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2014年7月16日 星期三

103年國中特招數學詳解

103學年度高級中等學校特色招生考試

第一部分:選擇題(1~29題)

解答172×[93×3×(7)]÷3=172×[99×(7)]÷3=172×[9+63]÷3=172×72÷3=172×24=1748=31(A)


解答{P(5,a)Q(b,7)5>b>05<b<01<6b<6P(5,a)Q(b,7)7>a710>a103>a10{6b>0a10<0(6b,710)=(,)(D)
解答(8)3+(4)4=(22)3+(2)4=162+16=16162(C)
解答{x24x+3=(x1)(x3)x2+2x3=(x+3)(x1)x1=xcc=1(C)
解答

ABD¯BD¯BD=2×10=20¯AB2=¯BD2¯AD2=202122=256¯AB=256=16=(¯AD+¯BC)ׯAB÷2=(12+35)×16÷2=47×8=376(B)
解答738836=29129=796×79=143=423=440(60×23=40)3440=740(B)
解答

{BCDABCDBCDBEFDABCD=BEFD{DEFBEFDDEFEGHDBEFD=EGHD(D)
解答a15a(a+1)×15×0.9=272(a+1)4515a272(a+1)=4530a27(a+1)=903a=117a=39(B)
解答{rh9h{=2πr=r2π{{S1=2r2π(2)+2πr×9hS2=2r2π(2)+2πr×h{V1=r2π×9hV2=r2π×h{9S2>S19V2=V1(B)
解答
A



¯MNACN=C=80ACN=B+CNB80=70+CNBCNB=8070=10¯MNMNC=MNC=aCNB+2a=1802a=18010=170a=170÷2=85MNB=a+10=95(B)

解答a{=a/4=0=7a/1214a+712a=1012a3a1012a1012a3a=518(C)






解答
¯AB=¯AC¯AOAOAC=OAB=70÷2=35O¯OA=¯OCOCA=OAC=35(1)OCPPOC=60(2)(1)(2)ODC=1806035=85ADP=ODC=85(A)
解答(03)2+(05)2+(07)2=9+25+49=83=8(D)
解答|c1||a1|=|ac||c1|=|a1|+|ac|¯BC=¯BA+¯ACABCCABBAC(A)

解答{a=(3)13(3)14=313314=313(1+3)=4×313<0b=(0.6)12(0.6)14=0.6120.614=0.612(10.62)=0.64×0.612<1c=(1.5)11(1.5)13=1.511+1.513=1.511(1+1.52)=1.25×1.511>1{a<00<b<1c>1c>b>a(D)
解答2x3ax25x+5=(2x2+ax1)(xb)+3=2x3+(a2b)x2(ab+1)x+b+3{a2b=aab+1=5b+3=5{b=2a=b=2a+b=4(D)
解答1,2,3,4,6,8,12,16,2448=24×3a=48×k,k720=48×15k15s720a48s{s=348×3a9a925s=55a525s=1(s3s5,s15)48(B)
解答
0.55=a10a=11(A)50.51010(20)0.5×2=1解答

{¯BC=¯AC¯AD=¯BE¯CD=¯CEACDBCE(SSS){A=B=bD=E=cACD=BCEBCA=ECD=aBPD=d{ACE=55BCD=1552a+55=155a=50ACD=a+b+c+55=180a+b+c=125BCDP=2a+55+b+c+d=a+55+(a+b+c)+d=36050+55+125+d=360d=130(C)
解答4x^2+12x-1147=(2x-31)(2x+37)=0 \Rightarrow \cases{a=31/2\\ b=-37/2} \\\Rightarrow 3a+b={93-37\over 2} ={56\over 2}=28,故選\bbox[red,2pt]{(B)}\\如果無法計算出1147=31\times 37,只能用各選項來試算。由於已知\cases{a+b=-12/4=-3\\ ab=-1147/4}\\例: ​(A)\cases{3a+b=22\\ a+b=-3} \Rightarrow \cases{a=25/2\\ b=-31/2} \Rightarrow ab\ne -1147/4 \Rightarrow 3a+b\ne 22
解答
在直角\triangle ADC中,由於\cases{\overline{AD}=4 \\\overline{DC}=3 } \Rightarrow \overline{AC}=\sqrt{4^2+3^2} =5 =\overline{BC} \Rightarrow \overline{BD}= \overline{BC} -\overline{DC}=5-3=2\\ \cases{直角\triangle FDB: \overline{FB}^2= \overline{BD}^2+\overline{FD}^2 =4+\overline{FD}^2\\ 直角\triangle FCD: \overline{FC}^2= \overline{CD}^2+\overline{FD}^2 =9+\overline{FD}^2} \Rightarrow \overline{FC} \gt \overline{FB} \Rightarrow \angle FBD \gt \angle FCD,故選\bbox[red,2pt]{(A)}\\ 另外F是等腰\triangle CAB的垂心,即\overline{CG}\bot \overline{AB} \Rightarrow \cases{\angle A=\angle B\\ \angle CGA=\angle CGB=90^\circ} \Rightarrow \angle FCD=\angle FCE
解答\cases{甲數列首項a,等差d\\ 乙數列首項1,等差d} \Rightarrow \cases{甲數列前6項之和= 6a+15d\\ 乙數列前6項之和=6+15d} \Rightarrow (6a+15d)-(6+15d)={3\over 2} \\ \Rightarrow 6a={15\over 2} \Rightarrow a={15\over 12}={5\over 4},故選\bbox[red,2pt]{(A)}


解答\cases{衣服x元打4折變為 0.4x元\\褲子 y元打6折變為 0.6y元} \Rightarrow 兩者合買再省100元,實際付出0.4x+0.6y-100元\\原來要付出x+y元,因此少付(x+y)-(0.4x+0.6y-100)=500 \\\Rightarrow 0.6x+0.4y+100=500,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答
y=ax^2+2ax+1 =a(x+1)^2+1-a \Rightarrow 頂點A(-1,1-a) \Rightarrow A在y軸左邊 \Rightarrow L_4為y軸\\ 圖形經過B(0,1) \Rightarrow y截距為正值\Rightarrow L_2為x軸,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解答\cases{9.98^2=99.6004\\ 9.99^2=99.8001} \Rightarrow 99.8^2 \lt 99.7 \lt 9.99^2 \Rightarrow 99.8 \lt \sqrt{99.7} \lt 9.99 \\\Rightarrow 99.8 \times 100\lt 100\sqrt{99.7} \lt 9.99 \times 100\Rightarrow 998 \lt \sqrt{997000} \lt 999 \\ \Rightarrow \sqrt{997000} 的整數部分為998 \Rightarrow 個位數字=8,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解答
假設\cases{\triangle BDE面積=a\\ \triangle ABE面積=b \\ \triangle ACD面積=c};由於\overline{AE}:\overline{ED}=2:1 \Rightarrow  b:a = 2:1 \Rightarrow b=2a;\\又\cases{\angle BAD= \angle DAC\\ \angle ABE=\angle C} \Rightarrow \triangle ABE \sim \triangle ACD \Rightarrow b:c = \overline{AE}^2: \overline{AD}^2 =2^2:3^2=4:9 \\\Rightarrow c={9\over 4}b ={9\over 4}\times 2a={9\over 2}a \Rightarrow {\triangle BDE\over \triangle ABC} ={a \over a+b+c} = {a \over a+2a+{9\over 2}a} ={a\over {15\over 2}a} ={ 2\over 15},故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解答由於\angle AOB+\angle BOC=180^\circ,再加上\overset{\Large{\frown}}{BC}= 2\overset{\Large{\frown}}{AB} \Rightarrow \angle BOC= 2\angle AOB \\,因此可得 \cases{\angle AOB =60^\circ \\ \angle BOC=120^\circ} \\ 75\pi = r\theta = 2\theta  \Rightarrow \theta ={75\over 2}\pi =2\pi \times 18 +{3\over 2}\pi \Rightarrow 圓O轉了18圈又270 度 \\由於270^\circ \gt \angle AOB+\angle BOC+\angle COD, 因此與地面相切的位置位於\overset{\Large{\frown}}{DA},故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答六人得分由小到大為:a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\\ 由盒狀圖可知\cases{a_1=120\\ a_6=210},另\cases{6\times 25\%=1.5 \Rightarrow Q_1=a_2=145\\ 6\times 75\%=4.5 \Rightarrow Q_3=a_5=195},\\再加上中位數=175= (a_3+a_4)\div 2 \Rightarrow a_3+a_4=350 \\ 小蓁得分= (a_1+ a_2+ a_3+ a_4+ a_5+a_6)\div 6 =(120+145 +350+195+210)\div 6\\= 1020\div 6=170 (也就是a_3,a_4=350-a_3=180),故選\bbox[red,2pt]{(C)}

解答

令\overline{AP} =a \Rightarrow \overline{OA}=2\overline{AP}=2a \Rightarrow \cases{\overline{OB}=\overline{OA}=2a \\ \overline{PB}=\overline{PO}=2a+a=3a} \\ \Rightarrow \cases{\overline{OB}^2+\overline{BP}^2=4a^2+ 9a^2=13a^2 \\ \overline{OP}^2=9a^2} \Rightarrow \overline{OB}^2+\overline{BP}^2\ne \overline{OP}^2 \Rightarrow \angle OBP\ne 90^\circ\\ \Rightarrow B不是切點 \Rightarrow 甲的作法錯誤

B在\overline{OP}的中垂線上\Rightarrow \overline{BP} =\overline{OB}=2a \Rightarrow \cases{\overline{OB}^2+\overline{BP}^2=4a^2+ 4a^2=8a^2 \\ \overline{OP}^2=9a^2}\\ \Rightarrow \overline{OB}^2+\overline{BP}^2\ne \overline{OP}^2 \Rightarrow \angle OBP\ne 90^\circ \Rightarrow B不是切點 \Rightarrow 乙的作法錯誤 \\因此兩人的作法都是錯的,故選\bbox[red,2pt]{(B)}

第二部分:非選擇題(1~2題)

解答假設\cases{1盒有a顆巧克力\\工作人員有b位};\\依題意:5盒巧克力每人分15顆,會剩下80顆,即5a=15b+80 \Rightarrow a=3b+16 \\ 少訂2盒(即訂了3盒)每人12顆,只有小佳拿不到12顆,但至少拿3顆以上\\,即3\le 3a-12(b-1)\lt 12; 將a=3b+16 代入不等式,可得3 \le 9b+48-12b+12 \lt 12 \\\Rightarrow 3\le -3b+60 \lt 12 \Rightarrow -57 \le -3b \lt -48 \Rightarrow 16\lt b\le 19 \Rightarrow b=17,18,19,\\即工作人員人數可能為\bbox[red,2pt]{17,18,19}
解答
假設\cases{\angle OBA=a\\ \angle OBC=b},由於\cases{O、P對稱於\overline{AB} \Rightarrow \cases{\angle ABP= \angle OBA=a \\ \overline{BP}= \overline{BO}=3{1\over 2}} \\O、R對稱於\overline{BC} \Rightarrow \cases{\angle CBR= \angle OBC=b \\ \overline{BR}= \overline{BO}=3{1\over 2}}} \\ \Rightarrow \overline{PB}+\overline{BR}=3{1\over 2}+3{1\over 2} =7;\\因此若P、B、R在一直線上(即2a+2b=180^\circ\Rightarrow a+b=90^\circ \Rightarrow \angle ABC=90^\circ)\\,則\overline{PR}=\overline{PB} +\overline{BR}=7,否則\overline{PB} +\overline{BR} \gt \overline{PR}(三角形兩邊之和大於第三邊);\\結論:\bbox[red,2pt]{\angle ABC=90^\circ 時,\overline{PR}=7;其他情形皆是\overline{PR}\lt 7,\overline{PR}不可能大於7};
===================== end ==========================
解題僅供參考,其他升高中試題及詳解








12 則留言:

  1. 謝謝提供 受益良多

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  2. 我乃明德高中學生
    感謝你啦!

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  3. 12題(180-70)/2是等於55才對

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    1. 感謝提醒, 已修訂中間過程, 答案不變

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  4. 12題 圖有誤∠B=a+b=55 ,不是65

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  5. 17題 8×12=6×16=4×24都等於96
    3*32也是等於96

    為何只有24、48可能為a
    32不可能嗎?

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  6. ....因此a可以是6×16 =96、也可以是【6×8 =48】
    【】裡面是否應改為3*32=96以及4*24=96呢?

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  7. 15題是c大於b大於a

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