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2024年1月21日 星期日

113年大學學測-數學A詳解

113學年度學科能力測驗試題-數學A考科

第 壹 部 分 、 選 擇 ( 填 ) 題 ( 占 85 分 )
一 、 單 選 題 ( 占 30 分 )

解答A,12Af(h)=(12)h/2A(1)×:f(3)=(12)3/2A13A(2):f(4)=(12)2A=14A(3)×:f(6)=(12)3A=18A16A(4)×:f(8)=(12)4A=116A18A(5)×:f(10)=(12)5A=132A110A(2)


解答{O(0,0,0)C(1,0,0)A(0,1,0)B(1,1,0)D(0,0,1)E(0,1,1)F(1,1,1)G(1,0,1){AD=(0,1,1)AG=(1,1,1)u=AD×AG=(0,1,1)(1)×:AE=(0,0,1)u(2)×:BE=(1,0,1)u(3)×:CE=(1,1,1)u(4)×:DE=(0,1,0)u(5):OE=(0,1,1)u(5)
解答f(x)=a(x+7)(x+7a)(x+72a)f(0)=7a(7a)(72a){a=6f(0)=42×13×19<0a=4f(0)=28×11×15<0a=2f(0)=14×9×11<0a=2f(0)=14×5×3>0a=4f(0)=28×3×(1)<0a=6f(0)=42×1×(5)<0a(a=2)使f(0)>0(1)
解答sin(x+π6)=sinx+sinπ6sin(x+π6)sinx=sinπ6=122sin(π12)cos(x+π12)=122624cos(x+π12)=12cos(x+π12)=162=6+24x+π12=π12,(2ππ12)x=0,(2ππ6)x(2)sinπ12=624,cosπ12=6+24,sinxsiny=2sin((xy)/2)cos((x+y)/2)
解答kk+1{k24k+124k=25242C2412(C2412)2(4)

解答

cosA=cosθ=72+9292279=718cosθ2=cosθ+12=56cosQAB=cosθ2=92+72¯BQ2279=130¯BQ2126=56¯BQ=5(3)

二 、 多 選 題 ( 占 30 分 )

解答y=logx,x>0(1)×:y+12=log(5x)=log5+logxy=logx+log512logx(2)×:2y=log(x2)xΓ(3):3y=log(x3)=3logxy=logx(4):x=10ylogx=y(5)×:x3=10(y3)3logx=y3y=33logxlogx(3,4)
解答(1)×:θcosθ=n2+(n+1)2(n+2)22n(n+1)=(n1)242n(n+1)n=2,cosθ<0θ(2):Tnn+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)Tn3(3):n(4)×:T55,6,7s=99432=66{h5=126/5h6=26h7=126/7h5,h6,h7(5)×:{T3θ3T2θ2{cosθ3=0θ3=90cosθ2<0θ2>90θ3θ2(2,3)
解答(1)×:{LA(ˉxA,ˉyA)LB(ˉxB,ˉyB){ˉyA=2×5.20.6=9.8ˉyB=1.5×6+0.4=9.4ˉyAˉyB(2)×:=×σyσx{2=0.6σyA0.31.5=0.3σyB0.1{σyA=1σyB=0.510.5(3):|8.69.8|=1.2>1(4)×:{d((5.6,8.6),LA)=|11.28.60.6|/5=2/5d((5.6,8.6),LB)=|7.18.6+0.4|/5=1.1/5251.15(5)×:{d((5.6,8.6),(5.2,9.8))2=0.42+1.22d((5.6,8.6),(6,9.4))2=0.42+0.82d((5.6,8.6),(ˉxA,ˉyA))>d((5.6,8.6),(ˉxB,ˉyB))(3)
解答

(1)×:{d(B,x)=d(P,x)=23>3d(A,x)=6/2=3d(A,x)<d(B,x)(2)×:=23×23=4(3):{A(3,3)B(4,23)BA=(7,323)(4)×:¯AP=32+(323)2=30123=30121.732=9.216<10(5):AP=2333>13(35)
解答(1)×:{P(a=b=1)=16×12=112P(a=b=2)=16×12=112P(a=b)=112+112=1613(2):|a61b|=ab6=0{a=6,b=1a=3,b=2P(a=3,b=2)=1/12(3):{P()=1/12P()=1/12P()=1112112=56(4)×:b=2a3P(b=2,a3)=12×56=51212(5)×:b=2{ax+6y=6x+2y=1x=3a3{a=1,2,4,5,6,xa=4,5,6,xx=3525(2,3)

解答T=[30a1]{T(A)=A=(3,a)T(B)=B=(0,1)T(C)=C=(3,a)(1)×:a=0{A(3,0)B(0,1)C(3,0)¯BA=¯BCABC90(2):{B=BT(O)=O=(0,0)¯ABOB(3)×:a=0A,B,C(4):{P(1/3,a/3)Q(1/3,a/3){T(P)=(1,0)=AT(B)=BT(Q)=(1,0)=C,Ω=PBQ(5):ABC=12

三 、 選 填 題 ( 占 25 分 )

解答\cases{{100A+400B+ 240C \over A+B+C}=260 \cdots(1) \\{100A+ 400B\over A+B} =280 \cdots(2)},由(2)可得100A+400B=280A+280B \Rightarrow A={2\over 3}B\\ 將A={2\over 3}B代入(1) \Rightarrow C={5\over 3}B \Rightarrow A:B:C ={2\over 3}:1:{5\over 3} = \bbox[red, 2pt]{2:3:5}
解答\cases{f(x)=p_1(x) (x^2-2x+3)+x+1\\ g(x)=p_2(x)(x^2-2x+3)+x-3\\ h(x)= p_3(x)(x^2-2x+3)-2} \\ \Rightarrow xf+ag+bh= (x^2-2x+3)(xp_1+ap_2+ bp_3)+x^2+x+ax-3a-2b \\ \Rightarrow 餘式:  x^2+x+ax-3a-2b=x^2+(a+1)x-3a-2b=x^2-2x+3\\ \Rightarrow \cases{a+1=-2\\ -3a-2b=3} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{a=-3,b=3}
解答假設報名人數N,中獎機率0.4\% \Rightarrow N\times 0.4\%=10 \Rightarrow N=2500\\ 前100人抽完後,剩下5000元禮券4張,8000元禮券5張;\\ 因此第101人\cases{抽中5000元禮券的機率=4/(2500-100) =4/2400\\ 抽中8000元禮券的機率=5/(2500-100)=5/2400} \\ \Rightarrow 期望值=5000\times {4\over 2400}+ 8000\times {5\over 2400}={150\over 6}=\bbox[red, 2pt]{25}
解答

假設\cases{過原點方向向量為(2,-3)的直線L_1:3x+2y=0\\ 過原點方向向量為(3,2)的直線L_2:2x=3y \\過原點方向向量為\vec v的直線L_3 \Rightarrow P在L_3上},由於(2,-3)\cdot (3,2)=0 \Rightarrow L_1\bot L_2\\ 令R,S分別是P在L_1及L_2上的垂足,依題意\cases{\overline{PR} =\overline{OP}-1 \\\overline{PS}=\overline{OP}-2}, \\也就是直角三角形OSP的三邊長為\overline{OP}-2,\overline{OP}-1,\overline{OP},顯然\overline{OP}=5\\令\cases{\theta_1為L_2與\overline{OP}的夾角\\ \theta_2為L_2與\overline{OQ}的夾角}\Rightarrow \cases{\cos \theta_1 =3/5 \\ \cos\theta_2= {(4,7)\cdot (3,2)\over |(4,7)||(3,2)|}={26\over 13\sqrt{5}} ={2\over \sqrt 5}} \\ \Rightarrow \cos(\theta_1+ \theta_2)= \cos \theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin \theta_2 ={3\over 5}\cdot {2\over \sqrt 5}-{4\over 5}\cdot {1\over \sqrt 5} ={2\over 5\sqrt 5}\\ \Rightarrow 正射影長=\overline{OP} \cos(\theta_1+\theta_2) =5\cdot {2\over 5\sqrt 5} =\bbox[red, 2pt]{2\sqrt 5\over 5}

解答

\text{Case I: }x\ge y \Rightarrow \cases{P(x,y)至右邊界(x=1)的距離\ge |x-y| \\ P(x,y)至下邊界(y=0)的距離\ge |x-y|} \Rightarrow \cases{1-x\ge x-y\\ y\ge x-y} \\ \qquad \Rightarrow \cases{2x-y\le 1\\ 2y\ge x}\\\text{Case II: }x\le y \Rightarrow \cases{P(x,y)至左邊界(x=0)的距離\ge |x-y| \\ P(x,y)至上邊界(y=1)的距離\ge |x-y|} \Rightarrow \cases{x\ge y-x\\ 1-y\ge y-x} \\\qquad \Rightarrow \cases{2x\ge y\\ 2y-x\le 1}\\四條直線所圍菱形如上圖,其中\cases{P= (y=2x)\cap (2y-x=1) =({1\over 3},{2\over 3})\\ Q=(x=2y)\cap (2x-y=1) =({2\over 3},{1\over 3})}\\ 因此\cases{兩平行直線距離={1\over \sqrt 5} \\ \overline{PB}={\sqrt 5\over 3}} \Rightarrow 菱形面積={1\over \sqrt 5}\times {\sqrt 5\over 3} =\bbox[red, 2pt]{1\over 3}

第 貳 部 分 、 混 合 題 或 非 選 擇 題 ( 占 15 分 )

18-20 題 為 題 組
解答平面E的法向量\vec n=(1,0,-1) \Rightarrow 過O且方向向量為\vec n的直線L:(t,0,-t),t\in \mathbb R \\ \Rightarrow Q=E\cap L \Rightarrow t-(-t)=4 \Rightarrow t=2 \Rightarrow Q=(2,0,-2)\\ \Rightarrow \cos \alpha ={(2,0,-2)\cdot (1,0,0) \over \Vert(2,0,-2)\Vert \Vert (1,0,0)\Vert} ={2\over 2\sqrt 2 } ={\sqrt 2\over 2},故選\bbox[red, 2pt]{(4)}
解答\cos \theta ={(a,b,c)\cdot (1,0,0)\over \Vert (a,b,c)\Vert \Vert (1,0,0)\Vert} ={a\over \sqrt{a^2+b^2+c^2}} \ge \cos {\pi\over 6} ={\sqrt 3\over 2} \\ \Rightarrow {a^2\over a^2+b^2+c^2} \ge {3\over 4} \Rightarrow 4a^2 \ge 3a^2+3b^2+3c^2 \Rightarrow a^2\ge 3(b^2+c^2) ,\bbox[red, 2pt]{故得證}
解答P(a,0,c)在E上 \Rightarrow a-c=4 \Rightarrow a=c+4 代入a^2\ge 3(b+c^2) \Rightarrow (c+4)^2 \ge 3c^2\\ \Rightarrow c^2-4c-8\le 0 \Rightarrow (c-(2+ 2\sqrt 3))(c-(2-2\sqrt 3))\le 0 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{2-2\sqrt 3\le c\le 2+2\sqrt 3} \\ 又\overline{OP} =\sqrt{(c+4)^2 +c^2} =\sqrt{2(c+2)^2+8} \Rightarrow \overline{OP}的最小值發生在c=2-2\sqrt 3\\ 此時\overline{OP} =\sqrt{2(4-2\sqrt 3)^2+8} =\sqrt{64-2\sqrt{768}} =\sqrt{48}-\sqrt{16} = \bbox[red, 2pt]{4\sqrt 3-4}
 

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解題僅供參考, 其他歷年試題及詳解




4 則留言:

  1. 16題的最後一行算式有誤

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    1. 謝謝提醒,已修訂,應該是圖示文字標錯, 導致後續計算有誤!!

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  2. 11題第五個選項 b = 2 且有解 為 a = 1 ,2 4 ,5 6 其中 456為正 所以P = 3/5 才對

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