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2013年12月6日 星期五

101年國中基測數學詳解


試題來源:心測中心 http://www.bctest.ntnu.edu.tw/
關鍵字:國中、數學、基測

1.三年甲班男、女生各有20人,圖(一)為三年甲班男、女身高的盒狀圖。若班上每位同學的身高均不相等,則全班身高的中位數在下列哪一個範圍?
(A) 150~155 (B) 155~160 (C) 160~165 (D) 165~170

解:

由盒狀圖可知:男生的中位數為165,女生的中位數為160。也就是說有10位男生身高小於165、10位女生身高小於160。全班有20位同學身高小於165,所以全班中位數落於160~165範圍內。選(C)。

2. 小明原有300元,圖(二)記錄了他今天所有支出,其中餅乾支出的金額被塗黑。若每包餅乾的售價為13元,則小明可能剩下多少元?
(A) 4  (B) 14  (C) 24  (D) 34


解:
        買三餐後,剩下 300-50-90-120=40元。
         若買一包餅乾,則剩下40-13=26元;買2包則剩下40-13X2=14;買3包則剩下 40-13X3 = 1。故選 (B)。

3. 解二元一次聯立方程式\(\begin{cases}197x+4y=11\\ 197x=19-2y\end{cases}\),得y=?
(A) -4  (B) -4/3  (C) 5/3 (D) 5
解:
\(\begin{cases}197x+4y=11\\ 197x=19-2y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 197x+4y=11\\ 197x+2y =19 \end{cases}\)
上式減下式可得\(2y=-8\Rightarrow y=-4,故選\bbox[red,2pt]{(A)}\)


4. 已知甲、乙、丙三數,甲=\(5+\sqrt{15}\),乙=\(3+\sqrt{17}\),丙=\(1+\sqrt{19}\),則甲、乙、丙的大小關係,下列何者正確?

(A) 丙<乙<甲  (B) 乙<甲<丙  (C) 甲<乙<丙 (D) 甲=乙=丙
解:
故選(A)。

5. 小美將某服飾店的促銷活動內容告訴小明後,小明假設某一商品的定價為x元,並列出關係式為0.3(2x-100)<1000,則下列何者可能是小美告訴小明的內容?
(A)買兩件等值的商品可減100元,再打3折,最後不到1000元耶!
(B)買兩件等值的商品可減100元,再打7折,最後不到1000元耶!
(C)買兩件等值的商品可打3折,再減100元,最後不到1000元耶!
(D)買兩件等值的商品可打7折,再減100元,最後不到1000元耶!
解:
由(2x-100)知: 買2件少100元,再乘0.3表打3折,所以選(A)。

6. 圖(三)是利用短除法求出三數8、12、18的最大公因數的過程。利用短除法,求出此三數h旳最小公倍數為何?
(A) 12  (B) 72  (C) 216  (D) 432

解:
最小公倍數=2x2x3x2x1x3=72,故選(B)

7.已知某公司去年的營業額為四千零七十億元,則此營業額可用下列何者表示?
解:

故選(C)

8. 圖(四)為製作果凍的食譜,傅媽媽想依此食譜內容製作六人份的果凍。若她加入50克砂糖後,不足砂糖可依比例換成糖漿,則她需再加幾小匙糖漿?
(A) 15  (B) 18  (C) 21  (D) 24
解:
依食譜,六人份果凍應需砂糖\(20\times 6=120\)克。已加入50克,尚需120-50=70克。
砂糖20克相當糖漿6小匙\(\Rightarrow 20:6=70:y \Rightarrow  y=6\times 70/20=21\),故選(C)。

9.圖(五)的方格紙上有一平行四邊形ABCD,其頂點均在格線的交點上,且E點在AD上。今大華在方格紙格線的交點上任取一點F,發現△FBC的面積比△EBC的面積大。判斷下列哪一個圖形可表示大華所選取F點的位置?




解:

△FBC與△EBC有相同的底,所以要找比較長的高。

由上圖可知,當F點在最左時,有較長的高,故選(D)。



10. 小明將一正方形紙片畫分成16個全等的小正方形,且圖(六)為他將中四個小正方形塗成灰色的情形。若小明想再將一小正方形塗成灰色,使此紙片上的灰色區域成為線對稱圖形,則此小正方形的位置為何?
(A)第一列第四行   (B)第二列第一行
(C)第三列第三行   (D)第四列第一行

解:

故選(B)

11. 圖(七)的直線AE與四邊形ABCD的外接圓相切於A點。




(A) 64  (B) 65  (C) 67  (D) 68

解:
∠DAE=12,相對應的弧AD=12X2=24度,其它三弧為(360-24)/3=112度。
∠ABC=(弧AD+弧DC)/2=(24+112)/2=68度。故選(D)。

12. 一紙箱內有紅、黃、藍、綠四種顏色的紙牌,且圖(八)為各顏色紙牌數量的統計圖。若小華自箱內抽出一張牌,且每張牌被抽出的機會相等,則他抽出紅色牌或黃色牌的機率為何?
(A) 1/5  (B) 2/5  (C) 1/3  (D) 1/2
解:
由統計圖可知共有3(紅)+3(黃)+5(藍)+4(綠)=15張牌,紅色牌與黃色牌共有6張,所以抽中紅色或黃色牌的機率為6/15=2/5,故選(B)。

13. 計算\((-1000\frac{1}{5})\times(5-10)\)之值為何?
(A) 1000  (B) 1001 (C) 4999  (D) 5001
解:$$(-1000\frac{1}{5})\times(5-10)=-\frac{5001}{5}\times(-5) = 5001,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

14. 下列四個選項中,哪一個為多項式 \(8x^2-10x+2\)的因式?
(A) 2x-2  (B) 2x+2  (C) 4x+1  (D)4x+2
解:$$8x^2-10x+2=2(4x^2-5x+1)=2(4x-1)(x-1)=(4x-1)(2x-2), 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

15. 如圖(九),大、小兩圓的圓心均為O點,半徑分別為3、2,且A點為小圓上的一固定點。若大圓上找一點B,使得OA=AB,則滿足上述條件的B點共有幾個?
(A) 0  (B) 1  (C) 2  (D) 3


圖(九)


解:相當於以A為圓心,AO為半徑畫一圓,此圓與大圓相交於兩點B、C,故選(C)。

16. 如圖(十),△ABC中,\(\overline{AB}= \overline{AC}=17,\overline{BC} =16,M\)是△ABC的重心,求\(\overline{AM}\)的長度為何?
(A) 8  (B) 10  (C) 17/2  (D) 289/30
解:
延長\(\overline{AM}與\overline{BC}交於D\)點,如下圖:



在直角\(\triangle ADC\)中,\(\overline{AD}^2 +\overline{DC}^2 =\overline{AC}^2 \Rightarrow \overline{AD}^2+8^2=17^2\Rightarrow \overline{AD}=15\)
因為M為重心,所以\(\overline{AM}=\overline{AD} \times\frac{2}{3}=15\times\frac{2}{3}=10\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。


17. 圖(十一)為魔術師在小美面前表演的經過:




根據圖(十一),假設小美在紙上寫的數字為x,魔術師猜中的答案為y,則下列哪一個圖形可以表示x、y的關係?
解:
由魔術師的指令可得 (3x+6)/3 - x = y,y=2,故選(B)。

18. 判斷下列哪一組的a、b、c,可使二次函數 \(y=ax^2+bx+c-5x^2-3x+7\) 在座標平面上的圖形有最低點?
(A) a=0, b=4, c=8   (B) a=2, b=4, c=-8
(C) a=4, b=-4, c=8  (D) a=6, b=-4, c=-8
解:
\(y=ax^2+bx+c-5x^2-3x+7=(a-5)x^2+(b-3)x+(c+7)\) 
二次函數有最低點(極小值)代表\(x^2\)的係數大於零,即\((a-5)>0\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

19. 圖(十二)數線上的A、B、C、D四點所表示數分別為a、b、c、d,且O為原點。根據圖中各點位置,判斷|a-c|之值與下列何者不同?


(A) |a|+|b|+|c|  (B) |a-b|+|c-b|

(C) |a-d|-|d-c|  (D) |a|+|d|-|c-d|

解:
可直接令a=-2, b=-1, c=1, d=2 代入各式計算,只有(A)的結果與其他不同,故選(A)。

20. 表(一)為某公司200名職員年齡的次數分配表,其中36~42歲及50~56歲的次數因汙損而無法看出。若36~42歲及50~56歲職員人數的相對次數分別為a%、b%,則a+b之值為何?

(A) 10  (B) 45  (C) 55  (D) 99
解:
假設36~42歲及50~56歲的次數合計為X,則X=200-(6+40+42+2)=200-90=110。X所佔的比重為X/200=110/200=55/100,相當於55%,故選(C)。

21.圖(十三)正六邊形\(ABCDEF\)的邊長為1,連接\(\overline{AC}、\overline{BE}、\overline{DF}\),求圖中灰色四邊形的周長為何?

解:

22. 有一段樹幹為一直圓柱體,其底面積為9π平方公尺,高為15公尺。若將此樹幹分為兩段圓柱形樹幹,且體積比為2:1,則體積較大的樹幹,其側面的表面積為多少平方公尺?
(A)60π  (B)72π  (C) 84π  (D)96π
解:
底面積=9π → 半徑=3 → 圓周長=2x3xπ=6π 
體積比=2:1 → 高度比=2:1 → 大圓柱高=10
側面的表面積=大圓柱高x圓周長=10x6π=60π,故選(A)。

23. 計算\([(\frac{2}{3})^2]^3\times[(\frac{3}{2})^2]^2\)之值為何?
解:$$[(\frac{2}{3})^2]^3\times[(\frac{3}{2})^2]^2= (\frac{2}{3})^6\times(\frac{3}{2})^4 = \frac{2^6\times 3^4}{3^6\times 2^4}=\frac{2^2}{3^2}=(\frac{2}{3})^2,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

24. 小華帶x元去買甜點,若全買紅豆湯圓剛好可買30杯,若全買豆花圓剛好可買40杯。已知豆花每杯比紅豆湯便宜10元,依題意可列出下列哪一個方程式?
解:
紅豆湯每杯賣x/30元,豆花每杯賣x/40元,所以x/40=(x/30)-10,選(A)。

25. 如圖(十四),座標平面上直線L的方程式為3x-y=-3。若有一直線L'的方程式為y=a,則a的值在下列哪一個範圍時,L'與L的交點會在第二象限?
(A)1<a<2  (B)3<a<4  (C)-1<a<0  (D)-3<a<-2
解:
直線L與y軸交於(0,3),與x軸交於(-1,0),所以0<a<3,才能使L'與L交於第二象限。故選(A)。

26. 計算\(\sqrt{114^2-64^2-50^2}\)之值為何?
(A)0  (B)25  (C)50  (D)80
解:$$\sqrt{114^2-64^2-50^2}=\sqrt{114^2-50^2-64^2} =\sqrt{(114+50)(114-50)-64^2}=\sqrt{164\times 64-64^2}\\ =\sqrt{64(164-64)}=\sqrt{64\times 100}=\sqrt{8^2\times 10^2}=8\times 10=80,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

27. 圖(十五)為圖(十六)中三角柱\(ABCEFG\)的展開圖,其中\(\overline{AE}、\overline{BF}、\overline{CG}、\overline{DH}\)是三角柱的邊。若圖(十五)中,\(\overline{AD} =10,\overline{CD}=2\),則下列何者可為\(\overline{AB}\)長度?
(A) 2  (B) 3  (C) 4  (D) 5

解:
圖(十五)中 CD=2 →圖(十六)AC=2

圖(十五)中 AD=10 →圖(十六) AB+BC+AC=10→AB+BC=8

若AB=2→BC=6, AB+AC=4<BC , 不合,兩邊之和應大於第三邊。

若AB=3→BC=5, AB+AC=5=BC , 不合,兩邊之和應大於第三邊。

若AB=5→BC=3, BC+AC=5=AB , 不合,兩邊之和應大於第三邊。

故選(C)。



28. 如圖(十七),一圓桌周圍有20個箱子,依順時針方向編號1~20。小明在1號箱子中丟入一顆紅球後,沿著圓桌依順時針方向行走,每經過一個箱子就依下列規則丟入一顆球:

1.若前一個箱子丟紅球,經過的箱子就丟綠球。

2.若前一個箱子丟綠球,經過的箱子就丟白球。

3.若前一個箱子丟白球,經過的箱子就丟紅球。

已知他沿著圓桌走了100圈,求4號箱內有幾顆紅球?

(A)33  (B) 34  (C) 99  (D) 100


解:

三種色球,20個箱子,所以每60個箱子(每三圈)回到原始順序,且每個箱子都各有紅綠白三種色球各1顆。因此在第99圈後,每個箱子各有不同色球33個,計99顆球。第100圈的順序為紅綠白紅綠白...,第4號箱子新增一個紅球,所以共有34個紅球,故選(B)。



29. 如圖(十八),梯形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90度,E點在CD上,且DE:EC=1:4。若AB=5,BC=4,AD=8,則四邊形ABCE的面積為何?

(A)24  (B)25  (C)26  (D)27




解:
梯形面積=(8+4)x5/2=30,△ABC面積=4X5/2=10,△ACD面積=30-10=20。
由於DE:EC=1:4=△AED:△ACE,△ACE= △ACDx4/5= 20X4/5= 16。
則四邊形ABCE的面積=△ABC+△ACE=10+16=26,故選(C)。

30. 有一個二次函數\(y=x^2+ax+b\),其中a、b為整數。已知此函數在座標平面上的圖形與x軸交於兩點,且兩交點的距離為4。若此圖形的對稱軸為x=-5,則此圖形通過下列哪一點?
(A) (-6,-1)   (B) (-6, -2)   (C) (-6, -3)  (D) (-6, -4)
解:
假設圖形與X軸交於A、B兩點,C=(-5,0)。由於AB相距4,且C為中點,所以A=(-3,0)、B=(-7,0)。由A、B兩點代入函數,可得y=(x+3)(x+7)。當x=-6, y=(-3)(1)=-3,故選(C)。

31. 若一元二次方程式\(x^2-2x-3599=0\)的兩根為a、b,且a>b,則\(2a-b\)之值為何?

(A) -57  (B) 63  (C) 179  (D) 181
解:
故選(D)。


32. 如圖(十九),邊長12的正方形\(ABCD\)中,有一個小正方形\(EFGH\),其中E、F、G分別在\(\overline{AB}、\overline{BC}、\overline{FD}\)上。若\(\overline{BF}=3\),則小正方形的邊長為何?


解:


\(\overline{FC}=\overline{BC}-\overline{BF}=12-3=9\),因此直角三角形斜邊長\(\overline{DF}^2= \overline{FC}^2 + \overline{CD}^2 =9^2+12^2=15^2\Rightarrow \overline{DF}=15\)。
現在要證明△EBF與△FCD相似:∠B=∠C=90,∠EFB+∠DFC= 90 =∠DFC+∠FDC→∠EFB=∠FDC,因此兩三角形三對角均相等(AAA),故相似。

所以\(\frac{\overline{EF}}{\overline{BF}} =\frac{\overline{DF}}{\overline{DC}}\Rightarrow \frac{\overline{EF}}{3}=\frac{15}{12}\Rightarrow \overline{EF}=\frac{15}{12}\times 3=\frac{15}{4},故選\bbox[red,2pt]{(B)}\)



33.
對於甲、乙兩人的作法,下列判斷何者正確?
(A)兩人皆正確   (B) 兩人皆錯誤
(C)甲正確、乙錯誤  (D)甲錯誤、乙正確
解:
甲的作法中,平行線會均分線段BC,但不會均分弧BC,如上圖。乙的作法中,E點即為圓心,平行線將垂直平分線段BC,同時均分弧BC,如下圖。

所以選(D)。

34. 圖(廿一)的長方形ABCD中,E點在AD上,且BE=2AE。今分別以BE、CE為摺線,將A、D向BC的方向摺過去,圖(廿二)為對摺後A、B、C、D、E五點均在同一平面上的位置圖。若圖(廿二)中,∠AED=15度,則∠BCE的度數為何?


(A) 30  (B) 32.5  (C) 35  (D) 37.5
解:


\(\overline{BE}=2\overline{A'E}\Rightarrow \triangle A'BE\)三內角為\(90^\circ-30^\circ-60^\circ\)
又\(\triangle BA'E\)與\(\triangle BAE\)全等,所以\(\triangle ABE\)三內角也是\(90^\circ-30^\circ-60^\circ\);
由題意知\(\angle AED=15^\circ\Rightarrow \angle AFE=90-15=75^\circ=\angle BFG\)
在\(\triangle FGB中\Rightarrow \angle FGB=180^\circ-30^\circ-75^\circ=75^\circ=\angle DGC\Rightarrow \angle DCG=15^\circ\)
令\(\angle BCE=a\Rightarrow \angle ECD'=90-a\),見上圖。
由於\(\triangle CDE\)與\(\triangle CD'E\)全等,所以\(90-a=15+a\Rightarrow a=75/2=37.5\)

故選(D)。

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