113學年度學科能力測驗試題-數學A考科
第 壹 部 分 、 選 擇 ( 填 ) 題 ( 占 85 分 )
一 、 單 選 題 ( 占 30 分 )
解答:f(x)=a(x+7)(x+7−a)(x+7−2a)⇒f(0)=7a(7−a)(7−2a)⇒{a=−6⇒f(0)=−42×13×19<0a=−4⇒f(0)=−28×11×15<0a=−2⇒f(0)=−14×9×11<0a=2⇒f(0)=14×5×3>0a=4⇒f(0)=28×3×(−1)<0a=6⇒f(0)=42×1×(−5)<0⇒只有一個a(a=2)使得f(0)>0,故選(1)
解答:sin(x+π6)=sinx+sinπ6⇒sin(x+π6)−sinx=sinπ6=12⇒2sin(π12)cos(x+π12)=12⇒2⋅√6−√24cos(x+π12)=12⇒cos(x+π12)=1√6−√2=√6+√24⇒x+π12=π12,(2π−π12)⇒x=0,(2π−π6)⇒有兩個實數x,故選(2)註:sinπ12=√6−√24,cosπ12=√6+√24,sinx−siny=2sin((x−y)/2)cos((x+y)/2)
解答:甲的中位數是k⇒乙的中位數是k+1⇒{在k的左邊有24個數在k+1的右邊也有24個數⇒k=25⇒24個數均分成2群有C2412種分法,因此共有(C2412)2分法,故選(4)
解答:
cos∠A=cosθ=72+92−922⋅7⋅9=718⇒cosθ2=√cosθ+12=56⇒cos∠QAB=cosθ2=92+72−¯BQ22⋅7⋅9=130−¯BQ2126=56⇒¯BQ=5,故選(3)
二 、 多 選 題 ( 占 30 分 )
解答:y=logx,其中x>0(1)×:y+12=log(5x)=log5+logx⇒y=logx+log5−12≠logx(2)×:2y=log(x2)⇒x可以為負值,其圖形與Γ不同(3)◯:3y=log(x3)=3logx⇒y=logx(4)◯:x=10y⇒logx=y(5)×:x3=10(y3)⇒3logx=y3⇒y=3√3logx≠logx,故選(3,4)解答:(1)×:最大角為θ⇒cosθ=n2+(n+1)2−(n+2)22n(n+1)=(n−1)2−42n(n+1)若n=2,則cosθ<0⇒θ為鈍角(2)◯:Tn的周長=n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)⇒⟨Tn⟩為公差為3的等差數列(3)◯:n越大,三邊長皆越大,面積變大(4)×:T5三邊長為5,6,7⇒s=9⇒三角形面積=√9⋅4⋅3⋅2=6√6⇒三高{h5=12√6/5h6=2√6h7=12√6/7⇒h5,h6,h7非等差數列(5)×:{T3最大角θ3T2最大角θ2⇒{cosθ3=0⇒θ3=90∘cosθ2<0⇒θ2>90∘⇒θ3≯θ2,故選(2,3)
解答:(1)×:{LA經過(ˉxA,ˉyA)LB經過(ˉxB,ˉyB)⇒{ˉyA=2×5.2−0.6=9.8ˉyB=1.5×6+0.4=9.4⇒ˉyA≮ˉyB(2)×:斜率=相關係數×σyσx⇒{2=0.6⋅σyA0.31.5=0.3⋅σyB0.1⇒{σyA=1σyB=0.5⇒1≮0.5(3)◯:|8.6−9.8|=1.2>1(4)×:{d((5.6,8.6),LA)=|11.2−8.6−0.6|/√5=2/√5d((5.6,8.6),LB)=|7.1−8.6+0.4|/√5=1.1/√5⇒2√5≮1.1√5(5)×:{d((5.6,8.6),(5.2,9.8))2=0.42+1.22d((5.6,8.6),(6,9.4))2=0.42+0.82⇒d((5.6,8.6),(ˉxA,ˉyA))>d((5.6,8.6),(ˉxB,ˉyB)),故選(3)
解答:
解答:(1)×:{P(a=b=1)=16×12=112P(a=b=2)=16×12=112⇒P(a=b)=112+112=16≠13(2)◯:|a61b|=ab−6=0⇒{a=6,b=1⇒無限多解a=3,b=2⇒無解⇒P(a=3,b=2)=1/12(3)◯:{P(無限多解)=1/12P(無解)=1/12⇒P(唯一解)=1−112−112=56(4)×:有解⇒b=2且a≠3⇒P(b=2,a≠3)=12×56=512≠12(5)×:b=2⇒{ax+6y=6x+2y=1⇒x=3a−3⇒{當a=1,2,4,5,6時,x有解當a=4,5,6時,x有正解⇒x值為正的機率=35≠25,故選(2,3)
解答:T=[30a1]⇒{T(A)=A′=(3,a)T(B)=B′=(0,1)T(C)=C′=(−3,−a)(1)×:a=0⇒{A′(3,0)B′(0,1)C′(−3,0)⇒¯B′A′=¯B′C′但∠A′B′C≠90∘(2)◯:{B=B′T(O)=O=(0,0)在¯AB上⇒至少原點O與B兩點不變(3)×:a=0⇒A′,B′,C′皆不在第四象限(4)◯:{P(1/3,−a/3)Q(−1/3,a/3)⇒{T(P)=(1,0)=AT(B)=BT(Q)=(−1,0)=C,可取Ω=△PBQ(5)◯:△A′B′C′=12‖
三 、 選 填 題 ( 占 25 分 )
解答:\cases{{100A+400B+ 240C \over A+B+C}=260 \cdots(1) \\{100A+ 400B\over A+B} =280 \cdots(2)},由(2)可得100A+400B=280A+280B \Rightarrow A={2\over 3}B\\ 將A={2\over 3}B代入(1) \Rightarrow C={5\over 3}B \Rightarrow A:B:C ={2\over 3}:1:{5\over 3} = \bbox[red, 2pt]{2:3:5}解答:\cases{f(x)=p_1(x) (x^2-2x+3)+x+1\\ g(x)=p_2(x)(x^2-2x+3)+x-3\\ h(x)= p_3(x)(x^2-2x+3)-2} \\ \Rightarrow xf+ag+bh= (x^2-2x+3)(xp_1+ap_2+ bp_3)+x^2+x+ax-3a-2b \\ \Rightarrow 餘式: x^2+x+ax-3a-2b=x^2+(a+1)x-3a-2b=x^2-2x+3\\ \Rightarrow \cases{a+1=-2\\ -3a-2b=3} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{a=-3,b=3}
解答:假設報名人數N,中獎機率0.4\% \Rightarrow N\times 0.4\%=10 \Rightarrow N=2500\\ 前100人抽完後,剩下5000元禮券4張,8000元禮券5張;\\ 因此第101人\cases{抽中5000元禮券的機率=4/(2500-100) =4/2400\\ 抽中8000元禮券的機率=5/(2500-100)=5/2400} \\ \Rightarrow 期望值=5000\times {4\over 2400}+ 8000\times {5\over 2400}={150\over 6}=\bbox[red, 2pt]{25}
解答:
解答:
\text{Case I: }x\ge y \Rightarrow \cases{P(x,y)至右邊界(x=1)的距離\ge |x-y| \\ P(x,y)至下邊界(y=0)的距離\ge |x-y|} \Rightarrow \cases{1-x\ge x-y\\ y\ge x-y} \\ \qquad \Rightarrow \cases{2x-y\le 1\\ 2y\ge x}\\\text{Case II: }x\le y \Rightarrow \cases{P(x,y)至左邊界(x=0)的距離\ge |x-y| \\ P(x,y)至上邊界(y=1)的距離\ge |x-y|} \Rightarrow \cases{x\ge y-x\\ 1-y\ge y-x} \\\qquad \Rightarrow \cases{2x\ge y\\ 2y-x\le 1}\\四條直線所圍菱形如上圖,其中\cases{P= (y=2x)\cap (2y-x=1) =({1\over 3},{2\over 3})\\ Q=(x=2y)\cap (2x-y=1) =({2\over 3},{1\over 3})}\\ 因此\cases{兩平行直線距離={1\over \sqrt 5} \\ \overline{PB}={\sqrt 5\over 3}} \Rightarrow 菱形面積={1\over \sqrt 5}\times {\sqrt 5\over 3} =\bbox[red, 2pt]{1\over 3}
第 貳 部 分 、 混 合 題 或 非 選 擇 題 ( 占 15 分 )
18-20 題 為 題 組解答:平面E的法向量\vec n=(1,0,-1) \Rightarrow 過O且方向向量為\vec n的直線L:(t,0,-t),t\in \mathbb R \\ \Rightarrow Q=E\cap L \Rightarrow t-(-t)=4 \Rightarrow t=2 \Rightarrow Q=(2,0,-2)\\ \Rightarrow \cos \alpha ={(2,0,-2)\cdot (1,0,0) \over \Vert(2,0,-2)\Vert \Vert (1,0,0)\Vert} ={2\over 2\sqrt 2 } ={\sqrt 2\over 2},故選\bbox[red, 2pt]{(4)}
解答:\cos \theta ={(a,b,c)\cdot (1,0,0)\over \Vert (a,b,c)\Vert \Vert (1,0,0)\Vert} ={a\over \sqrt{a^2+b^2+c^2}} \ge \cos {\pi\over 6} ={\sqrt 3\over 2} \\ \Rightarrow {a^2\over a^2+b^2+c^2} \ge {3\over 4} \Rightarrow 4a^2 \ge 3a^2+3b^2+3c^2 \Rightarrow a^2\ge 3(b^2+c^2) ,\bbox[red, 2pt]{故得證}
解答:P(a,0,c)在E上 \Rightarrow a-c=4 \Rightarrow a=c+4 代入a^2\ge 3(b+c^2) \Rightarrow (c+4)^2 \ge 3c^2\\ \Rightarrow c^2-4c-8\le 0 \Rightarrow (c-(2+ 2\sqrt 3))(c-(2-2\sqrt 3))\le 0 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{2-2\sqrt 3\le c\le 2+2\sqrt 3} \\ 又\overline{OP} =\sqrt{(c+4)^2 +c^2} =\sqrt{2(c+2)^2+8} \Rightarrow \overline{OP}的最小值發生在c=2-2\sqrt 3\\ 此時\overline{OP} =\sqrt{2(4-2\sqrt 3)^2+8} =\sqrt{64-2\sqrt{768}} =\sqrt{48}-\sqrt{16} = \bbox[red, 2pt]{4\sqrt 3-4}
16題的最後一行算式有誤
回覆刪除謝謝提醒,已修訂,應該是圖示文字標錯, 導致後續計算有誤!!
刪除11題第五個選項 b = 2 且有解 為 a = 1 ,2 4 ,5 6 其中 456為正 所以P = 3/5 才對
回覆刪除謝謝指正,修訂完畢
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