關鍵詞：國中、數學、基測
1. 計算12÷(-3)-2×(-3)之值為何？
(A)-18 (B)-10 (C)2 (D)18
解：(C)
2. 小華班上比賽投籃，每人投6球，圖(一)是班上所有學生投進球的圓形圖。根據圖(一)，下列關於班上所有學生投進球數的統計量，何者正確？
(A)中位數為3 (B)中位數為2.5 (C)眾數為5 (D)眾數為2
解：(D)
由圓形圖可知，投進2球的人數最多，所以眾數為2。
3. k、m、n為三整數，若\(\sqrt{135}=k\sqrt{15}, \sqrt{450}= 15\sqrt{m}, \sqrt{180}=6\sqrt{n}\)，則下列有關k、m、n的大小關係，何者正確？
(A)k<m=n (B)m=n<k (C)m<n<k (D)m<k<n
解：(D)$$\sqrt{135}=\sqrt{9\times 15}=3\sqrt{15}\Rightarrow k=3\\
\sqrt{450}=\sqrt{225\times 2}=15\sqrt{2}\Rightarrow m=2\\
\sqrt{180}=\sqrt{36\times 5}=6\sqrt{5}\Rightarrow n=5$$
4.若一多項式除以2x²-3，得到的商式為7x-4，餘式為-5x+2，則此多項式為何？$$(A)14x^3-8x^2-26x+14\\(B)14x^3-8x^2-26x-10\\(C)-10x^3+4x^2-8x-10\\(D)-10x^3+4x^2+22x-10$$
$$多項式=(2x^2-3)(7x-4)+(-5x+2)=14x^3-8x^2-21x+12-5x+2\\=14x^3-8x^2-26x+14$$
快解：只要算常數項→(-3)(-4)+2=12+2=14，故選(A)
5.表(一)為服飾店販賣的服飾與原價對照表。某日服飾店舉辦大拍賣，外套依原價打六折出售，襯衫和褲子依原價打八折出售，服飾共賣出200件，共得24000元。若外套賣出x件，則依題意可列出下列哪一個一元一次方程式？
表(一)
| 服飾 | 原價(元) |
| 外套 | 250 |
| 襯衫 | 125 |
| 褲子 | 125 |
(A) 0.6×250x+0.8×125(200+x)=24000
(B) 0.6×250x+0.8×125(200-x)=24000
(C) 0.8×250x+0.6×125(200+x)=24000
(D) 0.8×250x+0.6×125(200-x)=24000
解：(B)
依題意知：外套賣x件，所以襯衫及褲子共賣(200-x)件；又外套一件原價250元打六折，所以外套共賣0.6×250x；襯衫及褲子原價皆為125元打八折，所以襯衫及褲子共賣0.8×125(200-x)，共賣出0.6×250x+0.8×125(200-x)=2400。故選(B)
6.若有一正整數N為65、104、260三個數的公倍數，則N可能為下列何者？
(A)1300 (B)1560 (C)1690 (D)1800
解：(B)
最小公倍數為 13×5×4×2=520
520×3=1560 故選(B)
7.某社團有60人，表(二)為此社團成員年齡的次數分配表。求此社團成員年齡的四分位距為何？
表(二)
| 年齡(歲) | 36 | 38 | 39 | 43 | 46 | 48 | 50 | 55 | 58 | 60 | 62 | 65 |
| 次數(人) | 4 | 5 | 7 | 5 | 5 | 2 | 1 | 10 | 7 | 8 | 3 | 3 |
(A)1 (B)4 (C)19 (D)21
解：(C)
| 年齡(歲) | 36 | 38 | 39 | 43 | 46 | 48 | 50 | 55 | 58 | 60 | 62 | 65 |
| 次數(人) | 4 | 5 | 7 | 5 | 5 | 2 | 1 | 10 | 7 | 8 | 3 | 3 |
| 累積次數 | 4 | 9 | 16 | 21 | 26 | 28 | 29 | 39 | 46 | 54 | 57 | 60 |
8.座標平面上有一函數y=-3x²+12x-7的圖形，其頂點座標為何？
(A) (2,5) (B) (2, -19) (C) (-2,5) (D)(-2,-43)
解：(A)$$-3x^2+12x-7=-3(x^2-4x+4)+12-7=-3(x-2)^2+5$$
所以頂點座標為(2, 5)，故選(A)
9. 圖(二)中直線L、N分別截過ÐA的兩邊，且L//N。根據圖中標示的角，判斷下列各角的度數關係，何者正確？
圖(二)
(A)Ð2+Ð5>180° (B)Ð2+Ð3<180°
(C)Ð1+Ð6>180° (B)Ð3+Ð4<180°
解：(A)
因為L//N，所以Ð3=Ð5；又Ð3=ÐA+Ð1。
因此Ð2+Ð5=Ð2+Ð3=Ð2+Ð1+ÐA=180°+ÐA>180°故選(A)
10.判斷\(\sqrt{15}\times\sqrt{40}\)之值會介於下列哪兩個整數之間？
(A) 22、23 (B) 23、24 (C) 24、25 (D) 25、26
解：(C)22×22=484 23×23=529 24×24=576 25×25=625 26×26=676
15×40=600 576<600<625，所以介於24與25之間，故選(C)。
實務上會先算25×25=625, 再算24×24，其它值不會算到。
11. 座標平面上有一點A，且A點到x軸的距離為3，A點到y軸的距離恰為到x軸距離的3倍。若A點在第二象限，則A點座標為何？
(A) (-9,3) (B) (-3,1) (C)(-3,9) (D) (-1,3)
解：(A)假設A=(a,b)，因為A在第二象限，所以a<0，b>0，且|a|=3b。
因A點到x軸的距離為3，所以b=3，故a=-9。因此A座標為(-9,3)，選(A)。
12. 解一元一次不等式12-(2x-5)³7x-3，得其解的範圍為何？
\((A)x\ge\frac{10}{9}\;(B)x\ge{20\over 9}\;(C)x\le\frac{10}{9} \;(D)x\le\frac{20}{9}\)
13. 圖(三)表示小勲到商店購買兩個單價相同的布丁和10個單價相同的棒棒糖的經過。
(A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 50
解：
假設一個布丁x元，一根棒棒糖y元。
由「多算2根棒棒糖，退20元」可知1根棒棒糖10元(y=10)。
2x+12y=200→2x+120=200→2x=80→x=40。
所以x-y=40-10=30，選(B)。
14. 如圖(四)，\(\triangle ABC\)中，\(D\)為\(\overline{AB}\)中點，\(E\)在\(\overline{AC}\)上，且\(\overline{BE}\bot\overline{AC}\)。若\(\overline{DE}=10,\overline{AE}=16\)，則\(\overline{BE}\)的長度為何？
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13
解：
\overline{DF}//\overline{BE}\Rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}= \frac{\overline{AF}}{\overline{FE}}\Rightarrow \overline{AF}=\overline{FE}=\overline{AE}\div 2= 16\div 2=8\\在直角\triangle DFE中, \overline{DE}^2=\overline{DF}^2+\overline{FE}^2 \Rightarrow 100=\overline{DF}^2+64\Rightarrow \overline{DF}=6\\ \overline{DF}//\overline{BE}\Rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}= \frac{\overline{DF}}{\overline{BE}} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{6}{\overline{BE}}\Rightarrow \overline{BE}=12, 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
15. 計算\(\left(\frac{21}{26}\right)^3 \times \left(\frac{13}{14}\right)^4\times \left(\frac{4}{3}\right)^5\)之值與下列何者相同？
$$(A)\frac{13}{3^3}\;(B)\frac{13^2}{3^3}\; (C)\frac{2\times 13}{7\times 3}\; (D)\frac{13\times 2^3}{7\times 3^2}$$
16.圖(五)為一張正面白色，反面灰色的長方形紙片。今沿虛線剪下分成甲、乙兩長方形紙片，並將甲紙片反面朝上黏貼於乙紙片上，形成一張白灰相間的長方形紙片，如圖(六)所示。若圖(六)中白色與灰色區域的面積比為8:3，圖(六)紙片的面積為33，則圖(五)紙片的面積為何？
(A)231/4 (B)363/8 (C)42 (D)44
17. 如圖(七)，圓O與正方形\(ABCD\)的兩邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)相切，且\(\overline{DE}\)與圓O相切於E點。若圖O的半徑為5，且\(\overline{AB}=11\)，則\(\overline{DE}\)的長度為何？$$(A)5\;(B)6\;(C)\sqrt{30}\;(D)\frac{11}{2}$$
解：(B)
18. 圖(八)為八個全等正六邊形緊密排列在同一平面上的情形。根據圖中標示的各點位置，判斷三角形ACD與下列哪一個三角形全等？
(A)三角形ACF (B)三角形ADE (C)三角形ABC (D)三角形BCF
故選(B)
19. 圖(九)為一張三角形紙片，\(P\)點在\(\overline{BC}\)上。今將\(A\)摺至\(P\)時，出現摺線\(\overline{BD}\)，其中\(D\)點在\(\overline{AC}\)上，如圖(十)所示。若\(\triangle ABC\)的面積為80，\(\triangle DBC\)的面積為50，則\(\overline{BP}\)與\(\overline{PC}\)的長度比為何？
(A)3:2 (B) 5:3 (C) 8:5 (D)13:8
20. 如圖(十一)，長方形\(ABCD\)中，\(M\)為\(\overline{CD}\)中點，今以\(B、M\)為圓心，分別以\(\overline{BC}\)長、\(\overline{MC}\)長為半徑畫弧，兩弧相交於\(P\)點。若\(\angle PBC=70^\circ\)，則\(\angle MPC\)的度數為何？
(A) 20 (B) 35 (C) 40 (D) 55
解：
21. 已知甲袋有張分別標示1~5的號碼牌，乙袋有6張分別標示6~11號碼牌，慧婷分別從甲、乙兩袋中各抽出一張號碼牌。若同一袋中每張號碼牌被抽出的機會相等，則她抽出兩張號碼牌，其數字乘積為3的倍數的機率為何？
(A)1/10 (B)1/3 (C)7/15 (D)8/15
解：
甲袋有5張號碼牌，乙袋有6張號碼牌，所以總共有5x6=30種可能。數字乘積為3的倍數必須是以下的情況：
| 甲袋 | 1,2,4,5 | 3 |
| 乙袋 | 6,9 | 6-11 |
| 幾種可能 | 4x2=8 | 1x6=6 |
合乎條件共有8+6=14種情況，所機率為14/30=7/15，故選(C)。
22. 座標平面上，有一線型函數圖形過(-3,4)和(-7,4)兩點，判斷此函數圖形會過哪兩象限？
(A)第一象限和第二象限 (B)第一象限和第四象限
(C)第二象限和第三象限 (D)第二象限和第四象限
解：
23. 圖(十二)為正三角形\(ABC\)與正方形\(DEFG\)的重疊情形，其中\(D、E\)兩點分別在\(\overline{AB}、\overline{BC}\)上，且\(\overline{BD}=\overline{BE}\)。若\(\overline{AC}=18，\overline{GF}=6\)，則\(F\)點到\(\overline{AC}\)的距離為何？
依題意\(\triangle ABC\)為正三角形\(\Rightarrow \angle B=60^\circ\)，又\(\triangle BDE\)為等腰，因此\(\triangle BDE\)也是正三角形；
令\(H\)點為\(\overline{AC}\)的中點，則\(\overline{BH}\)為正\(\triangle ABC\)的中線，且\(\overline{BI}\)也是正\(\triangle BDE\)的中線，見上圖；
中線長\(\overline{BH}=\overline{AC}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=18\times\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\)；中線長\(\overline{BI}=\overline{DI}\times\sqrt{3}=3\times\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)；
因此\(F\)點到\(\overline{AC}\)的距離\(=\overline{JH}=\overline{BH}-\overline{BI}-\overline{IJ} =9\sqrt{3}-3\sqrt{3}-6 =6\sqrt{3}-6\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
24.
下列何者是\(22x^7-83x^6+21x^5\)的因式？$$(A)2x+3\;(B)x^2(11x-7)\;(C)x^4(11x-3)\;(D)x^6(2x+7)$$25. 圖(十三)的長方體與下列選項中的立體圖形均是由邊長為1公分的小正方體緊密堆砌而成。若下列有一立體圖形的表面積與圖(十三)的表面積相同，則此圖形為何？
圖(十三)的表面積：22
(A)的表面積：20 (B)的表面積：22
(C)的表面積：24 (D)的表面積：24
故選(B)
(A)5/2 (B)9/2 (C)3 (D)5
解：$$a(x-b)^2=7\Rightarrow (x-b)^2=\frac{7}{a}\Rightarrow x-b=\pm\sqrt{\frac{7}{a}} \Rightarrow x=b\pm\sqrt{\frac{7}{a}}=\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{7}\\ b=\frac{1}{2}, a=4\Rightarrow a+b=4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2},故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$27.圖(十四)的等臂天平呈平衡狀態，其中左側秤盤有一袋石頭，右側秤盤有一袋石頭和2個各10克的砝碼。將左側袋中一顆石頭移至右側的秤盤，並拿走右側秤盤的1個砝碼後，天平仍呈平衡狀態，如圖(十五)所示。求被移動石頭的重量為多少克？
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
解：
假設石頭重X克
由圖(十四)知：左袋=右袋+20
由圖(十五)知：左袋-X=右袋+10+X
上式減下式可得X=10-X，所以X=5，故選(A)
28.圖(十六)為雅婷左手拿著3張深灰色與2張淺灰色的牌疊在一起的情形。以下是她每次洗牌的三個步驟：
步驟一：用右手拿出疊在最下面的2張牌，如圖(十七)。
步驟二：將右手拿的2張牌依序交錯插入左手拿的3張牌之間，如圖(十八)。
步驟三：用左手拿著顏色順序已改變的5張牌，如圖(十九)。
若依上述步驟洗牌，從圖(十六)的情形開始洗牌若干次後，其顏色順序拿再次與圖(十六)相同，則洗牌次數可能為下列何者？
(A)18 (B)20 (C)25 (D)27
解：
假設一開始的紙牌順序為12345，則洗牌的結果：
12345→14253→15432→13524→12345
洗過4次牌後，回到初始狀態。
所以只要洗牌的次數是4的倍數，就回到初始狀態。
故選(B)
29.數線上A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c，且C在AB上。若|a|=|b|，AC:CB=1:3，則下列b、c的關係式，何者正確？
(A)|c|=|b|/2 (B)|c|=|b|/3 (C)|c|=|b|/4 (D)|c|=3|b|/4
解：
因為|a|=|b|，所以A、B兩點分別在原點的兩側，且與原點等距離。
假設A在原點的左側，B在右側，則3(|a|-|c|)=|b|+|c|→3(|b|-|c|)=|b|+|c|→|c|=|b|/2，故選(A)。
30. 如圖(廿)，四邊形ABCD、AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B、E兩點不重合，並連接BG。根據圖中標示的角，判斷下列角1、角2、角3、角4大小的關係，何者正確？
31.如圖(廿一)，甲、乙兩人想在正五邊形ABCDE內部找一點P，使得四邊ABPE為平形四邊形，其作法如下：
(甲)連接BD、CE，兩線段相交於P點，則P即為所求
(乙)先取CD的中點M，再以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AM於P點，則P即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列鄰斷何者正確？
(A)兩人皆正確 (B)兩人皆錯誤
(C)甲正確，乙錯誤 (D)甲錯誤，乙正確
解：
33.如圖(廿二)，將一張三角形紙片沿虛線剪成甲、乙、丙三塊，其中甲、丙為梯形，乙為三角形。根據圖中標示的邊長數據，比較甲、乙、丙的面積大小，下列判斷何者正確？
(A)甲>乙，乙>丙 (B)甲>乙，乙<丙
(C)甲<乙，乙>丙 (D)甲<乙，乙<丙
解：
34. 如圖(廿三)，\(\overset{\LARGE{\frown}}{AB}\)是半圓，\(O\)為\(\overline{AB}\)中點，\(C、D\)兩點在\(\overset{\LARGE{\frown}}{AB}\)上，且\(\overline{AD}//\overline{OC}\)，連結\(\overline{BC}、\overline{BD}\)。若\(\overset{\LARGE{\frown}}{CD}=62^\circ\)，則\(\overset{\LARGE{\frown}}{AD}\)的度數為何？
$$令\overset{\LARGE{\frown}}{BC}=a,\overset{\LARGE{\frown}}{AD}=b, 見上圖;\\\overline{AD}//\overline{OC}\Rightarrow \angle DAB=\angle COB\Rightarrow \frac{62+a}{2}=a\Rightarrow a=62^\circ\\ \overset{\LARGE{\frown}}{AB}為半圓\Rightarrow a+b+62=180^\circ \Rightarrow b=180-62-a=180^\circ-62^\circ-62^\circ=56^\circ, 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
--- END ---
假設A在原點的左側，B在右側，則3(|a|-|c|)=|b|+|c|→3(|b|-|c|)=|b|+|c|→|c|=|b|/2，故選(A)。
30. 如圖(廿)，四邊形ABCD、AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B、E兩點不重合，並連接BG。根據圖中標示的角，判斷下列角1、角2、角3、角4大小的關係，何者正確？
(A)角1<角2 (B)角1>角2 (C)角3<角4 (D)角3>角4
解：
角1=角2=正方形AEFG以A為圓心轉動的角度。
在三角形ABG中，大角對大邊，所角3>角4。
故選(D)。
31.如圖(廿一)，甲、乙兩人想在正五邊形ABCDE內部找一點P，使得四邊ABPE為平形四邊形，其作法如下：
(甲)連接BD、CE，兩線段相交於P點，則P即為所求
(乙)先取CD的中點M，再以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AM於P點，則P即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列鄰斷何者正確？
(A)兩人皆正確 (B)兩人皆錯誤
(C)甲正確，乙錯誤 (D)甲錯誤，乙正確
圖(廿一)
解：
正五邊形的一角為(5-2)x180/5=108度。角BAP=108/2=54，所以三角形ABP不是正三角形，也就是說BP與AP不等長，即BP與AE不等長，所以乙的作法不是平形四邊形。
故選(C)。
32. 若\(A=101\times 9996\times 10005，B=10004\times 9997\times 101\)，則\(A-B\)之值為何？
(A)101 (B)-101 (C)808 (D)-808
解：$$x=10000\Rightarrow A-B=101(x-4)(x+5)-101(x+4)(x-3)\\=101[(x-4)(x+5)-(x+4)(x-3)]=101[(x^2+x-20)-(x^2+x-12)]\\=101\times(-8)=-808,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
(A)甲>乙，乙>丙 (B)甲>乙，乙<丙
(C)甲<乙，乙>丙 (D)甲<乙，乙<丙
解：
故選(D)
34. 如圖(廿三)，\(\overset{\LARGE{\frown}}{AB}\)是半圓，\(O\)為\(\overline{AB}\)中點，\(C、D\)兩點在\(\overset{\LARGE{\frown}}{AB}\)上，且\(\overline{AD}//\overline{OC}\)，連結\(\overline{BC}、\overline{BD}\)。若\(\overset{\LARGE{\frown}}{CD}=62^\circ\)，則\(\overset{\LARGE{\frown}}{AD}\)的度數為何？
(A)56 (B)58 (C)60 (D)62
解：
--- END ---
版主您好，第十一題的紅色大字解(C)應改為解(A) 辛苦了！
回覆刪除感謝您，已修訂!!
刪除27題要改一下喔!
回覆刪除答案是(A)
感謝提醒，已修訂！
刪除BEGGIN
回覆刪除第30題的選項你打錯囉
回覆刪除是(A)(B)(C)(D)
不是(A)(B)(A)(A)喔
已更正, 謝謝!
刪除第12題題目打錯
回覆刪除剛才又檢查了一遍, 不曉得哪裡有誤? 能否說得更具體,謝謝!!
刪除第7題
回覆刪除配方+14 錯了
(-2)^= +4
第7題沒有所列的算式!!!
刪除不好意思，是第8題錯誤
刪除配方+14 錯了
(-2)^= +4
已修改完畢,謝謝提醒!!
刪除第9題
回覆刪除因此∠ ∠2+∠5=∠2+∠3=∠2+∠1+∠A
∠2+∠1=180°,∠2+∠1+∠A>180°
已檢查,未發現錯誤，可否敘明？謝謝!
刪除第31題
回覆刪除『BD與AP不等長，即BP與AE不等長』
好像怪怪的
跟D有什麼關係?可以詳細說明嗎?
應該是BP不是BD, 已修訂,謝謝!!!
刪除