S_n-{1\over 2}S_n={1\over 2}+ {1\over 2^2}+{1\over 2^3}+ \cdots+{1\over 2^n}-{n\over 2^{n+1}} \Rightarrow {1\over 2}S_n=1-{1\over 2^n}-{n\over 2^{n+1}} \\ \Rightarrow S_n=2-{1\over 2^{n-1}}-{n\over 2^n} \Rightarrow \lim_{n\to \infty }S_n=2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$f(x)= \int_0^{x^2} \sqrt{t^2+1}\,dt \Rightarrow f'(x)= \sqrt{x^2+1} \cdot 2x \Rightarrow f'(1)=\sqrt 2\cdot 2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

二、 多選題（每題 3 分，全對才給分，共 18 分）

解答:$$(A)\times: t=0 \Rightarrow 10^x=0無解\\ (B)\bigcirc: \log x=s \Rightarrow x=10^s \\ (C)\times: y=a^x 與y=\log_a x互為反函數，圖形對稱y=x，不一定相交.例:a=2 \Rightarrow 2^x\gt x\gt \log_2 x \\(D)\bigcirc: (2,3)在y=a^x 上\Rightarrow a=\sqrt 3 \Rightarrow \log_{\sqrt 3}3= 2 通過(3,2)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BD)}$$

解答:$$原式:x(x-2)(x+3)\le 0 \Rightarrow 0\le x\le 2或x\le -3 \\(A) \bigcirc:x(x-2)^3(x+3)(x^2+1)\le 0 \Rightarrow x(x-2)(x+3)\le 0與原式相同 \\(B)\bigcirc: (x^2+x-6)(x^5+6x^3+9x) =(x-2)(x+3)x(x^2+3)^2 \le 0 \Rightarrow (x-2)(x+3)x\le 0與原式相同 \\ (C)\times: x^2(x-2)(x+3)\le 0\Rightarrow (x-2)(x+3) \le 0 \Rightarrow -3\le x\le 2 \Rightarrow 不同\\(D)\times : x^2(x^2+x-6)\le 0 \Rightarrow x^2+x-6\le 0\Rightarrow (x-2)(x+3)\le 與(C)相同,與原式不同\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AB)}$$

解答:$$\cases{E_1:2x-y+z=5 的法向量\vec n_1=(2,-1,1)\\ E_2:x+y+2z=4 的法向量\vec n_2=(1,1,2)} \Rightarrow \vec n_1\times \vec n_2=(-3,-3,3) \Rightarrow L的方向向量為(1,1,-1) \\ L_1 \parallel L_2 \Rightarrow L_1 \parallel L_2 \parallel L \Rightarrow 三直線方向向量皆為(1,1,-1) \\(A) \bigcirc:\cos \theta= {\vec n_1 \cdot \vec n_2 \over |\vec n_1|| \vec n_2|} ={3\over \sqrt{6}\cdot \sqrt 6}={1\over 2} \Rightarrow \theta=60^\circ \\(B) \times: L_1通過P(3,0,-1)且方向向量為(1,1,-1) \Rightarrow L_1: {x-3\over 1}={y\over 1}={z+1\over -1} \\(C)\bigcirc: d(P,E_2) = {\sqrt 6\over 2} \Rightarrow d(P,E_2)= d(P,L)\sin 60^\circ \Rightarrow {\sqrt 6\over 2}=d(P,L)\cdot {\sqrt 3\over 2} \Rightarrow d(P,L)=\sqrt 2 \\(D)\times: \cases{P(3,0,-1) \\Q(1,1,1)} \Rightarrow \overrightarrow{PQ}=(-2,1,2) \Rightarrow E的法向量\vec n_E\parallel ( \overrightarrow{PQ}\times (1,1,-1)) \Rightarrow 取\vec n_E=(1,0,1) \\ \qquad E通過P(3,0,-1) \Rightarrow E:(x-3)+(z+1)=0 \Rightarrow x+z=2, 取R(3,1,0)\in E_1\cap E_2 \\ \qquad \Rightarrow d(R,E)={1\over \sqrt 2} \ne \sqrt 2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AC)}$$

解答:$$(A)\times: 若x在區間(1,3)還有其他極值，不能保證f(1)\lt f(3) \\(B)\bigcirc: 在x=1,x=3有極值\Rightarrow f'(1)=f'(3)=0 \Rightarrow 在間[1,3]中,f'(x)不可能全為0 \\\qquad \Rightarrow 必然存在一段區間是嚴格遞減的,即1\lt a\lt b\lt 3滿足f'(a)\gt f'(b) \\(C)\times: f(x)=(x-1)^4+1 \Rightarrow f(1)為極小值,但f''(1)=0 \not \gt 0 \\(D)\bigcirc: f'(x)=x(x-1)(x-3)(x-4) 符合要求, 且f(x)為5次式\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BD)}$$

解答:$$(A)\bigcirc: 假設選出來的數字為a\lt b\lt c \Rightarrow a+c=2b 為偶數 \Rightarrow \cases{a,c皆為奇數:C^{10}_2=45\\ a,c皆為偶數:C^{10}_2=45} \\ \qquad \Rightarrow 合計45+ 45=90 \\(B)\times: 任選三數有C^{20}_3=1140，其中不為4的倍數有兩種情形:\\ \qquad\cases{三數皆奇數:C^{10}_3=120\\ 二奇數,另一偶數為2,6,10,14,18之一: C^{10}_2C^5_1=225} \Rightarrow 合乎條件:1140-120-225=795\ne 570 \\(C) \times:四個等差數字:a,a+d, a+2d,a+3d \Rightarrow a+3d\le 20 \\ \qquad \Rightarrow \cases{d=1 \Rightarrow a\le 17,有17種\\d=2 \Rightarrow a\le 14,有14種\\ d=3 \Rightarrow a\le 11, 有11種\\ d=4\Rightarrow a\le 8, 有8種\\ d=5 \Rightarrow a\le 5,有5種\\ d=6 \Rightarrow a\le 2,有2種} \Rightarrow 合計57\ne 63\\  (D)\bigcirc: 任選四數有C^{20}_4= 4845種，其中不為4的倍數有兩種情形:\\ \qquad \cases{四數皆奇數:C^{10}_4=210 \\三奇數,另一偶數為2,6,10,14,18之一: C^{10}_3C^5_1= 600} \Rightarrow 4845-210-600=4035\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AD)}$$

解答:$$\omega=\cos{2\pi\over 5} +i \sin {2\pi\over 5} \Rightarrow \omega^5=1\\ 由於 z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1) \\\Rightarrow f(z)=z^4+z^3+z^2+z+1= (z-\omega) (z-\omega^2) (z-\omega^3) (z-\omega^4)\\ (A)\times: f(1)=5= (1-\omega)(1-\omega^2)(1-\omega^3)(1-\omega^4) \Rightarrow (\omega-1)(\omega^2-1) (\omega^3-1)(\omega^4-1)=5\ne 1 \\(B)\bigcirc: f(-1)= 1=(-1-\omega) (-1-\omega^2)(-1-\omega^3) (-1-\omega^4) \\ \qquad \Rightarrow (\omega+1) (\omega^2+1)( \omega^3+1) (\omega^4+1)=1 \\ (C) \times:{1\over \omega}+{1\over \omega^2} +{1\over \omega^3}+{1\over \omega^4}+1 ={1+\omega+ \omega^2+\omega^3+ \omega^4\over \omega^4} ={0\over \omega^4}\Rightarrow {1\over \omega}+{1\over \omega^2} +{1\over \omega^3}+{1\over \omega^4}=-1\ne 2 \\(D) \bigcirc:\omega^5=1\Rightarrow \cases{\omega^4=1/\omega\\ \omega^3=1/\omega^2} \Rightarrow {1\over \omega+1} +{1\over \omega^2+1} +{1\over \omega^3+1} +{1\over \omega^4+1} \\\qquad ={1\over \omega+1} +{1\over \omega^2+1} +{1\over 1/\omega^2+1} +{1\over 1/\omega+1} ={1\over \omega+1} +{1\over \omega^2+1} +{\omega^2\over \omega^2+1} +{\omega \over \omega+1} \\\qquad = {1+\omega\over 1+\omega}+ {1+\omega^2\over 1+\omega^2} =2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BD)}$$

第二部分： 綜合題（ 共 60 分）

一、填充題（每題 5 分，共 35 分）

解答:$$a^x=10^y=8 \Rightarrow \cases{a=8^{1/x} \\10=8^{1/y}} , 已知xy-3x+y=0 \Rightarrow1-{3\over y}+{1\over x} =0 \Rightarrow {3\over y}-{1\over x}=1 \\ \Rightarrow 8^{(3/y)-(1/x)}=8 \Rightarrow {1000\over a}=8 \Rightarrow a={1000\over 8}= \bbox[red, 2pt]{125}$$

解答:$$\int_{-1}^7 (-2+\sqrt{-x^2+6x+7})\,dx =\int_{-1}^7 (-2)\,dx + \int_{-1}^7\sqrt{4^2-(x-3)^2}\,dx \\=-16+ 半圓面積= \bbox[red, 2pt]{-16+8\pi}$$

解答:$$z=(3a+\cos \theta)+(a-\sin \theta)i \Rightarrow |z|^2=(3a+\cos \theta)^2+ (a-\sin \theta)^2= 10a^2+1+6a\cos \theta-2a\sin \theta \le 9 \\ \Rightarrow 6a\cos \theta-2a\sin \theta\le 8-10a^2 \Rightarrow \sqrt{36a^2+4a^2} =2\sqrt{10}|a| \le 8-10a^2 \\ \Rightarrow 5|a|^2+\sqrt{10}|a|-4\le 0 \Rightarrow- {2\sqrt{10} \over 5}\le |a|\le {\sqrt{10} \over 5} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{- {\sqrt{10} \over 5}\le a\le  {\sqrt{10} \over 5}}$$

解答:$$f(x+2)={f(x)-1\over f(x)+1} \Rightarrow f(x+4) ={f(x+2)-1\over f(x+2)+1} ={{f(x)-1\over f(x)+1}-1\over {f(x)-1\over f(x)+1}+1}  =-{1\over f(x)} \\ \Rightarrow f(x+8) =f(x+4+4)=-{1\over f(x+4)} =-{1\over -{1\over f(x)}} =f(x) \Rightarrow 週期T=8 \\f(2)=-3 \Rightarrow f(4)={f(2)-1\over f(2)+1} =2 \Rightarrow f(6)={f(4)-1\over f(4)+1}={1\over 3} \Rightarrow f(8) ={f(6)-1\over f(6)+1}=-{1\over 2} \\ \Rightarrow f(10)={f(8)-1\over f(8)+1}=-3=f(2) \Rightarrow f(118 =8\times 14+6) =f(6)= \bbox[red, 2pt]{1\over 3}$$


解答:

$$f(x)=(|x+5|-1)(x+2) = \begin{cases} (x+3)^2-1& x\ge -5\\ -(x+4)^2+4 & x\le -5\end{cases} \Rightarrow 極值頂點\cases{A(-5,3)\\ B(-3,-1)} \\ 兩圖形\cases{y=f(x)\\y=a}有三個交點, \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{-1\lt a\lt 3}$$


解答:$$甲比乙多拿一次,因此假設乙拿k次,則甲拿k+1次,合計2k+1=N為一奇數 \\ \Rightarrow N\le 15\le 2N \Rightarrow 7.5\le N\le 15 \Rightarrow N=9,11,13,15\\ 在N回合中，假設有m回合拿2個,剩下N-m回合拿一個糖果 \\\Rightarrow 2m+(N-m)=15\Rightarrow m=15-N \Rightarrow \cases{N=9 \Rightarrow m=15-9=6 \Rightarrow 方法數:C^9_6=84\\ N=11 \Rightarrow m=4 \Rightarrow 方法數:C^{11}_4=330\\ N=13 \Rightarrow m=2 \Rightarrow 方法數:C^{13}_2=78\\ N=15 \Rightarrow m=0 \Rightarrow 方法數:C^{15}_0=1} \\ \Rightarrow 合計:84+330+78+1= \bbox[red, 2pt]{493}$$

解答:$$假設\cases{a= |\overrightarrow{BC}| \\b= |\overrightarrow{AC}| \\c= |\overrightarrow{AB}| } \Rightarrow c^2= | \overrightarrow{AB}|^2 =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CB}) =\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} \\=2+4=6, 同理可得\cases{b^2=2+6=8\\ a^2=4+6=10} \Rightarrow \triangle ABC面積= {1\over 2} \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2} \\={1\over 2} \sqrt{6\cdot 8-2^2}= {1\over 2} \sqrt{44} = \bbox[red, 2pt]{\sqrt{11}}$$

二、 證明題（共 25 分）

解答:$$方法一:\\ (k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1 \Rightarrow (k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 \\ \Rightarrow \cases{k=1\Rightarrow 2^3-1^3= 3(1^2)+3(1)+1\\ k=2\Rightarrow 3^3-2^3=3(2^2)+3(2)+1\\ k=3 \Rightarrow 4^3-3^3=3(3^2)+3(3)+1\\ \cdots\cdots\\ k=n \Rightarrow (n+1)^3-n^3=3(n^2)+3(n)+1}\\ \Rightarrow 合計:(n+1)^3-1^3= 3(1^2+2^2+ \cdots+n^2)+ 3(1+2+\cdots+n)+(1+1+ \cdots+1) \\ \Rightarrow n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+ \cdots+n^2)+ 3\cdot {n(n+1)\over 2}+n\\ \Rightarrow 3(1^2+2^2+ \cdots+n^2)= n^3+3n^2+2n-{3n(n+1)\over 2} \Rightarrow 1^2+2^2+ \cdots+n^2= {n(n+1)(2n+1)\over 6} \\ 方法二:歸納法(略)$$

解答:$$\Gamma:y=ax^2 \Rightarrow y'=2ax \Rightarrow \cases{A(x_1,y_1) \in \Gamma\\ B(x_2,y_2) \in \Gamma} \Rightarrow \cases{y_1=ax_1^2\\ y_2=ax_2^2} \Rightarrow \cases{L_1切線斜率m_1=2ax_1\\ L_2切線斜率m_2=2ax_2} \\ \Rightarrow \cases{L_1: y=2ax_1x-ax_1^2\\ L_2: y=2ax_2x-ax_2^2} \Rightarrow P(x_3,y_3) =L_1\cap L_2 \Rightarrow 2ax_1x_3-ax_1^2=2ax_2x_3-ax_2^2 \\ \Rightarrow 2ax_3(x_1-x_2)=a(x_1-x_2)(x_1+x_2) \Rightarrow x_3={x_1+x_2\over 2},\bbox[red, 2pt]{故得證}$$

解答:$$\sin \alpha+ \sin \beta+ \sin \gamma= 2\sin {\alpha+ \beta\over 2} \cos {\alpha-\beta\over 2}+ \sin \gamma =2\cos{\gamma\over 2} \cos{\alpha-\beta\over 2}+\sin \gamma \\ \le 2\cos {\gamma\over 2}+\sin \gamma=2\cos {\gamma\over 2}+ 2\sin{\gamma\over 2} \cos {\gamma\over 2}=g(\gamma) \\ \Rightarrow g'(\gamma)= -2\sin^2{\gamma\over 2}-\sin{\gamma\over 2}+1=- \left( 2\sin{\gamma\over 2}-1 \right) \left( \sin{\gamma\over 2}+1 \right) =0 \Rightarrow 2\sin {\gamma\over 2}=1 \\ \Rightarrow \gamma=60^\circ \Rightarrow g(60^\circ)= 2\cos 30^\circ+\sin 60^\circ= {3\sqrt 3\over 2} \Rightarrow \sin \alpha+ \sin \beta+ \sin \gamma\le {3\sqrt 3\over 2},\bbox[red, 2pt]{故得證}$$

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