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2013年11月29日 星期五

102年國中基測數學詳解

試題來源當然是心測中心:http://www.bctest.ntnu.edu.tw
關鍵詞:國中、數學、基測

1. 計算12÷(-3)-2×(-3)之值為何?
(A)-18 (B)-10 (C)2 (D)18
解:(C)


2. 小華班上比賽投籃,每人投6球,圖(一)是班上所有學生投進球的圓形圖。根據圖(一),下列關於班上所有學生投進球數的統計量,何者正確?
(A)中位數為3 (B)中位數為2.5 (C)眾數為5 (D)眾數為2



解:(D)
由圓形圖可知,投進2球的人數最多,所以眾數為2。



3. kmn為三整數,若\(\sqrt{135}=k\sqrt{15}, \sqrt{450}= 15\sqrt{m}, \sqrt{180}=6\sqrt{n}\)則下列有關kmn的大小關係,何者正確?
(A)k<m=n (B)m=n<k (C)m<n<k (D)m<k<n
解:(D)
$$\sqrt{135}=\sqrt{9\times 15}=3\sqrt{15}\Rightarrow k=3\\
\sqrt{450}=\sqrt{225\times 2}=15\sqrt{2}\Rightarrow m=2\\
\sqrt{180}=\sqrt{36\times 5}=6\sqrt{5}\Rightarrow n=5$$

4.若一多項式除以2x²-3,得到的商式為7x-4,餘式為-5x+2,則此多項式為何?$$(A)14x^3-8x^2-26x+14\\(B)14x^3-8x^2-26x-10\\(C)-10x^3+4x^2-8x-10\\(D)-10x^3+4x^2+22x-10$$
解:(A)
$$多項式=(2x^2-3)(7x-4)+(-5x+2)=14x^3-8x^2-21x+12-5x+2\\=14x^3-8x^2-26x+14$$
快解:只要算常數項→(-3)(-4)+2=12+2=14,故選(A)


5.表(一)為服飾店販賣的服飾與原價對照表。某日服飾店舉辦大拍賣,外套依原價打六折出售,襯衫和褲子依原價打八折出售,服飾共賣出200件,共得24000元。若外套賣出x件,則依題意可列出下列哪一個一元一次方程式?


表(一)
服飾原價(元)
外套250
襯衫125
褲子125


(A) 0.6×250x+0.8×125(200+x)=24000
(B) 0.6×250x+0.8×125(200-x)=24000
(C) 0.8×250x+0.6×125(200+x)=24000
(D) 0.8×250x+0.6×125(200-x)=24000

解:(B)
依題意知:外套賣x件,所以襯衫及褲子共賣(200-x)件;又外套一件原價250元打六折,所以外套共賣0.6×250x襯衫及褲子原價皆為125元打八折,所以襯衫及褲子共賣0.8×125(200-x),共賣出0.6×250x+0.8×125(200-x)=2400。故選(B)



6.若有一正整數N為65、104、260三個數的公倍數,則N可能為下列何者?
(A)1300  (B)1560  (C)1690  (D)1800
解:(B)
最小公倍數為 13×5×4×2=520
520×3=1560 故選(B)



7.某社團有60人,表(二)為此社團成員年齡的次數分配表。求此社團成員年齡的四分位距為何?
表(二)
年齡(歲)363839434648505558606265
次數(人)4575521107833

(A)1 (B)4 (C)19 (D)21

解:(C)

年齡(歲)363839434648505558606265
次數(人)4575521107833
累積次數4916212628293946545760
由於社團共60人,第1四分位數Q1=60×0.25=15→年齡為39歲,
第3四分位數Q3=60×0.75=45→年齡為58歲;所以四分位距=Q3-Q1=58-39=19,故選(C)。



8.座標平面上有一函數y=-3x²+12x-7的圖形,其頂點座標為何?
(A) (2,5)  (B) (2, -19)  (C) (-2,5)  (D)(-2,-43)
解:(A)$$-3x^2+12x-7=-3(x^2-4x+4)+12-7=-3(x-2)^2+5$$
所以頂點座標為(2, 5),故選(A)

9. 圖(二)中直線LN分別截過ÐA的兩邊,且L//N。根據圖中標示的角,判斷下列各角的度數關係,何者正確?
圖(二)

(A)Ð2+Ð5>180°   (B)Ð2+Ð3<180°
(C)Ð1+Ð6>180°   (B)Ð3+Ð4<180° 
解:(A)
因為L//N,所以Ð3=Ð5;又Ð3=ÐA+Ð1。
因此Ð2+Ð5=Ð2+Ð3=Ð2+Ð1+ÐA=180°+ÐA>180°
故選(A)



10.判斷\(\sqrt{15}\times\sqrt{40}\)之值會介於下列哪兩個整數之間?
(A) 22、23  (B) 23、24  (C) 24、25 (D) 25、26
解:(C)

22×22=484 23×23=529 24×24=576 25×25=625 26×26=676   
15×40=600 576<600<625,所以介於24與25之間,故選(C)。
實務上會先算25×25=625, 再算24×24,其它值不會算到。



11. 座標平面上有一點A,且A點到x軸的距離為3,A點到y軸的距離恰為到x軸距離的3倍。若A點在第二象限,則A點座標為何?
(A) (-9,3)  (B) (-3,1)  (C)(-3,9)  (D) (-1,3)
解:(A)
假設A=(a,b),因為A在第二象限,所以a<0,b>0,且|a|=3b。
因A點到x軸的距離為3,所以b=3,故a=-9。因此A座標為(-9,3),選(A)。



12. 解一元一次不等式12-(2x-5)³7x-3,得其解的範圍為何?
\((A)x\ge\frac{10}{9}\;(B)x\ge{20\over 9}\;(C)x\le\frac{10}{9} \;(D)x\le\frac{20}{9}\)
解:(D)$$12-(2x-5)\ge 7x-3\Rightarrow 17-2x\ge 7x-3 \Rightarrow 20\ge 9x\Rightarrow \frac{20}{9}\ge x, 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

13. 圖(三)表示小勲到商店購買兩個單價相同的布丁和10個單價相同的棒棒糖的經過。

根據圖(三),判斷布丁和棒棒糖的單價相差多少元?
(A) 20   (B)  30  (C) 40  (D) 50
解:
假設一個布丁x元,一根棒棒糖y元。
由「多算2根棒棒糖,退20元」可知1根棒棒糖10元(y=10)。
2x+12y=200→2x+120=200→2x=80→x=40。
所以x-y=40-10=30,選(B)


14. 如圖(四),\(\triangle ABC\)中,\(D\)為\(\overline{AB}\)中點,\(E\)在\(\overline{AC}\)上,且\(\overline{BE}\bot\overline{AC}\)。若\(\overline{DE}=10,\overline{AE}=16\),則\(\overline{BE}\)的長度為何?

(A) 10  (B) 11  (C) 12  (D) 13

解:

$$作\overline{DF},使得\overline{DF}//\overline{BE},且交\overline{AC}於F點,見上圖\\
\overline{DF}//\overline{BE}\Rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}= \frac{\overline{AF}}{\overline{FE}}\Rightarrow \overline{AF}=\overline{FE}=\overline{AE}\div 2= 16\div 2=8\\在直角\triangle DFE中, \overline{DE}^2=\overline{DF}^2+\overline{FE}^2 \Rightarrow 100=\overline{DF}^2+64\Rightarrow \overline{DF}=6\\ \overline{DF}//\overline{BE}\Rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}= \frac{\overline{DF}}{\overline{BE}} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{6}{\overline{BE}}\Rightarrow \overline{BE}=12, 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

15. 計算\(\left(\frac{21}{26}\right)^3 \times \left(\frac{13}{14}\right)^4\times \left(\frac{4}{3}\right)^5\)之值與下列何者相同?
$$(A)\frac{13}{3^3}\;(B)\frac{13^2}{3^3}\; (C)\frac{2\times 13}{7\times 3}\; (D)\frac{13\times 2^3}{7\times 3^2}$$
解:$$\left(\frac{21}{26}\right)^3 \times \left(\frac{13}{14}\right)^4\times \left(\frac{4}{3}\right)^5 =\left(\frac{3\times 7}{2\times 13}\right)^3\times \left(\frac{13}{2\times 7}\right)^4 \times \left(\frac{2^2}{3}\right)^5\\ =\frac{3^3\times 7^3\times 13^4\times 2^{10}}{2^3\times 13^2\times 2^4\times 7^4\times 3^5}=\frac{13\times 2^3}{7\times 3^2}, 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

16.圖(五)為一張正面白色,反面灰色的長方形紙片。今沿虛線剪下分成甲、乙兩長方形紙片,並將甲紙片反面朝上黏貼於乙紙片上,形成一張白灰相間的長方形紙片,如圖(六)所示。若圖(六)中白色與灰色區域的面積比為8:3,圖(六)紙片的面積為33,則圖(五)紙片的面積為何?
(A)231/4  (B)363/8  (C)42  (D)44


解:$$\begin{cases} \frac { 乙-甲 }{ 甲 } =\frac { 8 }{ 3 } \\ 乙=33 \end{cases}\Rightarrow \frac { 33-甲 }{ 甲 } =\frac { 8 }{ 3 } \Rightarrow 99-3甲=8甲\Rightarrow 11甲=99\Rightarrow 甲=9\\ \Rightarrow 甲+乙=9+33=42,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

17. 如圖(七),圓O與正方形\(ABCD\)的兩邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)相切,且\(\overline{DE}\)與圓O相切於E點。若圖O的半徑為5,且\(\overline{AB}=11\),則\(\overline{DE}\)的長度為何?$$(A)5\;(B)6\;(C)\sqrt{30}\;(D)\frac{11}{2}$$

解:(B)

18. 圖(八)為八個全等正六邊形緊密排列在同一平面上的情形。根據圖中標示的各點位置,判斷三角形ACD與下列哪一個三角形全等?
(A)三角形ACF (B)三角形ADE (C)三角形ABC (D)三角形BCF
解:(B)
故選(B)


19. 圖(九)為一張三角形紙片,\(P\)點在\(\overline{BC}\)上。今將\(A\)摺至\(P\)時,出現摺線\(\overline{BD}\),其中\(D\)點在\(\overline{AC}\)上,如圖(十)所示。若\(\triangle ABC\)的面積為80,\(\triangle DBC\)的面積為50,則\(\overline{BP}\)與\(\overline{PC}\)的長度比為何?


(A)3:2  (B) 5:3  (C) 8:5  (D)13:8

解:
令\(\triangle ABD\)面積\(=\triangle DBP\)面積\(=a,\triangle DPC\)面積\(=b\),見上圖;由題意知$$\begin{cases}2a+b=80\\a+b=50\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=30\\b=20\end{cases} \Rightarrow \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}=\frac{a}{b}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2},故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

20. 如圖(十一),長方形\(ABCD\)中,\(M\)為\(\overline{CD}\)中點,今以\(B、M\)為圓心,分別以\(\overline{BC}\)長、\(\overline{MC}\)長為半徑畫弧,兩弧相交於\(P\)點。若\(\angle PBC=70^\circ\),則\(\angle MPC\)的度數為何?
(A) 20  (B) 35  (C) 40  (D) 55

解:
$$\triangle BCP為等腰\Rightarrow \angle BCP=(180^\circ-70^\circ)\div 2 = 55^\circ\\ 又\angle C=90^\circ\Rightarrow \angle MCP=90^\circ-55^\circ=35^\circ\\ \triangle MPC為等腰\Rightarrow \angle MPC=\angle MCP=35^\circ, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

21. 已知甲袋有張分別標示1~5的號碼牌,乙袋有6張分別標示6~11號碼牌,慧婷分別從甲、乙兩袋中各抽出一張號碼牌。若同一袋中每張號碼牌被抽出的機會相等,則她抽出兩張號碼牌,其數字乘積為3的倍數的機率為何?
(A)1/10 (B)1/3 (C)7/15 (D)8/15

解:
甲袋有5張號碼牌,乙袋有6張號碼牌,所以總共有5x6=30種可能。數字乘積為3的倍數必須是以下的情況:
甲袋1,2,4,53
乙袋6,96-11
幾種可能4x2=81x6=6
合乎條件共有8+6=14種情況,所機率為14/30=7/15,故選(C)。


22. 座標平面上,有一線型函數圖形過(-3,4)和(-7,4)兩點,判斷此函數圖形會過哪兩象限?
(A)第一象限和第二象限  (B)第一象限和第四象限
(C)第二象限和第三象限  (D)第二象限和第四象限
解:
此兩點的Y座標相同,所以是條水平線,通過一、二象限,故選(A)。



23. 圖(十二)為正三角形\(ABC\)與正方形\(DEFG\)的重疊情形,其中\(D、E\)兩點分別在\(\overline{AB}、\overline{BC}\)上,且\(\overline{BD}=\overline{BE}\)。若\(\overline{AC}=18,\overline{GF}=6\),則\(F\)點到\(\overline{AC}\)的距離為何?
$$(A)2\;(B)3\;(C)12-4\sqrt{3}\;(D)6\sqrt{3}-6$$
解:


依題意\(\triangle ABC\)為正三角形\(\Rightarrow \angle B=60^\circ\),又\(\triangle BDE\)為等腰,因此\(\triangle BDE\)也是正三角形;
令\(H\)點為\(\overline{AC}\)的中點,則\(\overline{BH}\)為正\(\triangle ABC\)的中線,且\(\overline{BI}\)也是正\(\triangle BDE\)的中線,見上圖;
中線長\(\overline{BH}=\overline{AC}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=18\times\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\);中線長\(\overline{BI}=\overline{DI}\times\sqrt{3}=3\times\sqrt{3}=3\sqrt{3}\);
因此\(F\)點到\(\overline{AC}\)的距離\(=\overline{JH}=\overline{BH}-\overline{BI}-\overline{IJ} =9\sqrt{3}-3\sqrt{3}-6 =6\sqrt{3}-6\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。


24.
下列何者是\(22x^7-83x^6+21x^5\)的因式?$$(A)2x+3\;(B)x^2(11x-7)\;(C)x^4(11x-3)\;(D)x^6(2x+7)$$
解:$$22x^7-83x^6+21x^5=x^5(22x^2-83x+21)=x^5(11x-3)(2x-7),故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

25. 圖(十三)的長方體與下列選項中的立體圖形均是由邊長為1公分的小正方體緊密堆砌而成。若下列有一立體圖形的表面積與圖(十三)的表面積相同,則此圖形為何?
解:
圖(十三)的表面積:22
(A)的表面積:20 (B)的表面積:22
(C)的表面積:24 (D)的表面積:24
故選(B)


26.若一元二次方程式\(a(x-b)^2=7\)的兩根為\(\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{7}\),其中a、b為兩數,則a+b之值為何?
(A)5/2  (B)9/2  (C)3  (D)5
解:$$a(x-b)^2=7\Rightarrow (x-b)^2=\frac{7}{a}\Rightarrow x-b=\pm\sqrt{\frac{7}{a}} \Rightarrow x=b\pm\sqrt{\frac{7}{a}}=\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{7}\\ b=\frac{1}{2}, a=4\Rightarrow a+b=4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2},故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

27.圖(十四)的等臂天平呈平衡狀態,其中左側秤盤有一袋石頭,右側秤盤有一袋石頭和2個各10克的砝碼。將左側袋中一顆石頭移至右側的秤盤,並拿走右側秤盤的1個砝碼後,天平仍呈平衡狀態,如圖(十五)所示。求被移動石頭的重量為多少克?


(A)5  (B)10 (C)15 (D)20
解:
假設石頭重X克
由圖(十四)知:左袋=右袋+20
由圖(十五)知:左袋-X=右袋+10+X
上式減下式可得X=10-X,所以X=5,故選(A)

28.圖(十六)為雅婷左手拿著3張深灰色與2張淺灰色的牌疊在一起的情形。以下是她每次洗牌的三個步驟:
步驟一:用右手拿出疊在最下面的2張牌,如圖(十七)。
步驟二:將右手拿的2張牌依序交錯插入左手拿的3張牌之間,如圖(十八)。
步驟三:用左手拿著顏色順序已改變的5張牌,如圖(十九)。
若依上述步驟洗牌,從圖(十六)的情形開始洗牌若干次後,其顏色順序拿再次與圖(十六)相同,則洗牌次數可能為下列何者?




(A)18  (B)20  (C)25  (D)27
解:
假設一開始的紙牌順序為12345,則洗牌的結果:
12345→14253→15432→13524→12345
洗過4次牌後,回到初始狀態。
所以只要洗牌的次數是4的倍數,就回到初始狀態。
故選(B)

29.數線上A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c,且C在AB上。若|a|=|b|,AC:CB=1:3,則下列b、c的關係式,何者正確?
(A)|c|=|b|/2   (B)|c|=|b|/3  (C)|c|=|b|/4  (D)|c|=3|b|/4
解:
因為|a|=|b|,所以A、B兩點分別在原點的兩側,且與原點等距離。
假設A在原點的左側,B在右側,則3(|a|-|c|)=|b|+|c|→3(|b|-|c|)=|b|+|c|→|c|=|b|/2,故選(A)。

30. 如圖(廿),四邊形ABCD、AEFG均為正方形,其中E在BC上,且B、E兩點不重合,並連接BG。根據圖中標示的角,判斷下列角1、角2、角3、角4大小的關係,何者正確?
(A)角1<角2 (B)角1>角2 (C)角3<角4 (D)角3>角4
解:
角1=角2=正方形AEFG以A為圓心轉動的角度。
在三角形ABG中,大角對大邊,所角3>角4。
故選(D)。

31.如圖(廿一),甲、乙兩人想在正五邊形ABCDE內部找一點P,使得四邊ABPE為平形四邊形,其作法如下:
(甲)連接BD、CE,兩線段相交於P點,則P即為所求
(乙)先取CD的中點M,再以A為圓心,AB長為半徑畫弧,交AM於P點,則P即為所求

對於甲、乙兩人的作法,下列鄰斷何者正確?

(A)兩人皆正確  (B)兩人皆錯誤
(C)甲正確,乙錯誤  (D)甲錯誤,乙正確
圖(廿一)

解:
正五邊形的一角為(5-2)x180/5=108度。角BAP=108/2=54,所以三角形ABP不是正三角形,也就是說BP與AP不等長,即BP與AE不等長,所以乙的作法不是平形四邊形。
故選(C)。

32. 若\(A=101\times 9996\times 10005,B=10004\times 9997\times 101\),則\(A-B\)之值為何?
(A)101  (B)-101  (C)808  (D)-808
$$x=10000\Rightarrow A-B=101(x-4)(x+5)-101(x+4)(x-3)\\=101[(x-4)(x+5)-(x+4)(x-3)]=101[(x^2+x-20)-(x^2+x-12)]\\=101\times(-8)=-808,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$


33.如圖(廿二),將一張三角形紙片沿虛線剪成甲、乙、丙三塊,其中甲、丙為梯形,乙為三角形。根據圖中標示的邊長數據,比較甲、乙、丙的面積大小,下列判斷何者正確?

(A)甲>乙,乙>丙    (B)甲>乙,乙<丙
(C)甲<乙,乙>丙    (D)甲<乙,乙<丙

故選(D)

34. 如圖(廿三),\(\overset{\LARGE{\frown}}{AB}\)是半圓,\(O\)為\(\overline{AB}\)中點,\(C、D\)兩點在\(\overset{\LARGE{\frown}}{AB}\)上,且\(\overline{AD}//\overline{OC}\),連結\(\overline{BC}、\overline{BD}\)。若\(\overset{\LARGE{\frown}}{CD}=62^\circ\),則\(\overset{\LARGE{\frown}}{AD}\)的度數為何?


(A)56  (B)58  (C)60  (D)62
解:
$$令\overset{\LARGE{\frown}}{BC}=a,\overset{\LARGE{\frown}}{AD}=b, 見上圖;\\\overline{AD}//\overline{OC}\Rightarrow \angle DAB=\angle COB\Rightarrow \frac{62+a}{2}=a\Rightarrow a=62^\circ\\ \overset{\LARGE{\frown}}{AB}為半圓\Rightarrow a+b+62=180^\circ \Rightarrow b=180-62-a=180^\circ-62^\circ-62^\circ=56^\circ, 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
--- END ---

17 則留言:

  1. 版主您好,第十一題的紅色大字解(C)應改為解(A) 辛苦了!

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  2. 27題要改一下喔!
    答案是(A)

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  3. 第30題的選項你打錯囉
    是(A)(B)(C)(D)
    不是(A)(B)(A)(A)喔

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  4. 回覆
    1. 剛才又檢查了一遍, 不曉得哪裡有誤? 能否說得更具體,謝謝!!

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  5. 第7題
    配方+14 錯了
    (-2)^= +4

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    1. 第7題沒有所列的算式!!!

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    2. 不好意思,是第8題錯誤

      配方+14 錯了
      (-2)^= +4

      刪除
    3. 已修改完畢,謝謝提醒!!

      刪除
  6. 第9題
    因此∠ ∠2+∠5=∠2+∠3=∠2+∠1+∠A
    ∠2+∠1=180°,∠2+∠1+∠A>180°

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    1. 已檢查,未發現錯誤,可否敘明?謝謝!

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  7. 第31題
    『BD與AP不等長,即BP與AE不等長』
    好像怪怪的
    跟D有什麼關係?可以詳細說明嗎?

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