114學年度分科測驗試題數學甲考科
第壹部分、選擇（填）題（占76分）
一、單選題（占 18 分）
解答:$$對稱於x={\pi\over 2} \Rightarrow \sin({\pi\over 2}-x) =\sin({\pi\over 2}+x) \Rightarrow \cases{\theta={\pi\over 2}-x\\ \theta +{\pi\over 5}={\pi\over 2}+x} \Rightarrow 2\theta+{\pi\over 5}=\pi\\ \Rightarrow \theta={2\pi\over 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$
解答:$$假設\cases{A(0,1,0) \\ B(1,1,0) \\C(1,0,0)\\D(0,0,0) \\E(0,1,1) \\F(1,1,1)\\ G(1,0,1) \\H(0,0,1)} \Rightarrow \cases{E_1=\triangle BGH: y+z=1 \Rightarrow 法向量\vec n_1=(0,1,1)\\ E_2= \triangle CFE:y-z=0 \Rightarrow 法向量\vec n_2=(0,1,-1)\\ \triangle ADH:x=0 \Rightarrow 法向量(1,0,0)\\ \triangle BCD:z=0 \Rightarrow 法向量(0,0,1)\\\triangle CDG:y=0 \Rightarrow 法向量(0,1,0) \\ \triangle DFG:x-z=0\Rightarrow 法向量(1,0,-1)\\ \triangle DFH:x-y=0 \Rightarrow 法向量(1,-1,0)}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$
解答:
$$這8點:\cases{A(2,0),B(0,2),C(-2,0), D(0,-2)\\ E(1,1), F(-1,1),G(-1,-1),H(1,-1)},其中\cases{A,E,B共線\\ B,F,C共線\\ C,G,D共線\\ D,H,A共線}\\ 因此C^8_2-3\cdot 4=20條直線，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$
二、多選題（占 40 分）
解答:$$(1)\times: 封閉的橢圓，頂點以外的鉛直線不相交,與x=9不相交\\ (2)\times: 與y軸(x=0)不相交 \\(3)\bigcirc: 上下形的雙曲線\\ (4) \bigcirc:凹向上二次曲線\\ (5)\times: 與x=-1不相交\\，故選\bbox[red, 2pt]{(34)}$$
解答:$$a_n= \cos(n\pi-{\pi\over 6}) =\cos (n\pi)\cos{\pi\over 6}+ \sin(n\pi)\sin {\pi\over 6} =(-1)^n{\sqrt 3\over 2} \\(1)\times: a_1=-{\sqrt 3\over 2} \ne -{1\over 2}\\(2) \times:\cases{a_2\gt 0\\ a_3\lt 0} \Rightarrow a_2\ne a_3 \\ (3)\bigcirc: a_4=a_{24}={\sqrt 3\over 2} \\(4) \times:\lim_{n\to \infty} a_n 不存在(\pm {\sqrt 3\over 2}) \\(5)\bigcirc: \sum_{n=1}^\infty (a_n)^n = a_1+(a_2)^2+(a_3)^3+\cdots ={-\sqrt 3/2\over 1+(\sqrt 3/2)} =3-2\sqrt 3\\，故選\bbox[red, 2pt]{(35)}$$
解答:$$(1) \bigcirc:f(0)=1.2^0=1\gt 0 \\(2) \times:f(10)=1.2^{10} \Rightarrow \log f(10)= 10\log 1.2 =10(\log 12-1) =10(2\log 2+\log 3-1) \\\qquad =10(2\cdot 0.301+0.4771-1) =0.791 \lt 1 \Rightarrow f(10)\lt 10 \\(3) \bigcirc:\cases{y=f(x)=1.2^x\\ y=g(x)=x} \Rightarrow \cases{f(0)=1,f(2)=1.44\\ g(0)=0,g(2)=2} \Rightarrow \cases{f(0)\gt g(0) \\ f(2)\lt g(2)} \Rightarrow 在區間0\lt x\lt 2有交點 \\(4) \times: \cases{y=f(x)=1.2^x\\ y=h(x)= \log(1.2^x)} \Rightarrow \cases{f(0)=1 \\g(1)\ne0} \Rightarrow 不對稱y=x \\(5)\times: \cases{y=f(x)=1.2^x\\ y=g(x)=\log_{1.2}x } \Rightarrow f,g互為反函數\Rightarrow 交點在直線x=y上,又\cases{f(1)=1.2, g(1)=0\\ f(1.2^5)\lt 5, g(1.2^5)=5} \\\qquad \Rightarrow 在區間1\lt x\lt 1.2^5有交點\\，故選\bbox[red, 2pt]{(13)}$$
解答:$$(1) \times: 相對極小值不一定比相對極大值小 \\(2)\bigcirc: f(1),f(2)皆為極小值，因此圖形從x=1起向上，然後向下至x=2,再向上;\\\qquad 也就是圖形遞增再遞減，即f'(a)\gt 0, f'(b)\lt 0, 其中1\lt a\lt b\lt 2 \\(3)\times: f(3)為極大值\Rightarrow f'(3)=0且f''(3)\lt 0 \\(4)\bigcirc: 最高次項係數為正，圖形往右上發展，也就是遞增,即f'(c)\gt 0, c\gt 5\\ (5)\bigcirc: 在區間1\lt x\lt 2有一極大值，在區間(5, \infty)有一極小值, 因此f'(x)=0有7個根\\ \qquad \Rightarrow f(x)至少為8次\\，故選\bbox[red, 2pt]{(245)}$$
解答:$$(1)\times: |z|=2 \Rightarrow z=2\cos \theta+i 2\sin \theta \Rightarrow z\bar z=(2\cos \theta+i 2\sin \theta) (2\cos \theta-i 2\sin \theta) \\\qquad =4\cos^2\theta+4\sin^2 \theta=4 \ne 2\\ (2) \bigcirc: A(1),B(z),C(z^3)共線\Rightarrow \Rightarrow \overrightarrow{BC} =k\overrightarrow{AB} \Rightarrow {z^3-z} =k(z-1) \Rightarrow {z^3-z\over z-1}=k \in \mathbb R \\(3)\bigcirc: {z^3-z\over z-1}={z(z-1)(z+1) \over z-1} =z^2+z=k \Rightarrow z^2+z-k=0 \Rightarrow z={-1\pm \sqrt{1+4k}\over 2} \\ \qquad \Rightarrow z的實部為-{1\over 2} \quad (z的虛部不為0 \Rightarrow 1+4k\lt 0) \\(4)\times: z^2-z+4=0 \Rightarrow z={1\pm \sqrt{15}i\over 2} \Rightarrow 實部不是-{1\over 2}\\ (5)\bigcirc:-2,z,z^2共線 \Rightarrow {z^2-z\over z+2} =t 為實數\Rightarrow z^2-(1+t)z-2t=0 \Rightarrow z的實部={1+t\over 2} =-{1\over 2} \\\qquad \Rightarrow t=-2 \Rightarrow z={-1\pm \sqrt{15}i\over 2} \Rightarrow 當\cases{k=-4\\ t=-2} \Rightarrow \cases{1,z,z^3共線\\ -2,z,z^2 共線}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(235)}$$
↑上圖\(z={-1+\sqrt{15}i\over 2}\), 下圖\(z={-1-\sqrt{15}i\over 2}\)
三、選填題（占 18 分）
解答:$$\cases{A= \begin{bmatrix} a_1& a_2\\ a_3& a_4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \theta& -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix} \\[1ex]B =\begin{bmatrix} b_1& b_2\\ b_3& b_4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1& 0\\ 0& -1\end{bmatrix}} \Rightarrow BA =\begin{bmatrix} \cos\theta& -\sin \theta\\ -\sin \theta& - \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1& c_2\\ c_3& c_4 \end{bmatrix}\\\Rightarrow \cases{a_1+a_2 +a_3+ a_4 =2\cos \theta\\ 2(c_1+c_2+ c_3+ c_4)= -4\sin \theta} \Rightarrow 2\cos \theta=-4\sin \theta \Rightarrow \tan \theta= {\sin \theta\over \cos \theta} = \bbox[red, 2pt]{-{1\over 2}}$$
解答:
$$\cases{E_1:x=0\\ E_2:z=0} \Rightarrow 與E_1,E_2皆垂直的平面E_3:y=0 \\ \Rightarrow \cases{A(0,2,-11)在E_3的投影點A'(0,0,-11) \\ B(8,21,0)在E_3的投影點B'(8,0,0)} \Rightarrow d(L_1,L_2) =\overline{A'B'} =\sqrt{8^2+(-11)^2} = \sqrt{\bbox[red, 2pt]{185}}$$
解答:
$$假設平行四邊形頂點為P,A,B,C及\cases{\overrightarrow{PA} \parallel 2x+3y=0\\ \overrightarrow{PC} \parallel 5x-y=0} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{PA} =a(3,-2)\\ \overrightarrow{PC} =b(1,5)} \\\Rightarrow \overrightarrow{PA} +\overrightarrow{PC} =\overrightarrow{PB} =2\overrightarrow{PQ} \Rightarrow (3a+b,-2a+5b)=(20,-2) \Rightarrow \cases{a=6 \\b=2} \Rightarrow \cases{ \overrightarrow{PA} =(18,-12)\\ \overrightarrow{PC} =(2,10)} \\ \Rightarrow \Gamma面積=\sqrt{|\overrightarrow{PA}|^2 |\overrightarrow{PC}|^2 -(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PC})^2} =\sqrt{468\cdot 104-(-84)^2}= \bbox[red, 2pt]{204}$$
第貳部分、混合題或非選擇題（占 24 分）
解答:$$付300元得到一公仔的情形:先付225元兩次都沒抽中，再付75元得一公仔\\ \Rightarrow 機率為{3\over 5}\cdot {3\over 5} =\left( {3\over 5}\right)^2，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$
解答:$$P(X=1) ={2\over 5}, P(X=2) ={3\over 5}\cdot {2\over 5}, P(X=3) =\left({3\over 5} \right)^2\cdot {2\over 5} , \dots, P(X=n)=\left({3\over 5} \right)^{n-1}\cdot {2\over 5} \\ \Rightarrow 期望值E(X)=\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \left[k\cdot \left({3\over 5} \right)^{k-1}\cdot {2\over 5} \right]= {1\over 2/5} =\bbox[red, 2pt]{5\over 2} \\此題為幾何分配:X\sim G(p=2/5)，考卷(如下圖)附有幾何分配的期望值為1/p$$
解答:$$方式一:花225元在第一次或第二次抽中，若都沒中，再花75元。\\因此金額的期望值=225({2\over 5}+{3\over 5}\cdot {2\over 5})+ 300(1-{2\over 5})^2=144+108=\bbox[red, 2pt]{252} \\ 方式二:100\cdot E(X)=100\cdot {5\over 2} =\bbox[red, 2pt]{250}\\ 因此\bbox[red, 2pt]{方式一大於方式二}$$
解答:$$-1\le x\le 1 \Rightarrow 0\le x^2\le 1\\\textbf{Case I: }0\lt a\le 1 \Rightarrow y=f(x)圖形為凹向上，f(x)的最小值為f(0)=1-a \ge 0 \\\textbf{Case II: }a=0 \Rightarrow f(x)=1 \ge 0\\ \textbf{Case III: }-{1\over2}\le a\lt 0 \Rightarrow 0\le 2a+1\lt 1\Rightarrow y=f(x)圖形為凹向下\\\qquad \Rightarrow f(x)的最小值為f(1)=f(-1)=3a+(1-a)=2a+1 \ge 0 \\ 由上述可知，對於-{1\over 2}\le a\le 1及-1\le x\le 1而言，f(x)\ge 0, \bbox[red, 2pt]{故得證}$$
解答:$$\int_{-1}^1f(x)\,dx = \int_{-1}^1(3ax^2+(1-a))\,dx = \left. \left[ ax^3+(1-a)x \right] \right|_{-1}^1 =1-(-1)= \bbox[red, 2pt]2$$
解答:$$旋轉體積V=\int_{-1}^1 \pi (f(x))^2 \,dx =\pi \int_{-1}^1(3ax^2+(1-a))^2\,dx =\pi \int_{-1}^1(9a^2x^4+6a(1-a)x^2 +(1-a)^2)\,dx \\=\pi \left. \left[ {9\over 5}a^2x^5+2a(1-a)x^3 +(1-a)^2 x \right] \right|_{-1}^1 =2\pi({4\over 5}a^2+1) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{當a=1時，V有最大值{18\over 5}\pi}$$
====================== END ==========================
解題僅供參考，其他升大學試題及詳解
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